Fourierreihe

Orthonormalsystem

Sei $\left(V,h\right)$ Hilbertraum (d.h. $V$ ist Vollständig, bzgl Norm $\left\Vert v\right\Vert =\sqrt{h\left(v,v\right)}$). Eine Teilmenge $B\subseteq V$, $B=\left\{ b_{i}\vert i\in I\right\}$ heißt Orthonormalsystem (ONS), falls

$$h\left(b_{i},b_{j}\right)=\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & \textrm{falls }i=j\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$$

Ein ONS heißt vollständig, fallss der von $B$ erzeugte Unterraum $W=\textrm{span}\left(B\right)$ dicht ist, d.h. falls $\overline{W}=V$.

• Jeder Hilbertraum hat ein vollständiges ONS

Fourrierkoeffizienten

ISt $v\in V$ und ist $B$ vollständiges ONS, so heißen die Zahlen $v_{i}=h\left(v,b_{i}\right)$ Fourierkoeffizienten von $V$. Für $I=\mathbb{N}$ konvergiert dann

$$v=\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}v_{k}$$

gegen $v$.

Fourierentwicklung mit Trigonometrischen Funktionen

Sei $V=C\left(\left[-\pi,\pi\right],\mathbb{R}\right)$ und $h\left(f,g\right)=\int_{-\pi}^{\pi}f\left(s\right)g\left(s\right)ds$ ist inneres Produkt auf $V$. Leider ist $V$ kein Hilbertraum, aber er lässt sich zu einem Hilbertraum $\left(\hat{V},\hat{h}\right)$ vervollständigen (Dafür würde man einen anderen Integralbegriff benötigen).

Betrachte

$$b_{0}\left(t\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

$$b_{2k}\left(t\right) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos\left(kt\right)$$

$$b_{2k+1}\left(t\right) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin\left(kt\right)$$

Die Menge $\left\{ b_{k}\vert k\in\mathbb{N}\right\}$ist ein vollständiges ONS.

Für $f\in\hat{V}$ (insbesondere für $f\in V$) betrachte die Fourierkoeffizienten

$$h\left(f,b_{n}\right)=f_{n}=\int_{-\pi}^{\pi}f\left(s\right)b_{n}\left(s\right)ds$$

die zugehörige Fourierreihe ist

$$\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\left(t\right)f_{k}$$

sie konvergiert in $\hat{v}$ gegen $f$ bzgl. der durch $\hat{h}$ gegebenen Norm.

• Das bedeutet i.a. keine punktweise Konvergenz der Fourierreihe gegen die Funktion.
• Sägezahn, konvergiert punktweise
  $$\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\left(\left(2k+1\right)\cdot t\right)}{\left(2k+1\right)^{2}}$$

• Rechteck, konvergiert gleichmässig
  $$f\left(t\right)=\textrm{sign}\left(t\right)=\begin{cases} 1 & \textrm{für }t>0\\ 0 & \textrm{für }t=0\\ -1 & \textrm{für }t<0\end{cases}$$
  $$f\left(t\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\left(\left(2k+1\right)\cdot t\right)}{2k+1}$$

Konvergenzkriterium

Ist $f\in C\left(\left[-\pi,\pi\right],\mathbb{R}\right)$ Lipschitzstetig (insbesondere $C^{1}$-Funktion), so konvergiert die Fourierreihe punktweise gegen $f$.

Ist $f$ sogar $C^{2}$-Funktion, dann konvergiert die Fourrierreihe gleichmässig gegen $f$.