Absolutbetrag

Wir definieren den Absolutbetrag (oder Betrag) in einem angeordneten Ring oder Körper $R$ durch

$$\left\vert x\right\vert=\begin{cases} x & x\geq0\\ -x & x<0\end{cases}$$

1. $\left\vert-x\right\vert=\left\vert x\right\vert\geq0$
2. $\left\vert x*y\right\vert=\left\vert x\right\vert*\left\vert y\right\vert$
3. Dreiecksungleichung
   $\left\vert x+y\right\vert\leq\left\vert x\right\vert+\left\vert y\right\vert$
4. Umgekehrte Dreiecksungleichung
   $\left\vert x-y\right\vert\ge\left\vert\left\vert x\right\vert-\left\vert y\right\vert\right\vert$