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Konstruktion von $ \mathbb{Q}$ aus $ \mathbb{Z}$

Die Elemente von $ \mathbb{Q}$ sind die ganzzahligen Brüche der Form $ \frac{a}{b}$ mit $ a,b\in\mathbb{Z},b\neq0$. Brüche werden also durch Paare ganzer Zahlen beschrieben, allerdings nicht eindeutig. Setze $ X=\left\{ \left(a,b\right)\vert a,b\in\mathbb{Z}\wedge b\neq0\right\} $ die Menge aller Paare ganzer Zahlen $ \left(a,b\right)$ mit $ b\neq0$. Das Paar $ \left(a,b\right)$soll den Bruch $ \frac{a}{b}$ darstellen. Wir nennen zwei Paare $ \left(a,b\right)$ und $ \left(a',b'\right)$ äquivalent, falls $ ab'=a'b$ ( $ \left(a,b\right)\sim\left(a',b'\right))$. Wir identifizieren äquivalente Paare miteinander und schreiben $ \frac{a}{b}$ für die Menge aller Paare $ \left(a',b'\right)$ mit $ ab'=a'b$. Wir definieren die Rechenregeln wie folgt auf $ \mathbb{Q}=X/\sim$:

  1. Addition

    $\displaystyle \frac{a_{1}}{b_{1}}+\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}}$

  2. Multiplikation

    $\displaystyle \frac{a_{1}}{b_{1}}*\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{1}*a_{2}}{b_{1}*b_{2}}$



Marco Möller 14:31:11 17.12.2005