%% LyX 1.3 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[10pt,twoside,twocolumn,german]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{geometry}
\geometry{verbose,a4paper,tmargin=20mm,bmargin=20mm,lmargin=20mm,rmargin=20mm,headheight=5mm,headsep=5mm,footskip=5mm}
\pagestyle{headings}
\setlength\parskip{\medskipamount}
\setlength\parindent{0pt}
\usepackage{varioref}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{amssymb}
\IfFileExists{url.sty}{\usepackage{url}}
                      {\newcommand{\url}{\texttt}}

\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
\newcommand{\noun}[1]{\textsc{#1}}
%% Because html converters don't know tabularnewline
\providecommand{\tabularnewline}{\\}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
%\usepackage{gastex}
%\renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection})}
\usepackage[linktocpage,pdfpagelabels,colorlinks,hyperindex]{hyperref}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ae,aecompl}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Einführung in die theoretische Physik}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 21.10.2005 - Version: 1.0.0\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Einführung in
die theoretische Physik'' von Prof. Dr. Jochen Wambach an der Technischen
Universität Darmstadt im Sommersemester 2005.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Grundlagen der Klassischen Mechanik}


\subsection{Der Newtonsche Raum-Zeit-Begriff}


\subsubsection{Allgemeines}

\begin{itemize}
\item abgeschlossenes Gedankengebäude
\item für $v\ll c$ gültig
\item Beschreibung der Bewegung von materiellen Körpern
\item Raum-Zeit-Begriff
\end{itemize}

\subsubsection{Raumbegriff\index{Raumbegriff}}

\begin{itemize}
\item der Raum ist $3$-Dimensional (z.B. Höhe, Breite, Tiefe)
\item der Raum ist unbegrenzt
\item materielle Körper füllen begrenzte Gebiete des Raumes aus
\item der Raum ist Euklidisch (z.B. ist die Winkelsumme im Dreieck$=180°$
\item Körper bewegen sich im Raum. Körper sind also Relativ zum Raum in
Bewegung oder in Ruhe
\end{itemize}

\subsubsection{Zeitbegriff\index{Zeitbegriff}}

\begin{itemize}
\item das Dahinströmen der Zeit ist unabhängig von physikalischen Vorgängen
\item alle Bewegungsvorgänge durch {}``absolute Zeit'' beschreibbar
\item gleichzeitige Ereignisse werden von allen Beobachtern (Ruhe oder Bewegung)
als gleichzeitig erfahren
\end{itemize}

\subsection{Kinematik\index{Kinematik}}


\subsubsection{Bahn\index{Bahn}}

\begin{itemize}
\item Alle materiellen Körper sind als {}``Massenpunkte'' oder als eine
Ansammlung von $N$ Massenpunkten darstellbar
\item Bahnen sind eine Schaar von Vektoren mit Bahnparameter: z.B. mit Bahnparameter
Zeit: $\vec{x}\left(t\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Ereigniss\index{Ereigniss}}

\begin{itemize}
\item Ein Ereignis ist durch 4 Zahlen beschreibbar. $3$ Koordinaten des
Raumes, und eine der Zeit. $E\left(\vec{x},t\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Bewegungsgesetz\index{Bewegungsgesetz}}

\begin{itemize}
\item Im allgemeinen lässt sich (mit Hilfe der Taylor Entwicklung) eine
Gleichung mit Hilfe ihrer Ableitungen vollständig beschreiben.\[
\vec{x}\left(t\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(t-t_{0}\right)^{n}\left.\frac{d^{n}\vec{x}\left(t\right)}{dt^{n}}\right|_{t=t_{0}}\]

\item Diese unendliche Summe lässt sich verkürzen, falls ein \emph{Bewegungsgesetz}
existiert. In einem Bewegungsgesetz lässt sich die $n$-te Ableitung
aus der Funktion, dem Parameter und den vorhergehenden Ableitungen
rekonstruieren:\[
\frac{d^{n}\vec{x}\left(t\right)}{dt^{n}}=\vec{f}\left(\vec{x},\frac{d\vec{x}}{dt},\ldots,\frac{d^{n-1}\vec{x}}{dt^{n-1}},t\right)\]

\item In der Newton'schen Mechanik ist $n=2$\begin{eqnarray*}
\ddot{\vec{x}} & = & \vec{f}\left(\vec{x},\dot{\vec{x}},t\right)\\
m\ddot{\vec{x}} & = & \vec{F}\left(\vec{x},\dot{\vec{x}},t\right)\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\subsection{Newtonsche Gesetze\index{Newtonsche Gesetze}}

\begin{description}
\item [Dynamik\index{Dynamik}]Kräfte als Ursache der Bewegungsänderung\\
Physikalisch Realisiert mit $m\ddot{\vec{x}}=\vec{F}$
\end{description}

\subsubsection{Arten von Kräften\index{Kräfte}}


\paragraph{fundamentale Kräfte}

Siehe Tabelle \vref{cap:fundamentale-Kr=E4fte}.

%
\begin{table*}

\caption{\label{cap:fundamentale-Kr=E4fte}fundamentale Kräfte}

\hfill{}\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
Kraft&
Beispiel für Wirkung&
relative Stärke\tabularnewline
\hline
\hline 
Gravitation&
Planetenbewegung&
$10^{-40}$\tabularnewline
\hline 
Schwache Wechselwirkung&
$\beta$-Zerfall von Kernen&
$10^{-5}$\tabularnewline
\hline 
elektromagnetische Kraft&
Coulomb-Kraft&
$10^{-2}$\tabularnewline
\hline 
starke Wechselwirkung&
Kernkraft&
$1$\tabularnewline
\hline
\end{tabular}\hfill{}
\end{table*}


\begin{itemize}
\item Die Gravitation hat hier eine Sonderrolle. Im Gegensatz zu den anderen
Kräften ist sie immer anziehend.
\end{itemize}

\paragraph{abgeleitete Kräfte}

Diese haben einen im allgemeinen einen komplizierten Ursprung in den
Fundamentalkräften.

\begin{itemize}
\item elastische Kraft, Federkraft $\vec{F}=-k\vec{x}$
\item Reibungskräfte, Stokesches Gesetz $\vec{F}_{R}=-v$$\vec{v}$
\item chemische Bindung, Van der Waals Kraft
\item Zwangskräfte, Aufgrund von eingeschränkten Bewegungen
\item Scheinkräfte, nicht-Inertialsysteme
\end{itemize}

\subsubsection{Inertialsysteme\index{Inertialsysteme}}


\paragraph{Definition}

\begin{itemize}
\item Raum und Zeit sind \emph{isotrop}\index{isotrop}, d.h. keine Richtung
ist ausgezeichnet.
\item Raum ist Homogen. d.h in jedem Punkt im Raum sind die \emph{Newtonschen
Gesetze} gleich.
\end{itemize}

\paragraph{Eigenschaften}

\begin{itemize}
\item In Inertialsystemen herscht kräftefreie Situation (abgesehen von inneren
Kräften)
\item Eine Klasse von Inertialsystemen umfasst genau diejenigen \emph{freifallenden}
Systeme von denen aus gesehen sich ein Probekörper geradlinig und
gleichförmig bewegt.
\item Inertialsysteme bewegen sich gegeneiander geradlinig und gleichförmig.
Relativgeschwindigkeit ist also konstant und sie rotieren nicht gegeneinander.
\end{itemize}

\subsubsection{Die Newtonschen Gesetze}


\paragraph{Rahmenbedingungen}

Diese sind in Inertialsystemen Formuliert für ein System von $N$
Massenpunkten.

\begin{description}
\item [Bahnen]$\vec{x}^{\left(1\right)}\left(t\right),\ldots,\vec{x}^{\left(N\right)}\left(t\right)$
\item [Massen]$m_{1},\ldots,m_{N}$
\item [Kräfte]$\vec{F}^{\left(1\right)}\left(t\right),\ldots,\vec{F}^{\left(N\right)}\left(t\right)$
\item [Impulse]$\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)=m_{i}\dot{\vec{x}}^{\left(N\right)}\left(t\right)$
für alle $i$
\end{description}

\paragraph{Gesetze}

\begin{enumerate}
\item Es existieren Inertialsysteme, d.h. ein kräftefreier Massenpunkt ist
in Ruhe oder geradlinig \& gleichförmig bewegt.\\
$\Rightarrow$ lineare Impulserhaltung
\item $\frac{d\vec{p}^{\left(i\right)}}{dt}=\dot{\vec{p}}^{\left(i\right)}=\vec{F}^{\left(i\right)}$
\item actio = reactio\\
$\vec{F}^{\left(i,j\right)}=-\vec{F}^{\left(j,i\right)}$
\item \emph{Superpositionsprinzip}\index{Superpositionsprinzip}\\
Jede Kraft bewirkt an einem Probekörper dir ihr zukommende Bewegungsänderung,
unabhängig davon, ob noch andere Kräfte wirken.
\end{enumerate}

\subsubsection{Kräfteaddition}

\begin{eqnarray*}
\vec{F}^{\left(i\right)} & = & {\scriptscriptstyle \vec{F}^{\left(i\right)}\left(\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right),\ldots,\vec{x}^{\left(N\right)}\left(t\right),\dot{\vec{x}}^{\left(1\right)}\left(t\right),\ldots,\dot{\vec{x}}^{\left(N\right)}\left(t\right),t\right)}\\
 & = & {\scriptscriptstyle \vec{F}_{extern}^{\left(i\right)}\left(\vec{x}^{\left(i\right)},\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\left(t\right),t\right)}\\
 &  & {\scriptscriptstyle +\sum_{j\neq i}^{N}\vec{F}^{\left(i,j\right)}\left(\vec{x}^{\left(j\right)}\left(t\right),\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right),\dot{\vec{x}}^{\left(j\right)}\left(t\right),\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\left(t\right),t\right)}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item In der unteren Gleichung werden die Kräfte in äußere, und in eine
Summe von inneren Kräften zerlegt.
\end{itemize}

\subsection{Arbeit und potentielle Energie}

\begin{description}
\item [Arbeit\index{Arbeit}]$W_{c}=\int_{1}^{2}d\vec{x}\vec{F}\left(\vec{x}\right)$
\item [Zirkulation\index{Zirkulation}]$\Gamma_{c}=\oint d\vec{x}\vec{F}\left(\vec{x}\right)$
\item [Konservative~Kraft\index{konservative Kraft}]$\Gamma_{c}=0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Integral ist wegunabhängig, es kommt also nur auf die Endpunkte der
Integrationsstrecke an
\item Es ist äquivalent zu zeigen, dass \[
\textrm{rot}\vec{F}=\vec{\nabla}\times\vec{F}=0\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Potential\index{Potential}]$V_{R}\left(\vec{x}\right)=\int_{\vec{x}}^{R}d\vec{x}'\vec{F}\left(\vec{x}'\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Der Referenzpunkt $R$ wir oft auf Unendlich $\infty$ gesetzt
\item Der Referenzpunkt kann meistens Weggelassen werden, da er $V$ lediglich
um eine additive Konstante ändert, die bei Differenzbildung von $V$
ohnehinn wieder herausfällt
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Kraft\index{Kraft}]$\vec{F}=-\vec{\nabla}V\left(\vec{x}\right)=-\textrm{grad}V\left(\vec{x}\right)$
\item [Gleichgewichtspunkt\index{Gleichgewichtspunkt}]$\vec{F}\left(\vec{x}_{0}\right)=0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Diese Punkte bilden eine Äquipotentialfläche
\end{itemize}

\subsection{Kinetische Energie}

\begin{description}
\item [Kinetische~Energie\index{Kinetische Energie}]$T=\frac{1}{2}m\vec{v}^{2}$
\end{description}

\subsection{Energieerhaltung}

\begin{description}
\item [Energieerhaltung]$E=T+V=konst$
\end{description}
\begin{itemize}
\item für Konservative $\vec{F}$
\item für Konservative Kräfte ist die Gesamtenergie während des Bewegungsablaufs
konstant (erhalten).
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Leistung]$\frac{dW}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\vec{F}\vec{x}\right)\approx\vec{F}\cdot\vec{v}$
\end{description}

\subsection{Mehrteilchensysteme}


\subsubsection{Allgemein}

\begin{description}
\item [abgeschlossen\index{abgeschlossen}]Ein System von $N$ Teilchen
heißt abgeschlossen falls $\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}=0$ für alle
$i$
\end{description}
\begin{itemize}
\item In einem solchen System kann man durch Kentniss von allen $\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t_{0}\right),\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\left(t_{0}\right)$
alle $\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)$ für jedes $i$ und
jedes $t$ bestimmen. \emph{Laplace'scher Dämon\index{Laplace'scher Dämon}}
$\Rightarrow$ aufgrund von Messfehlern werden die Bahnen in vielen
Fällen unvorhersagbar! (Chaos)
\end{itemize}

\paragraph{Bewegungsgesetz\index{Bewegungsgesetz}}

\[
\frac{d\vec{p}^{\left(i\right)}}{dt}=\vec{F}\left(\vec{x}^{\left(1\right)},\ldots,\vec{x}^{\left(N\right)},\dot{\vec{x}}^{\left(1\right)},\ldots,\dot{\vec{x}}^{\left(N\right)},t\right)\]



\paragraph{Zentralkräfte\index{Zentralkräfte}}

\[
\vec{F}^{\left(ij\right)}=\vec{F}\left(\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|\right)=F^{\left(ij\right)}\left(\left|\vec{r}\right|\right)\frac{\vec{r}}{\left|\vec{r}\right|}\]



\subsubsection{Translation\index{Translation}}


\paragraph{Massenschwerpunkt\index{Massenschwerpunkt}}

\[
\vec{R}\left(t\right)=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_{i}\vec{x}_{i}^{\left(i\right)}\left(t\right)}{\sum_{i=1}^{N}m_{i}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_{i}\vec{x}_{i}^{\left(i\right)}\left(t\right)}{M}\]


\[
M=\sum_{i=1}^{N}m_{i}\]



\paragraph{Gesamtimpuls\index{Gesamtimpuls}}

\begin{eqnarray*}
\vec{P}\left(t\right) & = & \sum_{i=1}^{N}\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)\\
 & = & \dot{\vec{R}}\left(t\right)M\end{eqnarray*}


\[
\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)=m_{i}\dot{\vec{x}}\left(t\right)\]



\paragraph{Kraft\index{Kraft}}

\[
\vec{F}=\dot{\vec{P}}\left(t\right)=M\ddot{\vec{R}}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}\]



\subsubsection{Rotation\index{Rotation}}


\paragraph{Drehimpuls\index{Drehimpuls}}

\[
\vec{l}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)\times\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)\]
\[
\vec{L}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{l}^{\left(i\right)}\left(t\right)\]



\paragraph{Drehmoment\index{Drehmoment}}

\[
\vec{N}\left(t\right)=\dot{\vec{L}}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{N}^{\left(i\right)}\left(t\right)\]


\[
\vec{N}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{x}^{\left(i\right)}\times\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}\]



\paragraph{Schwerpunkt als Referenzpunkt\index{Referenzpunkt}}

\[
\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{R}\left(t\right)+\vec{x}'^{\left(i\right)}\]
\[
\vec{L}\left(t\right)=\vec{R}\left(t\right)\times\vec{P}\left(t\right)+\vec{L}_{in}\left(t\right)\]
\[
\vec{L}_{in}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{x}'^{\left(i\right)}\left(t\right)\times\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)\]


\begin{itemize}
\item Für $\vec{R}\left(t\right)=$konstant gilt $\vec{L}=\vec{L}_{in}$
\end{itemize}

\subsubsection{Energie\index{Energie}}

\[
\frac{d}{dt}\underbrace{\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m\left(\ddot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\right)^{2}}_{T}+\frac{d}{dt}\underbrace{\sum_{i<j}^{N}V^{ij}}_{V}=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}\cdot\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\]


\begin{itemize}
\item $T$ gesamte kinetische Energie
\item $V$ gesamte potentielle Energie
\item $E=T+V$ Gesamtenergie
\end{itemize}
\[
\dot{E}=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}\cdot\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\]



\subsubsection{Erhaltungssätze\index{Erhaltungssätze}}

\begin{description}
\item [Bedingung]$\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}=0$ Es wirken keine externen
Kräfte

\begin{description}
\item [Impulserhaltung\index{Impulserhaltung}]$\dot{\vec{P}}=0\Rightarrow\vec{P}=$konstant
\item [Drehimpulserhaltung\index{Drehimpulserhaltung}]$\dot{\vec{L}}=0\Rightarrow\vec{L}=$konstant
\item [Energieerhaltung\index{Energieerhaltung}]$\dot{\vec{E}}=0\Rightarrow\vec{E}=$konstant
\item [Bewegungskonstanten\index{Bewegungskonstanten}]$\left|\left\{ \vec{R}_{0},\vec{P},\vec{L},E\right\} \right|=10$
\end{description}
\end{description}

\subsection{Kontinuierliche\index{Kontinuierliche Systeme} Systeme}

\begin{description}
\item [Dichte]$\varrho\left(\vec{x}\right)=\frac{dM}{dV}$ ist ein Skalares
Feld
\item [Gebiet]$G$ hierüber ersteckt sich das System
\item [Masse]$M=\int_{G}dV\,\varrho\left(\vec{x}\right)$
\item [Schwerpunkt]$\vec{R}=\frac{\int_{G}dV\varrho\left(\vec{x}\right)\cdot\vec{x}}{\int_{G}dV\varrho\left(\vec{x}\right)}$
\end{description}

\subsection{Nicht Inertialsysteme\index{Inertialsysteme!Nicht}}


\subsubsection{Transformation\index{Transformation} von Bezugssystemen}

\begin{description}
\item [Sachverhalt]Sei ein Punkt bezüglich dem System $K$ mit dem Vektor
$\vec{x}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ und bezüglich dem System
$K'$ mit dem Vektor $\vec{x}'=\left(x_{1}',x_{2}',x_{3}'\right)$
gegeben.
\item [Abstandserhaltend\index{Abstandserhaltend}]ist eine Abbildung dann,
wenn für zwei Punkte in beiden Systemen der gleiche Abstand gilt,
also \[
d=\left|\vec{x}-\vec{\tilde{x}}\right|=\left|\vec{x}'-\vec{\tilde{x}}'\right|\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Eine Transformation zwischen Bezugssystemen muss Abstandserhalten\index{Abstandserhalten}
geschehen
\end{itemize}

\paragraph{Transformation\index{Transformation} des Ortsvektors}

\begin{eqnarray*}
\vec{x} & = & A\vec{x}'+\vec{a}\\
\vec{x}' & = & A'\vec{x}+\vec{a}'\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $A$ und $A'$ sind reelle orthoginale $3\times3-$Matrizen. Das heißt
es gilt: $A^{-1}=A^{T}$
\item $A'=A^{T}$
\item $\vec{a}'=-A^{T}\vec{a}$
\item $\vec{a}$ bzw. $\vec{a}'$ sind die Abstände der Koordinatenursprünge
\item Es sind in der Summe $6$ Parameter die die Transformation bestimmen.
$3$ Winkel und $3$ stück für den Offset Vektor.
\end{itemize}

\paragraph{Transformation der Zeitableitung}

\[
\frac{d}{dt}=\frac{d'}{dt'}+\vec{\omega}'\times\]



\paragraph{Transformation der Geschwindigkeit}

\[
\vec{v}=\vec{v}'+\dot{\vec{R}}+\vec{\omega}'\times\vec{x}'\]


\begin{itemize}
\item die Strichgrössen $\left(v',x'\right)$ sind in den Koordinaten des
urspünglichen Systems einzugeben
\end{itemize}

\paragraph{Transformation der Beschleunigung / Kraft}

\[
\vec{a}=\ddot{\vec{R}}+\dot{\vec{\omega}}\times\vec{x}'+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{x}'\right)+2\left(\vec{\omega}\times\vec{v}'\right)+\vec{a}'\]
\[
m\vec{a}'=\vec{F}'=\vec{F}+m\left(\vec{a}'-\vec{a}\right)=\vec{F}+\vec{F}_{s}\]


\begin{description}
\item [Scheinkräfte]\[
\vec{F_{s}}=\vec{F}_{col}+\vec{F}_{zen}+\vec{F}_{1}+\vec{F}_{tr}\]

\item [Translative~Kraft]$\vec{F}_{tr}=-m\ddot{\vec{R}}=m\ddot{\vec{R}}'$
\item [Zentrifugalkraft]$\vec{F}_{zen}=-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{x}'\right)$
\item [Coreoliskraft]$\vec{F}_{col}=-2m\vec{\omega}\times\vec{v}'$
\item [Namenslos]$\vec{F}_{1}=-m\dot{\vec{\omega}}\times\vec{x}'$
\end{description}

\subsubsection{Drehungen}

\begin{description}
\item [Drehmatrix\index{Drehmatrix}]$\mathcal{D}\left(\psi,\theta,\varphi\right)=\mathcal{D}_{3}\left(\varphi\right)\cdot\mathcal{D}_{1}\left(\theta\right)\cdot\mathcal{D}_{3}\left(\psi\right)$
\end{description}
%
\begin{figure*}

\caption{\label{cap:Komplette-Drehmatrize}Komplette Drehmatrize}

\[
\mathcal{D}\left(\psi,\theta,\varphi\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\cos\psi\cdot\cos\varphi-\sin\varphi\cdot\cos\theta\cdot\sin\varphi & -\cos\psi\cdot\sin\varphi-\sin\psi\cdot\cos\theta\cdot\cos\varphi & \sin\psi\cdot\cos\theta\\
\cos\psi\cdot\sin\varphi\cos\theta+\sin\psi\cdot\cos\varphi & -\sin\psi\cdot\sin\varphi+\cos\psi\cdot\cos\varphi\cdot\cos\theta & -\cos\psi\cdot\sin\theta\\
\sin\varphi\cdot\sin\theta & \sin\theta\cdot\sin\varphi & \cos\theta\end{array}\right)\]

\end{figure*}


\begin{itemize}
\item Gesamtmatix siehe Abbildung \vref{cap:Komplette-Drehmatrize}.
\item Drehung um die $1$-Achse mit dem Winkel $\theta$\\
$\mathcal{D}_{1}\left(\theta\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
0 & \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right)$
\item Drehung um die $3$-Achse mit dem Winkel $\varphi$\\
$\mathcal{D}_{3}\left(\varphi\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\cos\varphi & -\sin\varphi & 0\\
\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 1\end{array}\right)$
\item Dies mit den $3$ Parametern lassen sich alle möglichen Drehungen
im $\mathbb{R}^{3}$ beschreiben.
\item Dies sind die eulerschen Winkel
\item Drehmatizen sind identisch mit \emph{Orthogonalmatizen}\index{Orthogonalmatizen}.
Charakteristika:

\begin{itemize}
\item $A^{-1}=A^{T}$
\item $\det A=1$
\end{itemize}
\item $\mathcal{D}_{i}\left(x\right)\mathcal{D}_{i}\left(y\right)=\mathcal{D}_{i}\left(y\right)\mathcal{D}_{i}\left(x\right)$
\item $\mathcal{D}_{i}\left(x\right)$ bilden eine kommutative Gruppe
\item Diese Matrizen sind abstandserhaltend\\
$\left\langle a,b\right\rangle =\left\langle Aa,Ab\right\rangle $
\end{itemize}

\paragraph{Intifesimale Drehungen}


\subparagraph{Drehmatrix}

\begin{eqnarray*}
 & A\left(\Delta\psi,\Delta\theta,\Delta\varphi\right)=\\
 & \left(\begin{array}{ccc}
1 & -\Delta\varphi-\Delta\psi & 0\\
\Delta\varphi+\Delta\psi & 1 & -\Delta\theta\\
0 & \Delta\theta & 1\end{array}\right)\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
\Delta A & = & \left(\begin{array}{ccc}
0 & -\Delta\varphi-\Delta\psi & 0\\
\Delta\varphi+\Delta\psi & 0 & -\Delta\theta\\
0 & \Delta\theta & 0\end{array}\right)\\
\Delta A & = & -\Delta A^{T}\end{eqnarray*}



\subparagraph{Drehvektor}

Eine Drehung des Vektors $\Delta\vec{a}$ um den Winkel $\alpha$
um die Achse $\vec{\alpha}$ lässt sich durch das Kreuzprodukt $\Delta\vec{a}\times\vec{\alpha}$
beschreiben

\begin{eqnarray*}
\Delta\vec{\alpha} & = & \left(\begin{array}{c}
\Delta\theta\\
0\\
\Delta\varphi+\Delta\psi\end{array}\right)\\
\vec{\omega} & = & \left(\begin{array}{c}
\dot{\theta}\\
0\\
\dot{\varphi}+\dot{\psi}\end{array}\right)\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
\Delta\vec{a} & = & \Delta A\vec{a}\\
 & = & \left(\begin{array}{c}
-a_{2}\left(\Delta\varphi+\Delta\psi\right)\\
a_{1}\left(\Delta\varphi+\Delta\psi\right)-a_{3}\Delta\theta\\
a_{2}\Delta\theta\end{array}\right)\\
 & = & \Delta\vec{\alpha}\times\vec{a}\\
 & = & \Delta\vec{\alpha}\times\vec{\alpha}_{\perp}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $\vec{a}=\vec{a}_{||}+\vec{a}_{\perp}$ bezogen auf $\Delta\vec{\alpha}$
\item $\vec{a}_{||}=\frac{\left(\vec{a}\cdot\Delta\vec{\alpha}\right)\Delta\vec{\alpha}}{\left|\Delta\vec{\alpha}\right|^{2}}$
\item $\Delta\vec{\alpha}\vec{a}_{||}=0$
\item Drehvektor $\Delta\vec{\alpha}=\Delta\gamma\vec{e}_{\Delta\alpha}$

\begin{itemize}
\item $\Delta\gamma=\left|\Delta\vec{\alpha}\right|=\sqrt{\left(\Delta\theta\right)^{2}+\left(\Delta\psi+\Delta\varphi\right)^{2}}$
\end{itemize}
\end{itemize}

\section{Spezielle Relativitätstheorie}

\begin{description}
\item [Geltungsbereich]In der speziellen Relativitätstheorie werden nur
Inertialsysteme betrachtet. Das heißt, Systeme die gegeneinander nicht
beschleunigt sind, und frei fallen.
\item [Eingenschaften]In der Newtonschen Mechanik werden Geschwindigkeiten
einfach addiert und die Zeit verläuft in allen Systemen gleich. In
der Speziellen Relativitätstheorie wird der Bedingung Rechnung getragen,
dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem konstant ist
und also den gleichen Wert hat, nämlich
\item [Lichtgeschwindigkeit]$c=2,99792458\cdot10^{8}\frac{m}{s}$
\end{description}

\subsection{Lorentz-Transformation\index{Lorentz-Transformation}}

\begin{description}
\item [Bedingung]in allen Inertialsystemen $K$ und $K'$ muss gelten\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}t'^{2}\]
 
\end{description}

\subsubsection{Spezielle Lorentztransformation}

Sei das Inertialsystem $K'$ gegenüber dem Inertialsystem $K$ entlang
der $x$-Achse mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt.\begin{eqnarray*}
x' & = & \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma\left(x-\beta ct\right)\\
y' & = & y\\
z' & = & z\\
t' & = & \frac{t-\frac{vx}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma\left(t-\frac{\beta}{c}x\right)\end{eqnarray*}



\subsubsection{Lorentz-$\gamma$-Faktor\index{Lorentz Faktor}}

\begin{eqnarray*}
\gamma & = & \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\\
\beta & = & \frac{v}{c}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $\beta$ kann als eine art Geschwindigkeit aufgefasst werden. Wobei
$c$ dabei $1$ und damit das Maximum darstellt.
\end{itemize}

\subsubsection{allgemeine Lorentztransformation}

Sei das Inertialsystem $K'$ gegenüber dem Inertialsystem $K$ entlang
der Geschwindigkeit $\vec{v}$ (gemessen im System $K$) bewegt. 

Hierfür werden die Formeln aus der Speziellen Lorentztransformation
genutzt, allerdings der Vektor $\vec{x}=\left(x,y,z\right)$ wird
in zwei Komponenten zerlegt\[
\vec{x}=\vec{x}_{||}+\vec{x}_{\perp}\]


Dabei ist $\vec{x}_{||}$ die Komponente von $\vec{x}$ in Richtung
$\vec{v}$, und $\vec{x}_{\perp}$ die senkrecht dazu. Nun könnte
man einfach $\vec{x}_{||}$ wie in der speziellen Lorenztransformation
verändern, und $\vec{x}_{\perp}$ gleich belassen unter der Transformation.
Dies eingesetzt ergibt:

\begin{eqnarray*}
\vec{x}' & = & \vec{x}+\left(\gamma-1\right)\frac{\vec{v}\vec{x}}{v^{2}}\vec{v}-\gamma\vec{v}t\\
t' & = & \gamma\left(t-\frac{\vec{v}\vec{x}}{c^{2}}\right)\end{eqnarray*}



\subsubsection{Addition der Geschwindigkeiten}

Sei $K'$ relativ zu $K$ entlang der $x$-Achse mit $\vec{v}=\left(v,0,0\right)$
bewegt. Eine Geschwindigkeit $\vec{w}=\left(w_{x},w_{y},w_{z}\right)$
im System $K$ sieht aus dem System $K'$ betrachtet wie folgt aus\[
\vec{w}'=\frac{1}{1-\frac{w_{x}v}{c^{2}}}\left(w_{x}-v,w_{y}\sqrt{1-\beta^{2}},w_{z}\sqrt{1-\beta^{2}}\right)\]


\begin{itemize}
\item $v_{ges}=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+\frac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}$
\item Grenzfall keiner Geschwindigkeiten $v\ll c$ gilt:\\
$\vec{w}'=\vec{w}-\vec{v}$
\end{itemize}

\subsection{Minkowski Raum\index{Minkowski Raum}}


\subsubsection{Weltraum}

\begin{description}
\item [Weltraum\index{Weltraum}]wird die Menge $M$ aller Ereignisse genannt,
die aus $4$-Tupeln $\left(x,y,z,t\right)$ bestehen. D.h. $E\left(\vec{x},t\right)\in M$.
\item [Weltlinie\index{Weltlinie}]ist eine Kurve im $4$ Dimeanionalen
Raum und beschreib die Reise eines Teilchens durch Raum und Zeit.
\end{description}

\subsubsection{Kontra- und Kovariante Vektoren}

\[
x^{\mu}=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=\left(ct,x,y,z\right)\]
 mit $\mu=0,1,2,3$ ist ein \emph{Kontravarianter Vektor\index{Kontravarianter Vektor}.}

\[
x_{\mu}=\left(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(ct,-x,-y,-z\right)\]
 mit $\mu=0,1,2,3$ ist ein \emph{Kovarianter Vektor\index{Kovarianter Vektor}.}

Das Längenquadrat von $x^{\mu}$ ist mit\[
s_{E}^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\]
 bezeichnet. Es gilt:\[
s^{2}=x^{\mu}x_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}x^{\mu}x_{\mu}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\]


$s^{2}$ ist also Invariant unter der Lorentztransvormation.

\begin{itemize}
\item $s^{2}$ kann auch negativ werden!
\end{itemize}

\subsubsection{Lorentztransformation}

Es gilt \[
x'^{\mu}=\sum_{\nu}L_{\nu\mu}x^{\nu}=L_{\mu\nu}x^{\nu}\]
 mit $L$ als $4\times4$-Matrix.

Für den Fall einer Bewegung in $z$-Richtung mit $v$ gilt:\[
L=\left(\begin{array}{cccc}
\gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
-\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item $\det L=1$
\item $L^{T}=L$
\item $L$ beschreibt eine Drehung im Minkowski Raum
\item $L$ ist \emph{keine} Orthogonalmatrix, d.h. $L^{-1}\neq L^{T}$
\item $L^{-1}\left(\beta\right)=L\left(-\beta\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Eigenschaften des Längenquadrats}

\[
s^{2}=x^{\mu}x_{\mu}=\begin{cases}
>0 & \textrm{zeitartig}\\
=0 & \textrm{lichtartig}\\
<0 & \textrm{raumartig}\end{cases}\]


\begin{description}
\item [Lichtkegel\index{Lichtkegel}]In einem Raum / Zeitdiagramm (Räumliche
Ausdehnung auf der Achse $x$ und $y$ Achse und $ct$ auf der $z$
Achse) bildet $s^{2}=0$ einen Kegeloberfläche die die $z$ und $x$
bzw. $y$ Achsen genau Winkelhalbiert. Innerhalb ist der \emph{zeitartige}
Berech, außerhalb der \emph{raumartige}.
\item [Raumartig\index{Raumartig}]Falls das Abstandsquadrat zwischen zwei
Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}<0$ ist bedeutet
dies, das sie \emph{nicht} Kausal voneinander abhängen können, da
nichts schneller ist als das Licht und sie somit keine Informationen
austauschen könnten. Desweiteren existert ein Inertialsystem, in dem
die Ereignisse zum gleichen Zeitpunkt allerdings an unterschiedlichen
Orten geschehen sind. Desweiteren lässt sich sogar durch passende
Transfromation vertauschen.
\item [Zeitartig\index{Zeitartig}]Falls das Abstandsquadrat zwischen zwei
Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}>0$ ist bedeutet
dies, das sie Kausal voneinander abhängen können, da z.B. das Licht
genug zeit gehabt hätte um Informationen auszutauschen. Desweiteren
existert ein Inertialsystem, in dem die Ereignisse am gleichen Ort
allerdings zu unterschiedlichen zeiten geschehen sind.
\item [Lichtartig\index{Lichtartig}]Mit dem Abstandsquadrat zwischen zwei
Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}=0$. Dies ist
der Grenzfall.
\end{description}
\begin{itemize}
\item Dies ist eine Lorentzinvariante. Die Eingenschaft, raum- licht- oder
zeitartig zu sein bleibt also bei der Lorenztransformation erhalten.
\end{itemize}

\subsection{Mechanik\index{Mechanik}}

Das Ziel ist es die Grundgesetze der klassischen Mechanik so umzuschreiben,
das forminvariant sind gegenüber der Lorenztransformation (behalten
Form bei).


\subsubsection{Kinematik\index{Kinematik}}

Alle hier aufgeführten Größen sind Lorentzinvariant

\begin{description}
\item [Differential\index{Differential}]$dx^{\mu}=\left(c\cdot dt,dx,dy,dz\right)$
\item [Bogenelement\index{Bogenelement}]$\left(ds\right)^{2}=dx^{\mu}dx_{\mu}=c^{2}\left(dt\right)^{2}-\left(d\vec{x}\right)^{2}$
\item [Eigenzeit\index{Eigenzeit}]$\left(d\tau\right)^{2}=\frac{1}{c^{2}}\left(ds\right)^{2}=\left(dt\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(d\vec{x}\right)^{2}=\left(dt'\right)^{2}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $dt'$ ist im mitgeführten Inertialsystem mit Relativgeschwindigkeit
$v$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Zeit\index{Zeit}]$dt=\gamma d\tau>d\tau$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Das heißt die Eigenzeit geht immer nach!
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Geschwindigkeit\index{Geschwindigkeit}]$u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\gamma\frac{dx^{\mu}}{dt}=\gamma\left(c,\vec{v}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item es gilt $u^{\mu}u_{\mu}=c^{2}$
\item Im mitgeführten Inertialsystem $\left(c,\vec{0}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Dynamik\index{Dynamik}}

\begin{description}
\item [relativisitsche~Masse\index{relativistische Masse}\index{Masse}]$m\left(v\right)=\gamma\left(v\right)m$
\item [Minkowski-Kraft\index{Minkowski-Kraft}\index{Kraft}]$K^{\mu}=m\frac{du^{\mu}}{d\tau}=\gamma\left(\frac{\vec{F}\vec{v}}{c},F_{x},F_{y},F_{z}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $K^{\mu}u_{\mu}=0$
\item $\vec{F}\vec{v}=\frac{d}{dt}\left(\gamma mc^{2}\right)$
\item Im mitgeführten Inertialsystem $\left(0,\vec{F}\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Kinetische~Energie\index{Kinetische Energie}\index{Energie}]identisch
mit relativistischer Energie
\item [Relativiteische~Energie]$E=T=\sqrt{c^{2}\vec{p}^{2}+m^{2}c^{4}}=\gamma mc^{2}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Für $v\lll c$ gilt $T=mc^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}$
\item ist Erhaltungsgröße und Lorenzinvariant
\item Impulserhaltung $\Leftrightarrow$ Energieerhaltung
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Ruheenergie\index{Ruheenergie}]$mc^{2}$
\item [Vierer-Impuls\index{Impuls}]~\[
p^{\mu}=mu^{\mu}=\left(\frac{T}{c},\gamma mv_{x},\gamma mv_{y},\gamma mv_{z}\right)=\left(\frac{T}{c},\vec{p}\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $p^{2}=m^{2}c^{2}$
\item $\vec{p}=m\left(v\right)\vec{v}$
\item ist Erhaltungsgröße und Lorenzinvariant
\item Impulserhaltung $\Leftrightarrow$ Energieerhaltung
\end{itemize}

\section{Thermodynamik}


\subsection{Einleitung}


\subsubsection{Begriffe}

\begin{description}
\item [thermodynamisches~System\index{thermodynamisches System}]System
mit $\sim10^{23}$ Teilchen
\item [Wände\index{Wände}]die Abgrenzung des Systems zur Umgebung geschieht
durch Wände
\item [abgeschlossenes~System\index{abgeschlossenes System}]kein Austausch
mit Umgebung (isoliert)
\item [geschlossenes~System\index{geschlossenes System}]Kontakt mit Umgebung

\begin{description}
\item [Wärmeaustausch\index{Wärmeaustausch}]die Umgebung ist ein Wärmebad
mit {}``unendlicher'' Kapazität
\item [Arbeitsaustausch\index{Arbeitsaustausch}]System verrichtet in der
Umgebung Arbeit
\end{description}
\item [offenes~System\index{offenes System}]auch Austausch von Teilchen
\item [Zustandsgrößen\index{Zustandsgrößen}]Aus den gemeinsamen Eigenschaften
der Körper im Vielteilchensystem lassen sich gemeinsamkeiten {}``extrahieren''.\\
Gas: $V,p,T,N,S,U,\ldots$
\item [Zustandsfunktionen\index{Zustandsfunktionen}]setzt zustandsgrößen
in Beziehung

\begin{description}
\item [extensive~Zustandsgrößen\index{extensive Zustandsgrößen}]sind
(Stoff-) Mengenabhängig, d.h. sie verändern sich beim Zusammenführen
sonst gleicher Systeme
\item [intensive~Zustandsgrößen\index{intensive Zustandsgrößen}]sind
nicht (Stoff-) Mengenabhängig
\end{description}
\item [Zustandsraum\index{Zustandsraum}]gebildet aus allen möglichen Zustandsgrößen
\item [Zustand\index{Zustand}]Punkt im Zustandsraum
\item [Gleichgewicht\index{Gleichgewicht}]Werte der Zustandsgrößen sind
zeitlich konstant
\item [thermodynamischer~Prozess\index{thermodynamischer Prozess}]Folge
von Gleichgewichtszuständen
\end{description}

\subsubsection{Hauptsätze\index{Hauptsätze}}

\begin{description}
\item [0.~Hauptsatz]Existenz einer Temperatur
\item [1.~Hauptsatz]{}``Wärme'': es gilt Energieerhaltung
\item [2.~Hauptsatz]{}``Wärme'' lässt sich nicht vollständig in andere
Energieformen umsätzen
\item [3.~Hauptsatz]Temperaturnullpunkt nie erreichbar
\end{description}
\begin{itemize}
\item Mikroskopische Begründung in der statistischen Physik
\end{itemize}

\subsection{Themperaturegriff\index{Themperaturegriff}}


\subsubsection{Eigenschaften}

\begin{enumerate}
\item Jedes makroskopische System besitzt eine Temperatur\\
intensive Zustandsgröße $\rightarrow$ überall gleich im isolierten
System
\item skalare Meßgröße
\item $A$ und $B$ Systeme mit Temperaturen es gilt:\\
Anordnungsaxiom:\\
$T_{A}>T_{B}$ bzw. $T_{A}<T_{B}$ bzw. $T_{A}=T_{B}$
\item $A,B$ und $C$ Systeme mit Temperaturen es gilt:\\
$T_{A}>T_{B}\wedge T_{B}>T_{C}\Rightarrow T_{A}>T_{C}$
\item $A$ und $B$ Systeme mit Temperaturen es gilt:\\
$T_{A}=T_{B}=T_{A+B}$
\item $A$ und $B$ Systeme mit Temperaturen es gilt:\\
$T_{A}^{\left(1\right)}<T_{B}^{\left(1\right)}\rightarrow T_{A}^{\left(1\right)}<T_{A+B}^{\left(2\right)}<T_{B}^{\left(1\right)}$
\item $0$.te Hauptsatz:\\
jedem thermodynamischen System kann eine Temperatur zugeordnet werden
\item Meßvorschrift\\
Thermometer: jede Physikalische Eigenschaft die streng monoton von
$T$ abhängt kann zur konstruktion eines Thermometers verwendet werden.
\end{enumerate}

\subsection{Ideales Gas\index{Ideales Gas}}


\subsubsection{Eigenschaften}

\begin{itemize}
\item Punktteilchen: kein Eigenvolumen
\item keine Wechselwirkung
\item entsprechen Realen Gasen unter extremer Verdünnung $\varrho=\frac{N}{V}\rightarrow0$
\end{itemize}

\subsubsection{Zustandsgleichung}

Nach \emph{Boyle-Mariott\index{Boyle-Mariott}} gilt

\[
\frac{pV}{N}=k\]


gemäß der Erfahrung gilt: \[
k\left(\theta\right)=k_{0}\left(1+\alpha\theta\right)\]


\begin{itemize}
\item $p$ Druck, Kraft pro Fläche
\item $V$ Volumen
\item $N$ Anzahl Teilchen im Volumen
\end{itemize}

\subsubsection{Celsius Skala\index{Celsius Skala}}

$\theta\left(0°\right):$ Gefrierpunkt von Wasser bei $p=1atm$

$\theta\left(100°\right)$: Siedepunkt von Wasser bei $p=1atm$

\[
\alpha=\frac{k\left(100°\right)-k\left(0°\right)}{100°K\left(0°\right)}=\frac{1}{273,2}\]



\subsubsection{Kelvin Skala\index{Kelvin Skala}}

Dies ist eine Absolute Temperaturskala. D.h. es gibt keine negativen
Temperaturen.\[
T=\frac{1}{\alpha}+\theta=273,2+\theta\]


\[
k\left(t\right)=k_{0}\alpha T=k_{B}T\]
 mit der \emph{Bolzmann Konstante}\index{Bolzmann Konstante}\[
k_{B}=1,3805\cdot10^{-23}\frac{J}{K}\]


Somit gilt für das ideale Gaß\[
pV=Nk_{B}T\]


mit der \emph{Avogrado-Konstante\index{Avogadro-Konstante}} \[
N_{a}=6,02252\cdot10^{-23}\frac{1}{mol}\]


und der \emph{Idealen Gaskonstante\index{ideale Gaskonstante}\index{Gaskonstante}}

\[
R=k_{B}N_{A}=8,3146\frac{J}{K\, mol}\]


und der \emph{Molanzahl\index{Molanzahl}} $n$\[
n=\frac{N}{N_{A}}\]


lässt sich die ideale Gasgleichung auch so schreiben\[
pV=nRT\]


\begin{itemize}
\item Diese Gleichung kann keine Phasenübergänge beschreiben
\end{itemize}

\subsection{Reale Gase}


\subsubsection{Van der Waalsgleichung\index{Van der Waalsgleichung}}

\[
p_{\textrm{eff}}V_{\textrm{eff}}=nRT\]


Hierbei werden die Eigenvolumina in $V_{\textrm{eff}}$ und die Wechselwirkungskräfte
der Teilchen $p_{\textrm{eff}}$.

\begin{eqnarray*}
V_{\textrm{eff}} & = & V-nb\\
p_{\textrm{eff}} & = & p+a\frac{n^{2}}{V^{2}}\end{eqnarray*}
mit $a,b$ Materialkonstanten

\[
\left(p+a\frac{n^{2}}{V^{2}}\right)\left(V-nb\right)=nRT=Nk_{B}T\]



\subsubsection{Kritische Punkte\index{Kritische Punkte}}

Die Van der Waalsgleichung lässt sich auch wie folgt umformen:\[
V^{3}-V^{2}\left(nb+\frac{nRT}{p}\right)+V\frac{an^{2}}{p}-ab\frac{n^{3}}{p}=0\]


Diese gleichung hat für $V>V_{c}$ nur eine reelle Lösung.

Das Tripel $\left(p_{c},V_{c},T_{c}\right)$ nennt sich Kritischer
Punkt. Es gilt:\[
\left(V-V\right)^{3}=V^{3}-3V^{2}V_{c}+3VV_{c}^{2}=0\]


durch Koeffizientenvegleich erhält man:\begin{eqnarray*}
V_{c} & = & 3bn\\
p_{c} & = & \frac{a}{27b^{2}}\\
RT_{c} & = & \frac{8a}{27b}\\
Z_{c} & = & \frac{p_{c}V_{c}}{nRT_{c}}=\frac{3}{8}\end{eqnarray*}


für reale Gase ist $Z_{c}<\frac{3}{8}$. Beim idealen Gas ist $Z_{c}=1$.


\subsubsection{Reduzierte Größen}

Mit Hilfe reduzierter Größen lässt sich die Vanderwaals Gleichung
wie folgt umschreiben:\begin{eqnarray*}
\pi & = & \frac{p}{p_{c}}\\
v & = & \frac{V}{V_{c}}\\
t & = & \frac{T}{T_{c}}\end{eqnarray*}
\[
\left(\pi+\frac{3}{V^{2}}\right)\left(3V^{2}-1\right)=8t\]



\subsubsection{Maxwell Konstruktion\index{Maxwell Konstruktion}}

Im Bereich unterhalb von $p_{c}$ wird die Kurve ein Stückweit durch
eine Gerade parallel zu $V$ Achse ersetzt, und zwar so, das die Fläche
zwischen den beiden Kurven im Bereich zwischen den Schnittpunkten
gleich $0$ ist.


\subsubsection{Viralentwicklung\index{Viralentwicklung}}

Die Van der Waalsgleichung lässt sich auch schreiben als\[
p=\frac{nRT}{V}\left(1+B_{1}\left(\frac{N}{V}\right)+B_{2}\left(\frac{N}{V}\right)^{2}+\ldots\right)\]
 mit den Viralkoeffizienten $B_{i}$ diese sind für die Van der Waalsgleichung\begin{eqnarray*}
B_{1} & = & \frac{b}{N_{a}}-\frac{a}{N_{a}^{2}k_{b}T}\\
B_{i} & = & \left(\frac{b}{N_{a}}\right)^{i}\textrm{für }i\ge2\end{eqnarray*}



\subsection{Thermodynamische Arbeit}


\subsubsection{Begriffe}

\begin{itemize}
\item $\Delta W$ Energieform - Zustandsänderungen sind mit Energieänderungen
verknüpft
\item $\Delta Q$ Änderung des Wärmeinhalts: Wärmemenge\index{Wärmemenge}
\item $\Delta W>0$ wenn \emph{am} System Arbeit geleistet wird
\item $\Delta W<0$ wenn \emph{vom} System Arbeit geleistet wird
\item $\Delta Q>0$ wenn \emph{in das} System Wärme gepumpt wird
\item $\Delta Q<0$ wenn \emph{aus dem} System Wärme gepumpt wird
\end{itemize}

\subsubsection{Arbeit\index{Arbeit}}

\[
\delta W=-p\, dV\]


Ist die mechaniche Arbeit die durch eine Veränderung des Volumens
geleistet wird. Dies ist zwar infinitesimal, aber kein totales Differential,
also nicht $dW$. 

\begin{itemize}
\item $\int_{c}\delta W$ ist im allgemeinen Wegabhängig
\item $\Delta W=\int\delta W=-\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\left(V\right)\, dV$
\item Die Arbeit kann keine Zustandsgröße sein weil $\oint\delta W\neq0$
\end{itemize}

\subsubsection{Differentialform}

Eine \emph{Differentialform\index{Differentialform}}\[
\delta A=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\left(x_{1},\ldots,x_{m}\right)dx_{i}\]
 ist nur dann ein totales Differential $dA$, falls \[
\oint\delta A=0=\oint dA\]



\subsubsection{Zustandsfunktion}

Eine \emph{Zustandsgröße\index{Zustandsgröße}} (\emph{Zustandsfunktion}\index{Zustandsfunktion})
muss eindeutig sein. Durchläuft ein System im Zustandsraum einen geschlossenen
Weg, so müssen alle abhängigen wie unabhängigen Zustandsgrößen wieder
ihre Ausgangsgrößen annehmen. Von einer Zustandsgröße $\eta$ fordert
man daher\[
\oint d\eta=0\]


\begin{itemize}
\item $d\eta$ ist totales Differential
\item Beim zweifachen partiellen ableiten kann die Reihenfolge bei totalen
Differentialen vertauscht werden
\end{itemize}

\subsubsection{Hinzufügen von Teilchen}

Das hinzufügen von Teilchen in ein System erfordert auch Arbeit.\begin{eqnarray*}
N & \rightarrow & N+dN\\
\delta W & = & \mu dN\end{eqnarray*}


$\mu$ ist hierbei das chemische Potential.

Falls das System aus $k$ verschiedenen Teilchen besteht mit unterschiedlichen
$\mu_{i}$ gilt\[
\delta W=\sum_{i=1}^{k}\mu_{i}dN_{i}\]



\subsection{Erster Hauptsatz - Energieerhaltung\index{Energieerhaltung}}


\subsubsection{Einleitung}

Um die Energieerhaltung auch auf Thermodynamische Systeme auszudehnen,
muss man ihnen eine Energie zuordnen. Dies ist die Wärme. Sie besteht
aus den mikroskopischen kinetischen Energien der einzelnen Teilchen
im System.

\[
\delta Q=C\cdot dT\]


\begin{itemize}
\item $Q$ ist extensive Größe $T$ aber nicht. Also ist auch $C$ eine
extensive Größe.
\item $C$ bezeichnet die Wärmekapazität eines Systems
\item Man kann ein $C=n\cdot c=\frac{N}{N_{a}}c$ definieren
\end{itemize}

\subsubsection{innere Energie}

Für die innere Energie $U$ gilt\[
dU=\delta W+\delta Q\]


Mit Austasch von Teilchen gilt allgemeiner\[
dU=\delta W+\delta Q+\sum_{i=1}^{k}\mu_{i}dN_{i}\]


\begin{itemize}
\item $U$ ist eine Zustandsgröße, es gilt also $\oint dU=0$
\item In einem isolierten System (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung)
ist $U$ daher eine Erhaltungsgröße und es gilt\[
dU=0\]

\end{itemize}

\subsubsection{kalorische\index{kalorische Zustandsgleichung} Zustandsgleichung\index{Zustandsgleichung}}

Bei einem idealen Gas gilt\begin{eqnarray*}
U & = & U\left(T,N\right)\\
 & = & \frac{f}{2}Nk_{b}T\end{eqnarray*}


mit $f$ der Anzahl der Freiheitsgerade des Gases.


\subsection{Wärmekapazitäten\index{Wärmekapazität}}


\subsubsection{Einleitung}

Wie erwähnt gibt es einen Zusammenhang\[
\delta Q=C_{x}dT\]
 allerdings erweitert um $x$, das beschreibt in welcher Weise $\delta Q$
geändert wird.

\[
C_{x}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{x}\]


Dies lässt sich unter Kenntniss von $U$ bestimmen.


\subsubsection{Innere Energie allgemein}

Im Folgenden setzten wir ein geschlossenes System vorraus, also ohne
Teilchenaustausch. Das heißt das die innere Energie im Allgemeinen
von der Temperatur $T$ und einigen (nicht genauer Spezifizierten)
Zustandsvariablen $q_{1},\ldots,q_{n}$ abhängt, also \[
U=U\left(T,q_{1},\ldots,q_{n}\right)\]
 Somit können wir die Arbeit verallgemeinert schreiben mit Hilfe passender
$F_{i}$ \[
\delta W=\sum_{i=1}^{n}F_{i}dq_{i}\]
 somit ist die innere Energie \begin{eqnarray*}
\delta Q & = & dU-\delta W\\
 & = & dU-\sum_{i=1}^{n}F_{i}dq_{i}\\
 & = & \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}dT+\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\right)_{T,q_{j}\neq q_{i}}-F_{i}\right)dq_{i}\end{eqnarray*}



\subsubsection{Konstante $q_{i}$}

Seien nun außer $T$ alle Zustandsvariablen von denen $U$ abhängt,
also $q_{1},\ldots,q_{n}$ konstant. Somit ist $dq_{i}=0$ für jedes
$i$. Dann gilt:\[
C_{q}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{q}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}\]



\subsubsection{Konstante $F_{i}$}

Seien nun alle $F_{i}$ konstant, also $dF=0$. Da $F_{j}=F_{j}\left(q_{1},\ldots,q_{m},T\right)$
ist für alle $j$. Somit ist das Totale differential für $q_{i}$
gleich\begin{eqnarray*}
dq_{i} & = & \sum_{j=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial F_{j}}\right)_{T,q_{i}\neq q_{j}}dF_{i}\right)+\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}dT\\
 & = & \left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}dT\end{eqnarray*}


Somit gilt\begin{eqnarray*}
C_{F} & = & \left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{F}\\
 & = & \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}+\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\right)_{T,q_{j}\neq q_{i}}-F_{i}\right)\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}\end{eqnarray*}



\subsubsection{Wärmekapazitäten bei Gas}

Für ein Gas mit $q=V$ und $F=-p$ gilt dann für 

\begin{itemize}
\item $V$ konstant
\end{itemize}
\[
C_{V}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\]


\begin{itemize}
\item $p$ konstant
\end{itemize}
\[
C_{p}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{p}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}+\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\]


Daraus folgt:\[
C_{p}-C_{V}=\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\]



\subsubsection{Ideales Gas}

Hier ist $U=U\left(T\right)$ also unabhängig von $V$, also $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0$.
Mit folgenden \begin{eqnarray*}
U & = & \frac{f}{2}Nk_{b}T=U\left(T,N\right)\\
V & = & \frac{Nk_{b}T}{p}\end{eqnarray*}
gilt\begin{eqnarray*}
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} & = & \frac{Nk_{b}}{p}\\
C_{p}-C_{v} & = & Nk_{b}\end{eqnarray*}



\subsection{Abiabaten\index{Abiabaten} und Isothermen}


\subsubsection{Abiabatische Zustandsänderung}

Für eine abiabatische Zustandsänderung (Weg im Zustandsraum) gilt\[
\delta Q=0\]


\begin{itemize}
\item Erhalten bleibt die Entropie $S$
\end{itemize}

\subsubsection{Abiabaten beim idealen Gas}

\[
\gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}\]


\begin{itemize}
\item $TV^{\gamma-1}=const.$
\item $pV^{\gamma}=const.$
\item $T^{\gamma}p^{1-\gamma}=const.$
\end{itemize}

\subsubsection{Isotherme\index{Isotherme} Zustandsänderung}

Für eine isotherme Zustandsänderung (Weg im Zustandsraum) gilt\[
dT=0\]


\begin{itemize}
\item für ein ideales Gas gilt\[
\left(\delta Q\right)_{T}=\left(pdV\right)_{T}\]

\end{itemize}

\subsection{Zweiter Hauptsatz}

\[
dS\ge\frac{\delta Q}{T}\]


\begin{itemize}
\item Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art
\item Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die lediglich einem
kälteren Wärmebad Wärme entziehen und diese einem wärmeren Wärmebad
zuführt.
\end{itemize}

\subsection{Carnot\index{Carnot} Kreisprozess\index{Kreisprozess}}

\begin{description}
\item [Bestandteile]zwei Abiabaten und zwei Isothermen
\item [Wirktungsgrad\index{Wirktungsgrad}]$\eta=\frac{\textrm{geleistete Arbeit}}{\textrm{zugeführte Wärme}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Der Carnot Prozess hat den höchsten Wirkungsgrad von allen zwischen
zwei Wärmebädern arbeitenden Maschinen
\item Dieser Wirkungsgrad wird von allen reversibel arbeitenden Maschinen
erreicht
\item Über diesen Wirkungsgrad lässt sich eine absolute Temperaturskala\index{Temperaturskala}
definieren, die nicht mehr von der Existenz eines idealen Gases ausgeht.
\end{itemize}

\subsection{Entropie}


\subsubsection{Clausiussche\index{Clausiussche Ungleichung} Ungleichung}

\[
\oint\frac{\delta Q}{T}\le0\]



\subsubsection{Entropie für reversible prozesse}

Bei reversiblen Prozessen gilt\[
\oint\frac{\delta Q}{T}=0\]


also ist die \emph{Entropie\index{Entropie}} \[
S\left(A\right)=\int_{A_{0}}^{A}\frac{\delta Q}{T}\]
 wegunabhängig und bis auf eine additive Konstante festgelegt.

\begin{itemize}
\item $dS=\frac{\delta Q}{T}$ ist also ein totales Differential
\item im idealen Gas gilt\[
\Delta S=nR\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}\]

\end{itemize}

\subsubsection{Entropie in beliebigen Prozessen}

\begin{eqnarray*}
dS & \ge & \frac{\delta Q}{T}\end{eqnarray*}
\[
dS\ge dU-\delta W-\delta E_{c}\]
\[
\delta E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}dN_{i}\]


\begin{itemize}
\item Im isolierten System gilt\[
dS\ge0\]

\item Entropie ist immer auf reversiblen Ersatzprozessen zu berechnen
\end{itemize}

\subsection{Folgerungen}

\begin{itemize}
\item Im System ohne Teilchenaustausch $TdS=dU-\delta W$
\end{itemize}
\printindex{}
\end{document}
