%% LyX 1.3 created this file. 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Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} \section{Grundlagen der Klassischen Mechanik} \subsection{Der Newtonsche Raum-Zeit-Begriff} \subsubsection{Allgemeines} \begin{itemize} \item abgeschlossenes Gedankengebäude \item für $v\ll c$ gültig \item Beschreibung der Bewegung von materiellen Körpern \item Raum-Zeit-Begriff \end{itemize} \subsubsection{Raumbegriff\index{Raumbegriff}} \begin{itemize} \item der Raum ist $3$-Dimensional (z.B. Höhe, Breite, Tiefe) \item der Raum ist unbegrenzt \item materielle Körper füllen begrenzte Gebiete des Raumes aus \item der Raum ist Euklidisch (z.B. ist die Winkelsumme im Dreieck$=180°$ \item Körper bewegen sich im Raum. Körper sind also Relativ zum Raum in Bewegung oder in Ruhe \end{itemize} \subsubsection{Zeitbegriff\index{Zeitbegriff}} \begin{itemize} \item das Dahinströmen der Zeit ist unabhängig von physikalischen Vorgängen \item alle Bewegungsvorgänge durch {}``absolute Zeit'' beschreibbar \item gleichzeitige Ereignisse werden von allen Beobachtern (Ruhe oder Bewegung) als gleichzeitig erfahren \end{itemize} \subsection{Kinematik\index{Kinematik}} \subsubsection{Bahn\index{Bahn}} \begin{itemize} \item Alle materiellen Körper sind als {}``Massenpunkte'' oder als eine Ansammlung von $N$ Massenpunkten darstellbar \item Bahnen sind eine Schaar von Vektoren mit Bahnparameter: z.B. mit Bahnparameter Zeit: $\vec{x}\left(t\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Ereigniss\index{Ereigniss}} \begin{itemize} \item Ein Ereignis ist durch 4 Zahlen beschreibbar. $3$ Koordinaten des Raumes, und eine der Zeit. $E\left(\vec{x},t\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Bewegungsgesetz\index{Bewegungsgesetz}} \begin{itemize} \item Im allgemeinen lässt sich (mit Hilfe der Taylor Entwicklung) eine Gleichung mit Hilfe ihrer Ableitungen vollständig beschreiben.\[ \vec{x}\left(t\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(t-t_{0}\right)^{n}\left.\frac{d^{n}\vec{x}\left(t\right)}{dt^{n}}\right|_{t=t_{0}}\] \item Diese unendliche Summe lässt sich verkürzen, falls ein \emph{Bewegungsgesetz} existiert. In einem Bewegungsgesetz lässt sich die $n$-te Ableitung aus der Funktion, dem Parameter und den vorhergehenden Ableitungen rekonstruieren:\[ \frac{d^{n}\vec{x}\left(t\right)}{dt^{n}}=\vec{f}\left(\vec{x},\frac{d\vec{x}}{dt},\ldots,\frac{d^{n-1}\vec{x}}{dt^{n-1}},t\right)\] \item In der Newton'schen Mechanik ist $n=2$\begin{eqnarray*} \ddot{\vec{x}} & = & \vec{f}\left(\vec{x},\dot{\vec{x}},t\right)\\ m\ddot{\vec{x}} & = & \vec{F}\left(\vec{x},\dot{\vec{x}},t\right)\end{eqnarray*} \end{itemize} \subsection{Newtonsche Gesetze\index{Newtonsche Gesetze}} \begin{description} \item [Dynamik\index{Dynamik}]Kräfte als Ursache der Bewegungsänderung\\ Physikalisch Realisiert mit $m\ddot{\vec{x}}=\vec{F}$ \end{description} \subsubsection{Arten von Kräften\index{Kräfte}} \paragraph{fundamentale Kräfte} Siehe Tabelle \vref{cap:fundamentale-Kr=E4fte}. % \begin{table*} \caption{\label{cap:fundamentale-Kr=E4fte}fundamentale Kräfte} \hfill{}\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Kraft& Beispiel für Wirkung& relative Stärke\tabularnewline \hline \hline Gravitation& Planetenbewegung& $10^{-40}$\tabularnewline \hline Schwache Wechselwirkung& $\beta$-Zerfall von Kernen& $10^{-5}$\tabularnewline \hline elektromagnetische Kraft& Coulomb-Kraft& $10^{-2}$\tabularnewline \hline starke Wechselwirkung& Kernkraft& $1$\tabularnewline \hline \end{tabular}\hfill{} \end{table*} \begin{itemize} \item Die Gravitation hat hier eine Sonderrolle. Im Gegensatz zu den anderen Kräften ist sie immer anziehend. \end{itemize} \paragraph{abgeleitete Kräfte} Diese haben einen im allgemeinen einen komplizierten Ursprung in den Fundamentalkräften. \begin{itemize} \item elastische Kraft, Federkraft $\vec{F}=-k\vec{x}$ \item Reibungskräfte, Stokesches Gesetz $\vec{F}_{R}=-v$$\vec{v}$ \item chemische Bindung, Van der Waals Kraft \item Zwangskräfte, Aufgrund von eingeschränkten Bewegungen \item Scheinkräfte, nicht-Inertialsysteme \end{itemize} \subsubsection{Inertialsysteme\index{Inertialsysteme}} \paragraph{Definition} \begin{itemize} \item Raum und Zeit sind \emph{isotrop}\index{isotrop}, d.h. keine Richtung ist ausgezeichnet. \item Raum ist Homogen. d.h in jedem Punkt im Raum sind die \emph{Newtonschen Gesetze} gleich. \end{itemize} \paragraph{Eigenschaften} \begin{itemize} \item In Inertialsystemen herscht kräftefreie Situation (abgesehen von inneren Kräften) \item Eine Klasse von Inertialsystemen umfasst genau diejenigen \emph{freifallenden} Systeme von denen aus gesehen sich ein Probekörper geradlinig und gleichförmig bewegt. \item Inertialsysteme bewegen sich gegeneiander geradlinig und gleichförmig. Relativgeschwindigkeit ist also konstant und sie rotieren nicht gegeneinander. \end{itemize} \subsubsection{Die Newtonschen Gesetze} \paragraph{Rahmenbedingungen} Diese sind in Inertialsystemen Formuliert für ein System von $N$ Massenpunkten. \begin{description} \item [Bahnen]$\vec{x}^{\left(1\right)}\left(t\right),\ldots,\vec{x}^{\left(N\right)}\left(t\right)$ \item [Massen]$m_{1},\ldots,m_{N}$ \item [Kräfte]$\vec{F}^{\left(1\right)}\left(t\right),\ldots,\vec{F}^{\left(N\right)}\left(t\right)$ \item [Impulse]$\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)=m_{i}\dot{\vec{x}}^{\left(N\right)}\left(t\right)$ für alle $i$ \end{description} \paragraph{Gesetze} \begin{enumerate} \item Es existieren Inertialsysteme, d.h. ein kräftefreier Massenpunkt ist in Ruhe oder geradlinig \& gleichförmig bewegt.\\ $\Rightarrow$ lineare Impulserhaltung \item $\frac{d\vec{p}^{\left(i\right)}}{dt}=\dot{\vec{p}}^{\left(i\right)}=\vec{F}^{\left(i\right)}$ \item actio = reactio\\ $\vec{F}^{\left(i,j\right)}=-\vec{F}^{\left(j,i\right)}$ \item \emph{Superpositionsprinzip}\index{Superpositionsprinzip}\\ Jede Kraft bewirkt an einem Probekörper dir ihr zukommende Bewegungsänderung, unabhängig davon, ob noch andere Kräfte wirken. \end{enumerate} \subsubsection{Kräfteaddition} \begin{eqnarray*} \vec{F}^{\left(i\right)} & = & {\scriptscriptstyle \vec{F}^{\left(i\right)}\left(\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right),\ldots,\vec{x}^{\left(N\right)}\left(t\right),\dot{\vec{x}}^{\left(1\right)}\left(t\right),\ldots,\dot{\vec{x}}^{\left(N\right)}\left(t\right),t\right)}\\ & = & {\scriptscriptstyle \vec{F}_{extern}^{\left(i\right)}\left(\vec{x}^{\left(i\right)},\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\left(t\right),t\right)}\\ & & {\scriptscriptstyle +\sum_{j\neq i}^{N}\vec{F}^{\left(i,j\right)}\left(\vec{x}^{\left(j\right)}\left(t\right),\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right),\dot{\vec{x}}^{\left(j\right)}\left(t\right),\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\left(t\right),t\right)}\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item In der unteren Gleichung werden die Kräfte in äußere, und in eine Summe von inneren Kräften zerlegt. \end{itemize} \subsection{Arbeit und potentielle Energie} \begin{description} \item [Arbeit\index{Arbeit}]$W_{c}=\int_{1}^{2}d\vec{x}\vec{F}\left(\vec{x}\right)$ \item [Zirkulation\index{Zirkulation}]$\Gamma_{c}=\oint d\vec{x}\vec{F}\left(\vec{x}\right)$ \item [Konservative~Kraft\index{konservative Kraft}]$\Gamma_{c}=0$ \end{description} \begin{itemize} \item Integral ist wegunabhängig, es kommt also nur auf die Endpunkte der Integrationsstrecke an \item Es ist äquivalent zu zeigen, dass \[ \textrm{rot}\vec{F}=\vec{\nabla}\times\vec{F}=0\] \end{itemize} \begin{description} \item [Potential\index{Potential}]$V_{R}\left(\vec{x}\right)=\int_{\vec{x}}^{R}d\vec{x}'\vec{F}\left(\vec{x}'\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item Der Referenzpunkt $R$ wir oft auf Unendlich $\infty$ gesetzt \item Der Referenzpunkt kann meistens Weggelassen werden, da er $V$ lediglich um eine additive Konstante ändert, die bei Differenzbildung von $V$ ohnehinn wieder herausfällt \end{itemize} \begin{description} \item [Kraft\index{Kraft}]$\vec{F}=-\vec{\nabla}V\left(\vec{x}\right)=-\textrm{grad}V\left(\vec{x}\right)$ \item [Gleichgewichtspunkt\index{Gleichgewichtspunkt}]$\vec{F}\left(\vec{x}_{0}\right)=0$ \end{description} \begin{itemize} \item Diese Punkte bilden eine Äquipotentialfläche \end{itemize} \subsection{Kinetische Energie} \begin{description} \item [Kinetische~Energie\index{Kinetische Energie}]$T=\frac{1}{2}m\vec{v}^{2}$ \end{description} \subsection{Energieerhaltung} \begin{description} \item [Energieerhaltung]$E=T+V=konst$ \end{description} \begin{itemize} \item für Konservative $\vec{F}$ \item für Konservative Kräfte ist die Gesamtenergie während des Bewegungsablaufs konstant (erhalten). \end{itemize} \begin{description} \item [Leistung]$\frac{dW}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\vec{F}\vec{x}\right)\approx\vec{F}\cdot\vec{v}$ \end{description} \subsection{Mehrteilchensysteme} \subsubsection{Allgemein} \begin{description} \item [abgeschlossen\index{abgeschlossen}]Ein System von $N$ Teilchen heißt abgeschlossen falls $\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}=0$ für alle $i$ \end{description} \begin{itemize} \item In einem solchen System kann man durch Kentniss von allen $\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t_{0}\right),\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\left(t_{0}\right)$ alle $\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)$ für jedes $i$ und jedes $t$ bestimmen. \emph{Laplace'scher Dämon\index{Laplace'scher Dämon}} $\Rightarrow$ aufgrund von Messfehlern werden die Bahnen in vielen Fällen unvorhersagbar! (Chaos) \end{itemize} \paragraph{Bewegungsgesetz\index{Bewegungsgesetz}} \[ \frac{d\vec{p}^{\left(i\right)}}{dt}=\vec{F}\left(\vec{x}^{\left(1\right)},\ldots,\vec{x}^{\left(N\right)},\dot{\vec{x}}^{\left(1\right)},\ldots,\dot{\vec{x}}^{\left(N\right)},t\right)\] \paragraph{Zentralkräfte\index{Zentralkräfte}} \[ \vec{F}^{\left(ij\right)}=\vec{F}\left(\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|\right)=F^{\left(ij\right)}\left(\left|\vec{r}\right|\right)\frac{\vec{r}}{\left|\vec{r}\right|}\] \subsubsection{Translation\index{Translation}} \paragraph{Massenschwerpunkt\index{Massenschwerpunkt}} \[ \vec{R}\left(t\right)=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_{i}\vec{x}_{i}^{\left(i\right)}\left(t\right)}{\sum_{i=1}^{N}m_{i}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_{i}\vec{x}_{i}^{\left(i\right)}\left(t\right)}{M}\] \[ M=\sum_{i=1}^{N}m_{i}\] \paragraph{Gesamtimpuls\index{Gesamtimpuls}} \begin{eqnarray*} \vec{P}\left(t\right) & = & \sum_{i=1}^{N}\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)\\ & = & \dot{\vec{R}}\left(t\right)M\end{eqnarray*} \[ \vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)=m_{i}\dot{\vec{x}}\left(t\right)\] \paragraph{Kraft\index{Kraft}} \[ \vec{F}=\dot{\vec{P}}\left(t\right)=M\ddot{\vec{R}}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}\] \subsubsection{Rotation\index{Rotation}} \paragraph{Drehimpuls\index{Drehimpuls}} \[ \vec{l}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)\times\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)\] \[ \vec{L}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{l}^{\left(i\right)}\left(t\right)\] \paragraph{Drehmoment\index{Drehmoment}} \[ \vec{N}\left(t\right)=\dot{\vec{L}}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{N}^{\left(i\right)}\left(t\right)\] \[ \vec{N}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{x}^{\left(i\right)}\times\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}\] \paragraph{Schwerpunkt als Referenzpunkt\index{Referenzpunkt}} \[ \vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{R}\left(t\right)+\vec{x}'^{\left(i\right)}\] \[ \vec{L}\left(t\right)=\vec{R}\left(t\right)\times\vec{P}\left(t\right)+\vec{L}_{in}\left(t\right)\] \[ \vec{L}_{in}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{x}'^{\left(i\right)}\left(t\right)\times\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)\] \begin{itemize} \item Für $\vec{R}\left(t\right)=$konstant gilt $\vec{L}=\vec{L}_{in}$ \end{itemize} \subsubsection{Energie\index{Energie}} \[ \frac{d}{dt}\underbrace{\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m\left(\ddot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\right)^{2}}_{T}+\frac{d}{dt}\underbrace{\sum_{i0 & \textrm{zeitartig}\\ =0 & \textrm{lichtartig}\\ <0 & \textrm{raumartig}\end{cases}\] \begin{description} \item [Lichtkegel\index{Lichtkegel}]In einem Raum / Zeitdiagramm (Räumliche Ausdehnung auf der Achse $x$ und $y$ Achse und $ct$ auf der $z$ Achse) bildet $s^{2}=0$ einen Kegeloberfläche die die $z$ und $x$ bzw. $y$ Achsen genau Winkelhalbiert. Innerhalb ist der \emph{zeitartige} Berech, außerhalb der \emph{raumartige}. \item [Raumartig\index{Raumartig}]Falls das Abstandsquadrat zwischen zwei Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}<0$ ist bedeutet dies, das sie \emph{nicht} Kausal voneinander abhängen können, da nichts schneller ist als das Licht und sie somit keine Informationen austauschen könnten. Desweiteren existert ein Inertialsystem, in dem die Ereignisse zum gleichen Zeitpunkt allerdings an unterschiedlichen Orten geschehen sind. Desweiteren lässt sich sogar durch passende Transfromation vertauschen. \item [Zeitartig\index{Zeitartig}]Falls das Abstandsquadrat zwischen zwei Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}>0$ ist bedeutet dies, das sie Kausal voneinander abhängen können, da z.B. das Licht genug zeit gehabt hätte um Informationen auszutauschen. Desweiteren existert ein Inertialsystem, in dem die Ereignisse am gleichen Ort allerdings zu unterschiedlichen zeiten geschehen sind. \item [Lichtartig\index{Lichtartig}]Mit dem Abstandsquadrat zwischen zwei Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}=0$. Dies ist der Grenzfall. \end{description} \begin{itemize} \item Dies ist eine Lorentzinvariante. Die Eingenschaft, raum- licht- oder zeitartig zu sein bleibt also bei der Lorenztransformation erhalten. \end{itemize} \subsection{Mechanik\index{Mechanik}} Das Ziel ist es die Grundgesetze der klassischen Mechanik so umzuschreiben, das forminvariant sind gegenüber der Lorenztransformation (behalten Form bei). \subsubsection{Kinematik\index{Kinematik}} Alle hier aufgeführten Größen sind Lorentzinvariant \begin{description} \item [Differential\index{Differential}]$dx^{\mu}=\left(c\cdot dt,dx,dy,dz\right)$ \item [Bogenelement\index{Bogenelement}]$\left(ds\right)^{2}=dx^{\mu}dx_{\mu}=c^{2}\left(dt\right)^{2}-\left(d\vec{x}\right)^{2}$ \item [Eigenzeit\index{Eigenzeit}]$\left(d\tau\right)^{2}=\frac{1}{c^{2}}\left(ds\right)^{2}=\left(dt\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(d\vec{x}\right)^{2}=\left(dt'\right)^{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item $dt'$ ist im mitgeführten Inertialsystem mit Relativgeschwindigkeit $v$ \end{itemize} \begin{description} \item [Zeit\index{Zeit}]$dt=\gamma d\tau>d\tau$ \end{description} \begin{itemize} \item Das heißt die Eigenzeit geht immer nach! \end{itemize} \begin{description} \item [Geschwindigkeit\index{Geschwindigkeit}]$u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\gamma\frac{dx^{\mu}}{dt}=\gamma\left(c,\vec{v}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item es gilt $u^{\mu}u_{\mu}=c^{2}$ \item Im mitgeführten Inertialsystem $\left(c,\vec{0}\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Dynamik\index{Dynamik}} \begin{description} \item [relativisitsche~Masse\index{relativistische Masse}\index{Masse}]$m\left(v\right)=\gamma\left(v\right)m$ \item [Minkowski-Kraft\index{Minkowski-Kraft}\index{Kraft}]$K^{\mu}=m\frac{du^{\mu}}{d\tau}=\gamma\left(\frac{\vec{F}\vec{v}}{c},F_{x},F_{y},F_{z}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $K^{\mu}u_{\mu}=0$ \item $\vec{F}\vec{v}=\frac{d}{dt}\left(\gamma mc^{2}\right)$ \item Im mitgeführten Inertialsystem $\left(0,\vec{F}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Kinetische~Energie\index{Kinetische Energie}\index{Energie}]identisch mit relativistischer Energie \item [Relativiteische~Energie]$E=T=\sqrt{c^{2}\vec{p}^{2}+m^{2}c^{4}}=\gamma mc^{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item Für $v\lll c$ gilt $T=mc^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}$ \item ist Erhaltungsgröße und Lorenzinvariant \item Impulserhaltung $\Leftrightarrow$ Energieerhaltung \end{itemize} \begin{description} \item [Ruheenergie\index{Ruheenergie}]$mc^{2}$ \item [Vierer-Impuls\index{Impuls}]~\[ p^{\mu}=mu^{\mu}=\left(\frac{T}{c},\gamma mv_{x},\gamma mv_{y},\gamma mv_{z}\right)=\left(\frac{T}{c},\vec{p}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $p^{2}=m^{2}c^{2}$ \item $\vec{p}=m\left(v\right)\vec{v}$ \item ist Erhaltungsgröße und Lorenzinvariant \item Impulserhaltung $\Leftrightarrow$ Energieerhaltung \end{itemize} \section{Thermodynamik} \subsection{Einleitung} \subsubsection{Begriffe} \begin{description} \item [thermodynamisches~System\index{thermodynamisches System}]System mit $\sim10^{23}$ Teilchen \item [Wände\index{Wände}]die Abgrenzung des Systems zur Umgebung geschieht durch Wände \item [abgeschlossenes~System\index{abgeschlossenes System}]kein Austausch mit Umgebung (isoliert) \item [geschlossenes~System\index{geschlossenes System}]Kontakt mit Umgebung \begin{description} \item [Wärmeaustausch\index{Wärmeaustausch}]die Umgebung ist ein Wärmebad mit {}``unendlicher'' Kapazität \item [Arbeitsaustausch\index{Arbeitsaustausch}]System verrichtet in der Umgebung Arbeit \end{description} \item [offenes~System\index{offenes System}]auch Austausch von Teilchen \item [Zustandsgrößen\index{Zustandsgrößen}]Aus den gemeinsamen Eigenschaften der Körper im Vielteilchensystem lassen sich gemeinsamkeiten {}``extrahieren''.\\ Gas: $V,p,T,N,S,U,\ldots$ \item [Zustandsfunktionen\index{Zustandsfunktionen}]setzt zustandsgrößen in Beziehung \begin{description} \item [extensive~Zustandsgrößen\index{extensive Zustandsgrößen}]sind (Stoff-) Mengenabhängig, d.h. sie verändern sich beim Zusammenführen sonst gleicher Systeme \item [intensive~Zustandsgrößen\index{intensive Zustandsgrößen}]sind nicht (Stoff-) Mengenabhängig \end{description} \item [Zustandsraum\index{Zustandsraum}]gebildet aus allen möglichen Zustandsgrößen \item [Zustand\index{Zustand}]Punkt im Zustandsraum \item [Gleichgewicht\index{Gleichgewicht}]Werte der Zustandsgrößen sind zeitlich konstant \item [thermodynamischer~Prozess\index{thermodynamischer Prozess}]Folge von Gleichgewichtszuständen \end{description} \subsubsection{Hauptsätze\index{Hauptsätze}} \begin{description} \item [0.~Hauptsatz]Existenz einer Temperatur \item [1.~Hauptsatz]{}``Wärme'': es gilt Energieerhaltung \item [2.~Hauptsatz]{}``Wärme'' lässt sich nicht vollständig in andere Energieformen umsätzen \item [3.~Hauptsatz]Temperaturnullpunkt nie erreichbar \end{description} \begin{itemize} \item Mikroskopische Begründung in der statistischen Physik \end{itemize} \subsection{Themperaturegriff\index{Themperaturegriff}} \subsubsection{Eigenschaften} \begin{enumerate} \item Jedes makroskopische System besitzt eine Temperatur\\ intensive Zustandsgröße $\rightarrow$ überall gleich im isolierten System \item skalare Meßgröße \item $A$ und $B$ Systeme mit Temperaturen es gilt:\\ Anordnungsaxiom:\\ $T_{A}>T_{B}$ bzw. $T_{A}T_{B}\wedge T_{B}>T_{C}\Rightarrow T_{A}>T_{C}$ \item $A$ und $B$ Systeme mit Temperaturen es gilt:\\ $T_{A}=T_{B}=T_{A+B}$ \item $A$ und $B$ Systeme mit Temperaturen es gilt:\\ $T_{A}^{\left(1\right)}V_{c}$ nur eine reelle Lösung. Das Tripel $\left(p_{c},V_{c},T_{c}\right)$ nennt sich Kritischer Punkt. Es gilt:\[ \left(V-V\right)^{3}=V^{3}-3V^{2}V_{c}+3VV_{c}^{2}=0\] durch Koeffizientenvegleich erhält man:\begin{eqnarray*} V_{c} & = & 3bn\\ p_{c} & = & \frac{a}{27b^{2}}\\ RT_{c} & = & \frac{8a}{27b}\\ Z_{c} & = & \frac{p_{c}V_{c}}{nRT_{c}}=\frac{3}{8}\end{eqnarray*} für reale Gase ist $Z_{c}<\frac{3}{8}$. Beim idealen Gas ist $Z_{c}=1$. \subsubsection{Reduzierte Größen} Mit Hilfe reduzierter Größen lässt sich die Vanderwaals Gleichung wie folgt umschreiben:\begin{eqnarray*} \pi & = & \frac{p}{p_{c}}\\ v & = & \frac{V}{V_{c}}\\ t & = & \frac{T}{T_{c}}\end{eqnarray*} \[ \left(\pi+\frac{3}{V^{2}}\right)\left(3V^{2}-1\right)=8t\] \subsubsection{Maxwell Konstruktion\index{Maxwell Konstruktion}} Im Bereich unterhalb von $p_{c}$ wird die Kurve ein Stückweit durch eine Gerade parallel zu $V$ Achse ersetzt, und zwar so, das die Fläche zwischen den beiden Kurven im Bereich zwischen den Schnittpunkten gleich $0$ ist. \subsubsection{Viralentwicklung\index{Viralentwicklung}} Die Van der Waalsgleichung lässt sich auch schreiben als\[ p=\frac{nRT}{V}\left(1+B_{1}\left(\frac{N}{V}\right)+B_{2}\left(\frac{N}{V}\right)^{2}+\ldots\right)\] mit den Viralkoeffizienten $B_{i}$ diese sind für die Van der Waalsgleichung\begin{eqnarray*} B_{1} & = & \frac{b}{N_{a}}-\frac{a}{N_{a}^{2}k_{b}T}\\ B_{i} & = & \left(\frac{b}{N_{a}}\right)^{i}\textrm{für }i\ge2\end{eqnarray*} \subsection{Thermodynamische Arbeit} \subsubsection{Begriffe} \begin{itemize} \item $\Delta W$ Energieform - Zustandsänderungen sind mit Energieänderungen verknüpft \item $\Delta Q$ Änderung des Wärmeinhalts: Wärmemenge\index{Wärmemenge} \item $\Delta W>0$ wenn \emph{am} System Arbeit geleistet wird \item $\Delta W<0$ wenn \emph{vom} System Arbeit geleistet wird \item $\Delta Q>0$ wenn \emph{in das} System Wärme gepumpt wird \item $\Delta Q<0$ wenn \emph{aus dem} System Wärme gepumpt wird \end{itemize} \subsubsection{Arbeit\index{Arbeit}} \[ \delta W=-p\, dV\] Ist die mechaniche Arbeit die durch eine Veränderung des Volumens geleistet wird. Dies ist zwar infinitesimal, aber kein totales Differential, also nicht $dW$. \begin{itemize} \item $\int_{c}\delta W$ ist im allgemeinen Wegabhängig \item $\Delta W=\int\delta W=-\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\left(V\right)\, dV$ \item Die Arbeit kann keine Zustandsgröße sein weil $\oint\delta W\neq0$ \end{itemize} \subsubsection{Differentialform} Eine \emph{Differentialform\index{Differentialform}}\[ \delta A=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\left(x_{1},\ldots,x_{m}\right)dx_{i}\] ist nur dann ein totales Differential $dA$, falls \[ \oint\delta A=0=\oint dA\] \subsubsection{Zustandsfunktion} Eine \emph{Zustandsgröße\index{Zustandsgröße}} (\emph{Zustandsfunktion}\index{Zustandsfunktion}) muss eindeutig sein. Durchläuft ein System im Zustandsraum einen geschlossenen Weg, so müssen alle abhängigen wie unabhängigen Zustandsgrößen wieder ihre Ausgangsgrößen annehmen. Von einer Zustandsgröße $\eta$ fordert man daher\[ \oint d\eta=0\] \begin{itemize} \item $d\eta$ ist totales Differential \item Beim zweifachen partiellen ableiten kann die Reihenfolge bei totalen Differentialen vertauscht werden \end{itemize} \subsubsection{Hinzufügen von Teilchen} Das hinzufügen von Teilchen in ein System erfordert auch Arbeit.\begin{eqnarray*} N & \rightarrow & N+dN\\ \delta W & = & \mu dN\end{eqnarray*} $\mu$ ist hierbei das chemische Potential. Falls das System aus $k$ verschiedenen Teilchen besteht mit unterschiedlichen $\mu_{i}$ gilt\[ \delta W=\sum_{i=1}^{k}\mu_{i}dN_{i}\] \subsection{Erster Hauptsatz - Energieerhaltung\index{Energieerhaltung}} \subsubsection{Einleitung} Um die Energieerhaltung auch auf Thermodynamische Systeme auszudehnen, muss man ihnen eine Energie zuordnen. Dies ist die Wärme. Sie besteht aus den mikroskopischen kinetischen Energien der einzelnen Teilchen im System. \[ \delta Q=C\cdot dT\] \begin{itemize} \item $Q$ ist extensive Größe $T$ aber nicht. Also ist auch $C$ eine extensive Größe. \item $C$ bezeichnet die Wärmekapazität eines Systems \item Man kann ein $C=n\cdot c=\frac{N}{N_{a}}c$ definieren \end{itemize} \subsubsection{innere Energie} Für die innere Energie $U$ gilt\[ dU=\delta W+\delta Q\] Mit Austasch von Teilchen gilt allgemeiner\[ dU=\delta W+\delta Q+\sum_{i=1}^{k}\mu_{i}dN_{i}\] \begin{itemize} \item $U$ ist eine Zustandsgröße, es gilt also $\oint dU=0$ \item In einem isolierten System (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung) ist $U$ daher eine Erhaltungsgröße und es gilt\[ dU=0\] \end{itemize} \subsubsection{kalorische\index{kalorische Zustandsgleichung} Zustandsgleichung\index{Zustandsgleichung}} Bei einem idealen Gas gilt\begin{eqnarray*} U & = & U\left(T,N\right)\\ & = & \frac{f}{2}Nk_{b}T\end{eqnarray*} mit $f$ der Anzahl der Freiheitsgerade des Gases. \subsection{Wärmekapazitäten\index{Wärmekapazität}} \subsubsection{Einleitung} Wie erwähnt gibt es einen Zusammenhang\[ \delta Q=C_{x}dT\] allerdings erweitert um $x$, das beschreibt in welcher Weise $\delta Q$ geändert wird. \[ C_{x}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{x}\] Dies lässt sich unter Kenntniss von $U$ bestimmen. \subsubsection{Innere Energie allgemein} Im Folgenden setzten wir ein geschlossenes System vorraus, also ohne Teilchenaustausch. Das heißt das die innere Energie im Allgemeinen von der Temperatur $T$ und einigen (nicht genauer Spezifizierten) Zustandsvariablen $q_{1},\ldots,q_{n}$ abhängt, also \[ U=U\left(T,q_{1},\ldots,q_{n}\right)\] Somit können wir die Arbeit verallgemeinert schreiben mit Hilfe passender $F_{i}$ \[ \delta W=\sum_{i=1}^{n}F_{i}dq_{i}\] somit ist die innere Energie \begin{eqnarray*} \delta Q & = & dU-\delta W\\ & = & dU-\sum_{i=1}^{n}F_{i}dq_{i}\\ & = & \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}dT+\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\right)_{T,q_{j}\neq q_{i}}-F_{i}\right)dq_{i}\end{eqnarray*} \subsubsection{Konstante $q_{i}$} Seien nun außer $T$ alle Zustandsvariablen von denen $U$ abhängt, also $q_{1},\ldots,q_{n}$ konstant. Somit ist $dq_{i}=0$ für jedes $i$. Dann gilt:\[ C_{q}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{q}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}\] \subsubsection{Konstante $F_{i}$} Seien nun alle $F_{i}$ konstant, also $dF=0$. Da $F_{j}=F_{j}\left(q_{1},\ldots,q_{m},T\right)$ ist für alle $j$. Somit ist das Totale differential für $q_{i}$ gleich\begin{eqnarray*} dq_{i} & = & \sum_{j=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial F_{j}}\right)_{T,q_{i}\neq q_{j}}dF_{i}\right)+\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}dT\\ & = & \left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}dT\end{eqnarray*} Somit gilt\begin{eqnarray*} C_{F} & = & \left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{F}\\ & = & \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}+\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\right)_{T,q_{j}\neq q_{i}}-F_{i}\right)\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}\end{eqnarray*} \subsubsection{Wärmekapazitäten bei Gas} Für ein Gas mit $q=V$ und $F=-p$ gilt dann für \begin{itemize} \item $V$ konstant \end{itemize} \[ C_{V}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\] \begin{itemize} \item $p$ konstant \end{itemize} \[ C_{p}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{p}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}+\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\] Daraus folgt:\[ C_{p}-C_{V}=\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\] \subsubsection{Ideales Gas} Hier ist $U=U\left(T\right)$ also unabhängig von $V$, also $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0$. Mit folgenden \begin{eqnarray*} U & = & \frac{f}{2}Nk_{b}T=U\left(T,N\right)\\ V & = & \frac{Nk_{b}T}{p}\end{eqnarray*} gilt\begin{eqnarray*} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} & = & \frac{Nk_{b}}{p}\\ C_{p}-C_{v} & = & Nk_{b}\end{eqnarray*} \subsection{Abiabaten\index{Abiabaten} und Isothermen} \subsubsection{Abiabatische Zustandsänderung} Für eine abiabatische Zustandsänderung (Weg im Zustandsraum) gilt\[ \delta Q=0\] \begin{itemize} \item Erhalten bleibt die Entropie $S$ \end{itemize} \subsubsection{Abiabaten beim idealen Gas} \[ \gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}\] \begin{itemize} \item $TV^{\gamma-1}=const.$ \item $pV^{\gamma}=const.$ \item $T^{\gamma}p^{1-\gamma}=const.$ \end{itemize} \subsubsection{Isotherme\index{Isotherme} Zustandsänderung} Für eine isotherme Zustandsänderung (Weg im Zustandsraum) gilt\[ dT=0\] \begin{itemize} \item für ein ideales Gas gilt\[ \left(\delta Q\right)_{T}=\left(pdV\right)_{T}\] \end{itemize} \subsection{Zweiter Hauptsatz} \[ dS\ge\frac{\delta Q}{T}\] \begin{itemize} \item Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art \item Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die lediglich einem kälteren Wärmebad Wärme entziehen und diese einem wärmeren Wärmebad zuführt. \end{itemize} \subsection{Carnot\index{Carnot} Kreisprozess\index{Kreisprozess}} \begin{description} \item [Bestandteile]zwei Abiabaten und zwei Isothermen \item [Wirktungsgrad\index{Wirktungsgrad}]$\eta=\frac{\textrm{geleistete Arbeit}}{\textrm{zugeführte Wärme}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$ \end{description} \begin{itemize} \item Der Carnot Prozess hat den höchsten Wirkungsgrad von allen zwischen zwei Wärmebädern arbeitenden Maschinen \item Dieser Wirkungsgrad wird von allen reversibel arbeitenden Maschinen erreicht \item Über diesen Wirkungsgrad lässt sich eine absolute Temperaturskala\index{Temperaturskala} definieren, die nicht mehr von der Existenz eines idealen Gases ausgeht. \end{itemize} \subsection{Entropie} \subsubsection{Clausiussche\index{Clausiussche Ungleichung} Ungleichung} \[ \oint\frac{\delta Q}{T}\le0\] \subsubsection{Entropie für reversible prozesse} Bei reversiblen Prozessen gilt\[ \oint\frac{\delta Q}{T}=0\] also ist die \emph{Entropie\index{Entropie}} \[ S\left(A\right)=\int_{A_{0}}^{A}\frac{\delta Q}{T}\] wegunabhängig und bis auf eine additive Konstante festgelegt. \begin{itemize} \item $dS=\frac{\delta Q}{T}$ ist also ein totales Differential \item im idealen Gas gilt\[ \Delta S=nR\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}\] \end{itemize} \subsubsection{Entropie in beliebigen Prozessen} \begin{eqnarray*} dS & \ge & \frac{\delta Q}{T}\end{eqnarray*} \[ dS\ge dU-\delta W-\delta E_{c}\] \[ \delta E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}dN_{i}\] \begin{itemize} \item Im isolierten System gilt\[ dS\ge0\] \item Entropie ist immer auf reversiblen Ersatzprozessen zu berechnen \end{itemize} \subsection{Folgerungen} \begin{itemize} \item Im System ohne Teilchenaustausch $TdS=dU-\delta W$ \end{itemize} \printindex{} \end{document}