Lorentz-Transformation

Bedingung

in allen Inertialsystemen $K$ und $K'$ muss gelten

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}t'^{2}$$

Spezielle Lorentztransformation

Sei das Inertialsystem $K'$ gegenüber dem Inertialsystem $K$ entlang der $x$-Achse mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt.

$$x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma\left(x-\beta ct\right)$$

$$y' = y$$

$$z' = z$$

$$t' = \frac{t-\frac{vx}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma\left(t-\frac{\beta}{c}x\right)$$

Lorentz-$\gamma$-Faktor

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$

$$\beta = \frac{v}{c}$$

• $\beta$ kann als eine art Geschwindigkeit aufgefasst werden. Wobei $c$ dabei $1$ und damit das Maximum darstellt.

allgemeine Lorentztransformation

Sei das Inertialsystem $K'$ gegenüber dem Inertialsystem $K$ entlang der Geschwindigkeit $\vec{v}$ (gemessen im System $K$) bewegt.

Hierfür werden die Formeln aus der Speziellen Lorentztransformation genutzt, allerdings der Vektor $\vec{x}=\left(x,y,z\right)$ wird in zwei Komponenten zerlegt

$$\vec{x}=\vec{x}_{\vert\vert}+\vec{x}_{\perp}$$

Dabei ist $\vec{x}_{\vert\vert}$ die Komponente von $\vec{x}$ in Richtung $\vec{v}$, und $\vec{x}_{\perp}$ die senkrecht dazu. Nun könnte man einfach $\vec{x}_{\vert\vert}$ wie in der speziellen Lorenztransformation verändern, und $\vec{x}_{\perp}$ gleich belassen unter der Transformation. Dies eingesetzt ergibt:

$$\vec{x}' = \vec{x}+\left(\gamma-1\right)\frac{\vec{v}\vec{x}}{v^{2}}\vec{v}-\gamma\vec{v}t$$

$$t' = \gamma\left(t-\frac{\vec{v}\vec{x}}{c^{2}}\right)$$

Addition der Geschwindigkeiten

Sei $K'$ relativ zu $K$ entlang der $x$-Achse mit $\vec{v}=\left(v,0,0\right)$ bewegt. Eine Geschwindigkeit $\vec{w}=\left(w_{x},w_{y},w_{z}\right)$ im System $K$ sieht aus dem System $K'$ betrachtet wie folgt aus

$$\vec{w}'=\frac{1}{1-\frac{w_{x}v}{c^{2}}}\left(w_{x}-v,w_{y}\sqrt{1-\beta^{2}},w_{z}\sqrt{1-\beta^{2}}\right)$$

• $v_{ges}=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+\frac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}$
• Grenzfall keiner Geschwindigkeiten $v\ll c$ gilt:
  $\vec{w}'=\vec{w}-\vec{v}$