Minkowski Raum

Weltraum

Weltraum

wird die Menge $M$ aller Ereignisse genannt, die aus $4$-Tupeln $\left(x,y,z,t\right)$ bestehen. D.h. $E\left(\vec{x},t\right)\in M$.

Weltlinie

ist eine Kurve im $4$ Dimeanionalen Raum und beschreib die Reise eines Teilchens durch Raum und Zeit.

Kontra- und Kovariante Vektoren

$$x^{\mu}=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=\left(ct,x,y,z\right)$$

mit $\mu=0,1,2,3$ ist ein Kontravarianter Vektor.

$$x_{\mu}=\left(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(ct,-x,-y,-z\right)$$

mit $\mu=0,1,2,3$ ist ein Kovarianter Vektor.

Das Längenquadrat von $x^{\mu}$ ist mit

$$s_{E}^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$$

bezeichnet. Es gilt:

$$s^{2}=x^{\mu}x_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}x^{\mu}x_{\mu}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$$

$s^{2}$ ist also Invariant unter der Lorentztransvormation.

• $s^{2}$ kann auch negativ werden!

Lorentztransformation

Es gilt

$$x'^{\mu}=\sum_{\nu}L_{\nu\mu}x^{\nu}=L_{\mu\nu}x^{\nu}$$

mit $L$ als $4\times4$-Matrix.

Für den Fall einer Bewegung in $z$-Richtung mit $v$ gilt:

$$L=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma\end{array}\right)$$

• $\det L=1$
• $L^{T}=L$
• $L$ beschreibt eine Drehung im Minkowski Raum
• $L$ ist keine Orthogonalmatrix, d.h. $L^{-1}\neq L^{T}$
• $L^{-1}\left(\beta\right)=L\left(-\beta\right)$

Eigenschaften des Längenquadrats

$$s^{2}=x^{\mu}x_{\mu}=\begin{cases} >0 & \textrm{zeitartig}\\ =0 & \textrm{lichtartig}\\ <0 & \textrm{raumartig}\end{cases}$$

Lichtkegel

In einem Raum / Zeitdiagramm (Räumliche Ausdehnung auf der Achse $x$ und $y$ Achse und $ct$ auf der $z$ Achse) bildet $s^{2}=0$ einen Kegeloberfläche die die $z$ und $x$ bzw. $y$ Achsen genau Winkelhalbiert. Innerhalb ist der zeitartige Berech, außerhalb der raumartige.

Raumartig

Falls das Abstandsquadrat zwischen zwei Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}<0$ ist bedeutet dies, das sie nicht Kausal voneinander abhängen können, da nichts schneller ist als das Licht und sie somit keine Informationen austauschen könnten. Desweiteren existert ein Inertialsystem, in dem die Ereignisse zum gleichen Zeitpunkt allerdings an unterschiedlichen Orten geschehen sind. Desweiteren lässt sich sogar durch passende Transfromation vertauschen.

Zeitartig

Falls das Abstandsquadrat zwischen zwei Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}>0$ ist bedeutet dies, das sie Kausal voneinander abhängen können, da z.B. das Licht genug zeit gehabt hätte um Informationen auszutauschen. Desweiteren existert ein Inertialsystem, in dem die Ereignisse am gleichen Ort allerdings zu unterschiedlichen zeiten geschehen sind.

Lichtartig

Mit dem Abstandsquadrat zwischen zwei Ereignissen $\left(E_{1}^{\mu}-E_{2}^{\mu}\right)^{2}=0$. Dies ist der Grenzfall.

• Dies ist eine Lorentzinvariante. Die Eingenschaft, raum- licht- oder zeitartig zu sein bleibt also bei der Lorenztransformation erhalten.