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Subsections


Wärmekapazitäten

Einleitung

Wie erwähnt gibt es einen Zusammenhang

$\displaystyle \delta Q=C_{x}dT$

allerdings erweitert um $ x$, das beschreibt in welcher Weise $ \delta Q$ geändert wird.

$\displaystyle C_{x}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{x}$

Dies lässt sich unter Kenntniss von $ U$ bestimmen.

Innere Energie allgemein

Im Folgenden setzten wir ein geschlossenes System vorraus, also ohne Teilchenaustausch. Das heißt das die innere Energie im Allgemeinen von der Temperatur $ T$ und einigen (nicht genauer Spezifizierten) Zustandsvariablen $ q_{1},\ldots,q_{n}$ abhängt, also

$\displaystyle U=U\left(T,q_{1},\ldots,q_{n}\right)$

Somit können wir die Arbeit verallgemeinert schreiben mit Hilfe passender $ F_{i}$

$\displaystyle \delta W=\sum_{i=1}^{n}F_{i}dq_{i}$

somit ist die innere Energie
$\displaystyle \delta Q$ $\displaystyle =$ $\displaystyle dU-\delta W$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle dU-\sum_{i=1}^{n}F_{i}dq_{i}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}dT+\sum_{i=1}^{n}\l...
...\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\right)_{T,q_{j}\neq q_{i}}-F_{i}\right)dq_{i}$  

Konstante $ q_{i}$

Seien nun außer $ T$ alle Zustandsvariablen von denen $ U$ abhängt, also $ q_{1},\ldots,q_{n}$ konstant. Somit ist $ dq_{i}=0$ für jedes $ i$. Dann gilt:

$\displaystyle C_{q}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{q}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}$

Konstante $ F_{i}$

Seien nun alle $ F_{i}$ konstant, also $ dF=0$. Da $ F_{j}=F_{j}\left(q_{1},\ldots,q_{m},T\right)$ ist für alle $ j$. Somit ist das Totale differential für $ q_{i}$ gleich

$\displaystyle dq_{i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial F_{j}}\r...
...i}\neq q_{j}}dF_{i}\right)+\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}dT$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}dT$  

Somit gilt

$\displaystyle C_{F}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{F}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{q}+\sum_{i=1}^{n}\lef...
...q_{j}\neq q_{i}}-F_{i}\right)\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial T}\right)_{F}$  

Wärmekapazitäten bei Gas

Für ein Gas mit $ q=V$ und $ F=-p$ gilt dann für

$\displaystyle C_{V}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}$

$\displaystyle C_{p}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{p}=\left(\frac{\partial U...
...}{\partial V}\right)_{T}+p\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}$

Daraus folgt:

$\displaystyle C_{p}-C_{V}=\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}$

Ideales Gas

Hier ist $ U=U\left(T\right)$ also unabhängig von $ V$, also $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0$. Mit folgenden

$\displaystyle U$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f}{2}Nk_{b}T=U\left(T,N\right)$  
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{Nk_{b}T}{p}$  

gilt
$\displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{Nk_{b}}{p}$  
$\displaystyle C_{p}-C_{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle Nk_{b}$  


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Marco Möller 17:08:30 24.10.2005