Mehrteilchensysteme

Allgemein

abgeschlossen

Ein System von $N$ Teilchen heißt abgeschlossen falls $\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}=0$ für alle $i$

• In einem solchen System kann man durch Kentniss von allen $\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t_{0}\right),\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}\left(t_{0}\right)$ alle $\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)$ für jedes $i$ und jedes $t$ bestimmen. Laplace'scher Dämon $\Rightarrow$ aufgrund von Messfehlern werden die Bahnen in vielen Fällen unvorhersagbar! (Chaos)

Bewegungsgesetz

$$\frac{d\vec{p}^{\left(i\right)}}{dt}=\vec{F}\left(\vec{x}^{\left(... ...},\dot{\vec{x}}^{\left(1\right)},\ldots,\dot{\vec{x}}^{\left(N\right)},t\right)$$

Zentralkräfte

$$\vec{F}^{\left(ij\right)}=\vec{F}\left(\left\vert\vec{x}_{i}-\vec... ...\left\vert\vec{r}\right\vert\right)\frac{\vec{r}}{\left\vert\vec{r}\right\vert}$$

Translation

Massenschwerpunkt

$$\vec{R}\left(t\right)=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_{i}\vec{x}_{i}^{\left... ...}m_{i}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_{i}\vec{x}_{i}^{\left(i\right)}\left(t\right)}{M}$$

$$M=\sum_{i=1}^{N}m_{i}$$

Gesamtimpuls

$$\vec{P}\left(t\right) = \sum_{i=1}^{N}\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)$$

$$= \dot{\vec{R}}\left(t\right)M$$

$$\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)=m_{i}\dot{\vec{x}}\left(t\right)$$

Kraft

$$\vec{F}=\dot{\vec{P}}\left(t\right)=M\ddot{\vec{R}}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}$$

Rotation

Drehimpuls

$$\vec{l}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)\times\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)$$

$$\vec{L}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{l}^{\left(i\right)}\left(t\right)$$

Drehmoment

$$\vec{N}\left(t\right)=\dot{\vec{L}}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{N}^{\left(i\right)}\left(t\right)$$

$$\vec{N}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{x}^{\left(i\right)}\times\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}$$

Schwerpunkt als Referenzpunkt

$$\vec{x}^{\left(i\right)}\left(t\right)=\vec{R}\left(t\right)+\vec{x}'^{\left(i\right)}$$

$$\vec{L}\left(t\right)=\vec{R}\left(t\right)\times\vec{P}\left(t\right)+\vec{L}_{in}\left(t\right)$$

$$\vec{L}_{in}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{N}\vec{x}'^{\left(i\right)}\left(t\right)\times\vec{p}^{\left(i\right)}\left(t\right)$$

• Für $\vec{R}\left(t\right)=$konstant gilt $\vec{L}=\vec{L}_{in}$

Energie

$$\frac{d}{dt}\underbrace{\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m\left(\ddot{\ve... ...=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}\cdot\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}$$

• $T$ gesamte kinetische Energie
• $V$ gesamte potentielle Energie
• $E=T+V$ Gesamtenergie

$$\dot{E}=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}\cdot\dot{\vec{x}}^{\left(i\right)}$$

Erhaltungssätze

Bedingung

$\vec{F}_{ex}^{\left(i\right)}=0$ Es wirken keine externen Kräfte

Impulserhaltung

$\dot{\vec{P}}=0\Rightarrow\vec{P}=$konstant

Drehimpulserhaltung

$\dot{\vec{L}}=0\Rightarrow\vec{L}=$konstant

Energieerhaltung

$\dot{\vec{E}}=0\Rightarrow\vec{E}=$konstant

Bewegungskonstanten

$\left\vert\left\{ \vec{R}_{0},\vec{P},\vec{L},E\right\} \right\vert=10$