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\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Festkörperphysik 1}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 01.07.2007 - Version: 0.0.4\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Festkörperphysik
1'' von Prof. Franz Fujara an der Technischen Universität Darmstadt
im Sommersemester 2007.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Bausteine der Struktur: Atome, Molekühle, Ionen}


\subsection{Bausteine}


\subsubsection{Bausteine}

\begin{description}
\item [{Bausteine\index{Bausteine}}] Siehe Periodensystem der Elemente
\item [{Struktur\index{Struktur}}] Anordnung der Bausteine
\item [{Inerter~Baustein\index{Inerter Baustein}}] wenn Eltektronenstruktur
bei Annäherung anderer Bausteine unverändert bleibt
\item [{Molekühl\index{Molekühl}}] ist hier Äquivalent zu Inerter Baustein
verwendet
\end{description}
\begin{itemize}
\item die einzien ineren Atome sind die Edelgaßatome:\\
He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn
\item ansonsten polyatomare Molekühle
\item Stabilitätsgrenzen von Molekühlen

\begin{itemize}
\item Ionisation (z.B. Polarisation)
\item Dissoziation (z.B. thermische D.)
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Kondensierte~Materie}] Flüssigkeiten, Festkörper
\end{description}

\subsubsection{Größe, Abstände}

\begin{description}
\item [{einzelne~Atome}] haben keine scharf definierten Größen und Abstände:
siehe Wellenfunktion des Elektrons beim Wasserstoff
\item [{kristalline~Festkörper}] haben scharf definierte Nächste Nachbarn
(\emph{Nahordnung}\index{Nahordnung}), und sogar \emph{Fernordnung\index{Fernordnung}.}

\begin{description}
\item [{Ionenkristall}] In sehr guter Näherung (2\% Fehler) kann jedes
einzelne Ion durch eine harte Kugel eines gegebenen Radius beschrieben
werden.
\item [{Metalle}] lassen sich ebenfalls durch Harte Kugeln mit gegebenen
Radius beschreiben.
\end{description}
\begin{itemize}
\item beachte: Metallradien ein und des selben Element ist Größer als Ionenradius
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Kovalent}] gebundene Kristalle lassen sich nur mit dem Molekühl
als Kleinste Einheit als Harte Kugeln beschreiben $\rightarrow$ \emph{\index{Van der Waals Radius}Van
der Waals Radius}. Die einzelnen Atome des Molekühls nicht.
\end{description}
\end{description}

\subsection{Ordnung und Unordnung}


\subsubsection{Unordnung}

\begin{description}
\item [{existiert}] in Gaßen
\item [{Phasenübergang~1.~Ordnung}] ist durch die \emph{Unstetigkeit}
in den Thermodynamischen Variablen gekennzeichnet
\item [{Phasenübergang~2.~Ordnung}] ist durch die \emph{Stetigkeit} in
den Thermodynamischen Variablen gekennzeichnet
\item [{Freie~Energie}] $F=U-S\cdot T$ wird minimiert bei der Phasenwahl
\end{description}
\begin{itemize}
\item $U$ innere Energie
\item $S$ Entropie
\item $T$ Temperatur
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{messbar}] sind nur Mittelwerte
\end{description}

\subsubsection{Ordnung}

\begin{description}
\item [{existiert}] in Kristallen
\item [{messbar}] sind einzelne Teilchen
\end{description}

\subsubsection{Zwischenbereich}

\begin{description}
\item [{messbar}] sind Einzelne Teilchen
\item [{reale}] Systeme: z.B. Körner
\item [{Partielle}] Ordnung: Manche Freiheitsgerade wie in Gaß, manche
wie in Festkörper
\end{description}
\begin{itemize}
\item Polymere, Legierungen, Verbundwerkstoffe, Biologische Systeme, Flüssigkristalle
\end{itemize}

\section{Der kristalline Zustand}


\subsection{\index{Kristallgitter}Kristallgitter}

\begin{description}
\item [{Basis}] das einzelne Atom oder Atomgruppe. Jedem Gitterpunkt wird
eine identische Gruppe von Atomen oder Atomgruppen (Basisgruppe) zugeordnet
\item [{Raumperiodische~Anordnung}] \emph{Bravais-Gitter}\index{Bravais-Gitter}
(\emph{Synonoy Translationsgitter}\index{Synonoy Translationsgitter}).
Drei Basisvektoren (oder primitive Translationen) $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}$;
von jeden Punkt des Raumgitters die anderen Gitterpunkte durch eine
Translation\[
\vec{R}=n_{1}\vec{a}_{1}+n_{2}\vec{a}_{2}+n_{3}\vec{a}_{3}\]
mit $n_{1},n_{2},n_{3}\in\mathbb{Z}$ erreicht werden können.
\end{description}

\subsection{Primitive \index{Einheitszelle}Einheitszelle}

\begin{description}
\item [{Volumen}] $V=\vec{a}_{1}\cdot\left(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}\right)$
\item [{Typen}] gibt es 14 verschiedene
\end{description}
\begin{itemize}
\item http://de.wikipedia.org/wiki/Bravais-Gitter
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Eindeutigkeit}] ist nicht gegeben
\item [{\index{Wigner-Seitz-Zelle}Wigner-Seitz-Zelle}] lässt sich wie
folgt eindeutig definieren:
\end{description}
\begin{itemize}
\item die kleinstmögliche Einheitszelle
\item die nur einen Gitterpunkt in ihren Zentrum enthält
\item die alle Symmetrien des zugehörigen Kristallgitters aufweist
\item alle Orte im Inneren der Wigner-Seitz-Zelle liegen diesem Gitterpunkt
näher als benachbarte Gitterpunkte
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Ort}] wird in relativen Koordinaten zu den Basisvektoren angegeben.
\end{description}
\begin{itemize}
\item Mittelpunkt ist z.B. $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Richtungen}] werden auch als Vektor angegeben. Negative komponenten
werden durch ein Queren der Zahl angegeben ($-1\rightarrow\overline{1}$)
\item [{Ebenen}] werden durch {}``\emph{Miller-Indizes}\index{Miller-Indizes}''
angegeben. Dies ist der auf die Länge $1$ normierte Normalenvektor
der Ebene.
\item [{Netzebene\index{Netzebene}}] (oder \emph{Gitterebene}\index{Gitterebene})
bezeichnet man eine Ebene, die durch Gitterpunkte (Atompositionen)
im Raumgitter eines Kristalls verläuft. Ihre Lage wird durch die Millerschen
Indizes (hkl) beschrieben.\\
Eine Netzebenenschar besteht aus allen parallel verlaufenden Netzebenen
mit jeweils dem Netzebenenabstand dhkl. Dieser kann aus den Millerschen
Indizes und den Gitterkonstanten berechnet werden. Für orthorhombische
und höher symmetrische Gitter gilt folgende Formel:\[
d_{\mathrm{hkl}}=\left[\left(\frac{h}{a}\right)^{2}+\left(\frac{k}{b}\right)^{2}+\left(\frac{l}{c}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}\]

\end{description}

\subsection{Systematik der \index{Bravaisgitter}Bravaisgitter}

\begin{description}
\item [{Affine~Transformation}] $T\left(\vec{r}\right)=\vec{r}'=\hat{R}\vec{r}+t$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Primitive Translationen\\
$\vec{t}_{n}=n_{1}\vec{a}_{1}+n_{2}\vec{a}_{2}+n_{3}\vec{a}_{3}$
\item Punktoperationen\\
$\hat{R}=$ Drehmatize (also $\det\left(C_{p}\right)=1$)
\end{itemize}

\subsection{\index{Reziprokes Gitter}Reziprokes Gitter}

\begin{itemize}
\item ist eine mathematische Hilfskonstruktion zur Beschreibung eines Kristallgitters
\item wird benutzt zur Behandlung von WW von Wellen mit räumlichen periodischen
Strukturen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Definition}] Die Gesamtheit aller Wellenvektoren $\vec{k}$, deren
dazugehörigen ebenen Wellen $e^{i\vec{k}\vec{r}}$ die Periodizität
eines gegeb. Bravisgitters $\left\{ \vec{R}\right\} $ aufweist, wird
als dessen Reziprokes Gitter bezeichnet.
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left\{ \vec{R}\right\} $ Direktes Gitter

\begin{itemize}
\item $\left\{ \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\right\} $ dessen Basis
\end{itemize}
\item $\left\{ \vec{b}\right\} $ reziprokes Gitter

\begin{itemize}
\item $\left\{ \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\right\} $ dessen Basis
\item $\vec{b}_{1}=2\pi\frac{\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}}{\vec{a}_{1}\cdot\left(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}\right)}$
\item $\vec{b}_{2}=2\pi\frac{\vec{a}_{3}\times\vec{a}_{1}}{\vec{a}_{1}\cdot\left(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}\right)}$
\item $\vec{b}_{3}=2\pi\frac{\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}}{\vec{a}_{1}\cdot\left(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}\right)}$
\item $\left[\vec{b}_{i}\right]=\frac{1}{Länge}$
\item $\vec{b}_{i}\vec{a}_{j}=2\pi\delta_{ij}$
\item $\vec{k}=k_{1}\vec{b}_{1}+k_{2}\vec{b}_{2}+k_{3}\vec{b}_{3}$
\item $\vec{R}=n_{1}\vec{a}_{1}+n_{2}\vec{a}_{2}+n_{3}\vec{a}_{3}$
\item $\vec{k}\cdot\vec{R}=2\pi\underbrace{\left(k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}+k_{3}n_{3}\right)}_{\in\mathbb{Z}}$
\item $V_{B}=\vec{b}_{1}\cdot\left(\vec{b}_{2}\times\vec{b}_{3}\right)=\frac{\left(2\pi\right)^{3}}{V_{a}}$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{\index{Erste Brillouin-Zone}Erste~Brillouin-Zone\index{Brillouin-Zone}}] ist
die Wigner-Seitz-Zelle des rezipropen Gitters
\end{description}

\subsection{Strukturbestimmung\index{Strukturbestimmung}}

\begin{description}
\item [{Strahlungsarten}] gibt es vom Prinzip 3 die zur Analyse genutzt
werden

\begin{description}
\item [{Neutronen}] haben keine Elektromagnetische Wechselwirkungen mit
Elektronenhüllen, sondern nur mit den auf dieser Skala Punktförmigen
Kernen
\end{description}
\begin{itemize}
\item Typische Energie $10^{-1}eV$
\item $E\sim k\sim\lambda^{-2}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Elektronen}] Nur Oberflächenanalyse. Wechselwirken mit der Elektronenhülle
\end{description}
\begin{itemize}
\item Typische Energie $10^{2}eV$
\item $E\sim k\sim\lambda^{-2}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Licht}] Wechselwirkt mit Elektronenhülle
\end{description}
\begin{itemize}
\item Typische Energie $10^{4}eV$
\item $E\sim k\sim\lambda^{-1}$
\end{itemize}
\item [{\index{Laue-Bedingung}Laue-Bedingung}] Konstruktive Interferenz
gdw.;\[
\vec{k}+\vec{k}'=\Delta\vec{k}=\vec{K}=\mbox{Reziproker Gitterpunkt}\]

\item [{Bragg-Gleichung}] relativ zu den Netzebenen des Kristalls\[
2d\sin\theta=m\lambda\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $m\in\mathbb{Z}$
\item $\theta$ ist der Winkel zwischen der Ebene und dem einfallender bzw.
ausfallender Strahl.
\item Spiegelung / Reflektion an Netzebene
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{\index{Ewald-Kugel}Ewald-Kugel}] ist ein Konstruktion um die Interferenzmaxima
zu konstruieren
\end{description}
\begin{itemize}
\item Man zeichne den einfallenden $\vec{k}$ Vektor beginnend an einem
beliebigen Punkt in das Reziproke Gitter ein.
\item Um die Spitze dieses Pfeils eine Kugel mit dem Radius $\left|\vec{k}\right|$
zeichnen.
\item Vektoren von der spitze von $\vec{k}$ zu Punkten des reziproken Gitters
auf dieser Kugeloberfläche sind Ausfallsrichtungen in denen ein Interferenzmaximum
liegt.
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Experimentelle~Verfahren}] zur Bestimmung des Reziproken Gitters

\begin{description}
\item [{\index{Laue-Verfahren}Laue-Verfahren}] besteht darin, das mit
einem kontinuierlichen Spektrum $k_{0}>k>k_{1}$ bestrahlt wird. Der
Kristall wird immer aus der gleichen Richtung und die Streuintensitäten
bestimmt werden.
\item [{Drehkristallverfahren\index{Drehkristallverfahren}}] bestrahlt
wird mit monochromatischer $\gamma$ Strahlung. Der Kristall wird
gedreht. Die Streuintensitäten werden bestimmt.
\item [{\index{Debye-Scherrer-Verfahren}Debye-Scherrer-Verfahren}] monochromatische
$\gamma$. Nutzen eines Pulvers. Jede Christallorientierung gleichhäufig
vorhanden. Es entstehen Ringe im Spektrum.
\end{description}
\end{description}
\printindex{}
\end{document}
