Reziprokes Gitter

• ist eine mathematische Hilfskonstruktion zur Beschreibung eines Kristallgitters
• wird benutzt zur Behandlung von WW von Wellen mit räumlichen periodischen Strukturen

Definition

Die Gesamtheit aller Wellenvektoren $\vec{k}$, deren dazugehörigen ebenen Wellen $e^{i\vec{k}\vec{r}}$ die Periodizität eines gegeb. Bravisgitters $\left\{ \vec{R}\right\}$ aufweist, wird als dessen Reziprokes Gitter bezeichnet.

• $\left\{ \vec{R}\right\}$ Direktes Gitter
  • $\left\{ \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\right\}$ dessen Basis
• $\left\{ \vec{b}\right\}$ reziprokes Gitter
  • $\left\{ \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\right\}$ dessen Basis
  • $\vec{b}_{1}=2\pi\frac{\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}}{\vec{a}_{1}\cdot\left(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}\right)}$
  • $\vec{b}_{2}=2\pi\frac{\vec{a}_{3}\times\vec{a}_{1}}{\vec{a}_{1}\cdot\left(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}\right)}$
  • $\vec{b}_{3}=2\pi\frac{\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}}{\vec{a}_{1}\cdot\left(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}\right)}$
  • $\left[\vec{b}_{i}\right]=\frac{1}{Länge}$
  • $\vec{b}_{i}\vec{a}_{j}=2\pi\delta_{ij}$
  • $\vec{k}=k_{1}\vec{b}_{1}+k_{2}\vec{b}_{2}+k_{3}\vec{b}_{3}$
  • $\vec{R}=n_{1}\vec{a}_{1}+n_{2}\vec{a}_{2}+n_{3}\vec{a}_{3}$
  • $\vec{k}\cdot\vec{R}=2\pi\underbrace{\left(k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}+k_{3}n_{3}\right)}_{\in\mathbb{Z}}$
  • $V_{B}=\vec{b}_{1}\cdot\left(\vec{b}_{2}\times\vec{b}_{3}\right)=\frac{\left(2\pi\right)^{3}}{V_{a}}$

Erste Brillouin-Zone

ist die Wigner-Seitz-Zelle des rezipropen Gitters