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\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Lineare Algebra I/II für Physiker}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 29.11.2005 - Version: 1.0.0\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Lineare Algebra
I/II für Physiker'' von Prof. Dr. Michael Joswig an der Technischen
Universität Darmstadt im Wintersemester 2004/05 und Sommersemester
2005.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Vektroräume}


\subsection{Gruppen, Ringe, Körper}


\subsubsection{Qunatoren \& Aussagenlogik}


\paragraph{Verknüpfungen\index{Verknüpfungen}}

\begin{itemize}
\item Negation\index{Negation}\\
$\neg a$: nicht\index{nicht} $a$
\item Implikation\index{Implikation}\\
$a\Rightarrow b$: aus $a$ folgt\index{folgt} $b$
\item Äquivalenz\index{Äquivalenz}\\
$a\Longleftrightarrow b$: $a$ und $b$ sind äquivalent\index{äquivalent}
(gleichwertig\index{gleichwertig})
\item Konjunktion\index{Konjungtion}\\
$a\wedge b$: $a$ und\index{und} $b$
\item Disjunktion\index{Disjunktion}\\
$a\vee b$: $a$ oder\index{oder} $b$
\end{itemize}
\emph{Wahrheitstabelle}\index{Wahrheitstabelle}:

\hfill{}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|c|}
\hline 
$a$&
$b$&
$\neg a$&
$a\vee b$&
$a\wedge b$&
$a\Rightarrow b$&
$a\Leftrightarrow b$\tabularnewline
\hline
\hline 
f&
f&
w&
f&
f&
w&
w\tabularnewline
\hline 
f&
w&
w&
w&
f&
w&
f\tabularnewline
\hline 
w&
f&
f&
w&
f&
f&
f\tabularnewline
\hline 
w&
w&
f&
w&
w&
w&
w\tabularnewline
\hline
\end{tabular}\hfill{}


\paragraph{Quantoren\index{Quantifikatoren}}

\begin{itemize}
\item Allquantor\index{Allquantor} $\forall x:\varphi(x)$ \\
für alle $x$ gilt $\varphi(x)$.\\
z.B. $\forall x\in\mathbb{N}:x^{2}\in\mathbb{N}=\forall_{\mathbb{N}}^{x}:x^{2}\in\mathbb{N}$
\item Existenzquantor\index{Existenzquantor} $\exists x:\varphi(x)$ \\
es gibt (mindestens) ein $x$ für das $\varphi(x)$ gilt.\\
z.B. $\exists x\in\mathbb{N}:\varphi(x)=\exists_{\mathbb{N}}^{x}:\varphi(x)$
\item $\exists!x:\varphi(x)$ oder $\exists^{1}x:\varphi(x)$\\
es gibt genau ein $x$ für das $\varphi(x)$ gilt.
\item Negation\index{Negation} $\forall x:H(x)\Leftrightarrow\neg\exists x:\neg H(x)$\\
Es gilt für alle $x$, $H(x)$ $\Leftrightarrow$ Es gibt nicht ein
$x$, für das $H(x)$ nicht gilt.
\end{itemize}

\paragraph{Rechenregeln}

\begin{itemize}
\item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\
$a\wedge b=b\wedge a$\\
$a\vee b=b\vee a$
\item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\
$\left(a\wedge b\right)\wedge c=a\wedge\left(b\wedge c\right)$\\
$\left(a\vee b\right)\vee c=a\vee\left(b\vee c\right)$
\item Distributivgesetz\index{Distributivgesetz}\\
$a\wedge\left(b\vee c\right)=\left(a\wedge b\right)\vee\left(a\wedge c\right)$\\
$a\vee\left(b\wedge c\right)=\left(a\vee b\right)\wedge\left(a\vee c\right)$
\item De Morgan\index{De Morgan}\\
$\neg\left(a\vee b\right)=\left(\neg a\right)\wedge\left(\neg b\right)$\\
$\neg\left(a\wedge b\right)=\left(\neg a\right)\vee\left(\neg b\right)$
\item doppelte Negation\\
$\neg\left(\neg a\right)=a$
\item Rechenregeln des logischen Schließens

\begin{itemize}
\item direkter Schluss\index{direkter Schluss}\\
$\left(A\wedge\left(A\Rightarrow B\right)\right)\Rightarrow B$
\item indirekter Schluss\index{indirekter Schluss}\\
$\left[\left(\neg B\right)\wedge\left(A\Rightarrow B\right)\right]\Rightarrow\left(\neg A\right)$
\item Kontraposition\index{Kontraposition}\\
$\left(A\Rightarrow B\right)\Rightarrow\left(\neg B\Rightarrow\neg A\right)$
\end{itemize}
\item Negation von Quantoren\\
$\neg\left(\forall a:\varphi\left(a\right)\right)\Leftrightarrow\left(\exists a:\neg\varphi\left(a\right)\right)$\\
$\neg\left(\exists a:\varphi\left(a\right)\right)\Leftrightarrow\left(\forall a:\neg\varphi\left(a\right)\right)$
\item neutrales Element\index{Neutrales Element}\\
$a\vee\textrm{f}=a$\\
$a\wedge\textrm{f}=\textrm{f}$\\
$a\vee\textrm{w}=\textrm{w}$\\
$a\wedge\textrm{w}=a$
\item inverses Element\index{inverses Element}\\
$a\vee\left(\neg a\right)=\textrm{w}$\\
$a\wedge\left(\neg a\right)=\textrm{f}$
\end{itemize}

\paragraph{Eigenschaften von Aussagen}

\begin{description}
\item [Widerspruch](Symbol: Blitz) heißt eine zusammengesetzte Aussage,
wenn sie \emph{immer falsch} ist.\\
z.B. $A\wedge\neg A$
\item [Tautologie]heißt eine Aussage, wenn sie \emph{immer wahr} ist.\\
z.B. $A\vee\neg A$
\end{description}

\subsubsection{Sonstige Definitionen}

\begin{description}
\item [Potenzmenge\index{Potenzmenge}]$\mathcal{P}\left(M\right):=\left\{ M'|M'\subseteq M\right\} $
\item [Differenzmenge\index{Differenzmenge}]für $M',M''\subseteq M$ sei\\
$M'-M'':=\left\{ m|m\in M'\wedge m\notin M''\right\} $
\item [Menge~aller~Abbildungen\index{Abbildung}\index{Menge aller Abbildungen}]Seien
$A,B$ beliebige Mengen. Dann bezeichnet $A^{B}:=\left\{ f|f:B\rightarrow A\right\} $
die Menge aller Abbildungen von $B$ nach $A$.
\item [Verkettung\index{Verkettung}]Sei $M$ eine beliebige Menge. Die
\emph{Verkettung} von Abbildungen von $M$ in sich ist definiert durch
$\circ:M^{M}\times M^{M}\rightarrow M^{M}$ mit $g\circ f:M\rightarrow M:m\mapsto g\left(f\left(m\right)\right)$
für $f,g\in M^{M}$ und $m\in M$.

\begin{itemize}
\item Verkettungen sind assoziativ.
\item Die Verkettung von bijektiven Abbildungen ist wieder bijektiv
\end{itemize}
\item [Sym\index{Sym}]$\mathrm{Sym}\left(M\right):=\left\{ f|f:M\rightarrow M\ \mathrm{bijektiv}\right\} $
\end{description}
\begin{itemize}
\item für $M=\left\{ 1,\ldots,k\right\} \subseteq\mathbb{N}$ schreibe $S_{k}$
(Menge von allen möglichen Permutationen von $k$ Zahlen) 
\end{itemize}

\subsubsection{Verknüpfung}

Eine (binäre) \emph{Verknüpfung\index{Verknüpfung}} $*$ auf einer
Menge $M$ ist eine Abbildung $*:M\times M\rightarrow M:\left(m,m'\right)\mapsto m*m'$.
Sie heißt

\begin{description}
\item [kommutativ\index{Kommutativ}]falls $\forall_{M}^{m,m'}:m*m'=m'*m$
\item [assoziativ\index{assoziativ}]falls $\forall_{M}^{m,m',m''}:m*\left(m'*m''\right)=\left(m*m'\right)*m''$

\begin{itemize}
\item In diesem Fall ist es nicht nötig Klammern\index{Klammern} zu setzen.
\end{itemize}
\end{description}
\begin{itemize}
\item Es gibt \emph{postfix}\index{postfix}, \emph{infix}\index{infix}und
\emph{suffix\index{suffix}} Notationen für Verknüpfungen, jenachdem,
ob das Zeichen vor, zwischen oder nach den Operanden kommt.
\item Verknüpfungen sind eine Teilmenge der Abbildungen\index{Abbildungen}
\end{itemize}

\subsubsection{Halbgruppe}

Sei $M$ eine beliebige Menge, und $*$ eine \emph{assoziative} Verknüpfung.
Das Paar $\left(M,*\right)$ wird nun als \emph{Halbgruppe\index{Halbgruppe}}
bezeichnet.

\begin{itemize}
\item $\left(M^{M},\circ\right)$ ist eine Halbgruppe
\item Eine Halbgruppe mit neutralem Element nennt sich auch ein \emph{Monoid}\index{Monoid}.
\end{itemize}

\subsubsection{Gruppe}

Eine Halbgruppe $\left(G,*,e\right)$ heißt \emph{Gruppe\index{Gruppe}},
falls folgene Elemente exisiteren

\begin{description}
\item [Neutralelement\index{Neutralelement}]$e$ \[
\exists_{G}^{e}:\forall_{G}^{g}:e*g=g\]

\item [Inverses~Element\index{Inverses Element}]$g^{-1}:=h$ \[
\forall_{G}^{g}:\exists_{G}^{h}:h*g=e\]

\end{description}
Man sprich von einer \emph{kommutativen Gruppe\index{kommutative Gruppe}},
falls $*$ zusätzlich noch kommutativ ist.

\begin{itemize}
\item jede Gruppe besitzt \emph{genau ein} neutrales Element
\item in einer Gruppe existiert zu jedem Element \emph{genau ein} inverses
Element
\item Eine Gruppe ohne Inverse Elemente nennt sich \emph{Monoid\index{Monoid}}
\item Falls $G$ endlich, darf in der Verknüpfungstafel von $*$ in jeder
Zeile und in jeder Spalte jedes Element nur genau einmal vorkommen.
\item Die Gruppe $\left(\left\{ e\right\} ,*,e\right)$ wird als \emph{triviale
Gruppe\index{triviale Gruppe}\index{Gruppe!triviale}} bezeichnet
\item $\left(\mathrm{Sym}\left(M\right),\circ,\mathrm{id}_{M}\right)$ ist
eine Gruppe mit Neutralelement $\mathrm{id}_{M}:M\rightarrow M:m\mapsto m$
\item $\forall x,y\in G:\left(x*y\right)^{-1}=y^{-1}*x^{-1}$
\end{itemize}

\subsubsection{Ring}

Sei $R$ eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+:R\times R\rightarrow R$
und $*:R\times R\rightarrow R$. $+$ wird mit plus, und $*$ mit
mal bezeichnet. Das Tripel $\left(R,+,*,e\right)$ heißt \emph{Ring}\index{Ring},
falls

\begin{enumerate}
\item $\left(R,+,e\right)$ eine kommutative Gruppe ist
\item $\left(R,*\right)$ eine Halbgruppe ist
\item Es gelten die Distributivgesetze\index{Distributivgesetze} für alle
$a,b,c\in R$\begin{eqnarray*}
\left(a+b\right)*c & = & a*c+b*c\\
a*\left(b+c\right) & = & a*b+a*c\end{eqnarray*}

\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $-\left(-x\right)=x$
\item $x+y=x\Rightarrow y=0$
\item $\left(-x\right)y=-\left(xy\right)=x\left(-y\right)$
\end{itemize}
Einen Ring $R$ nennt man \emph{Ring mit $1$\index{Ring mit 1}}\label{Ring mit 1},
wenn er ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation hat, welches
man mit $1$ bezeichnet. Man nennt ein $x\in R$ \emph{invertierbar\index{invertierbar}},
wenn es ein $x^{-1}\in R$ gibt, mit $x*x^{-1}=1=x^{-1}*x$.

\begin{itemize}
\item In jedem Ring mit $1$ bildet die Menge der invertierbaren Elemente
eine Gruppe.
\item Wenn für $a,b\in R\backslash\left\{ 0\right\} $ $a*b=0$ gilt, heißt
der Ring \emph{nullteilerfrei}\index{nullteilerfrei}\@. In nullteilerfreien
Ringen kann man eine \emph{Division mit Rest\index{Division mit Rest}}
definieren.
\item In einem Ring mit $1$ ist jedes Element $a$ entweder invertierbar
oder Nullteiler (d.h. $\exists x:a*x=0$)
\end{itemize}

\subsubsection{Körper}

Ein Ring $\left(K,+,*,0\right)$ mit additivem ($+$) Neutralelement
$0\in K$ heißt \emph{Körper}\index{Körper} $\left(K,+,*,0,1\right)$,
falls zusätzlich $\left(K-\left\{ 0\right\} ,*,1\right)$eine kommutative
Gruppe ist. Das additive ($+$) Neutralelement $0$ heißt \emph{Nullelement\index{Nullelement}},
und das multiplikative ($*$) Neutralelement heißt \emph{Einselement\index{Einselement}}.

\begin{itemize}
\item falls $\left(K-\left\{ 0\right\} ,*,1\right)$ eine \emph{nicht} kommutative
Gruppe ist, wird $\left(K,+,*,0,1\right)$ als \emph{Schiefkörper\index{Schiefkörper}}
bezeichnet.
\item $\left(\mathbb{F}_{2},+,*\right)$ mit \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
+&
0&
1\tabularnewline
\hline
\hline 
0&
0&
1\tabularnewline
\hline 
1&
1&
0\tabularnewline
\hline
\end{tabular} und \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
{*}&
0&
1\tabularnewline
\hline
\hline 
0&
0&
0\tabularnewline
\hline 
1&
0&
1\tabularnewline
\hline
\end{tabular} ist der kleinste mögliche Körper\index{F2 bzw. $\mathbb{F}_2$}.
\item $0\neq1$ muss gelten
\item Körper sind per Nullteilerfrei, d.h. es gilt:\\
$a*b=0\;\Leftrightarrow\quad a=0\vee b=0$
\end{itemize}

\subsubsection{$K$-Algebra}

Sei $\left(V,+,\cdot\right)$ ein \emph{$K$}-Vektorraum und $\left(V,+,*\right)$
ein Ring mit $1$. Dann wird $\left(V,+,\cdot,*\right)$ als \emph{$K$-Algebra\index{Algebra}\index{K-Algebra}}
bezeichnet, falls $\left(\lambda\cdot a\right)*b=\lambda\cdot\left(a*b\right)$
für belibige $\lambda\in K$ und $a,b\in V$ gilt.


\subsubsection{Relation}

Eine (zweistellige) Relation\index{Relation}$\sim$ zwischen den
Mengen A und B ist eine Teilmenge von $A\times B$.\\
$a\sim b$ falls $(a,b)\in A\times B$.

\begin{itemize}
\item Eigenschaften von Relationen

\begin{description}
\item [reflexiv\index{reflexiv}]~\\
$\forall a:a\sim a$
\item [symmetrisch\index{symetrisch}]~\\
$a\sim b\Leftrightarrow b\sim a$
\item [antisymmetrisch\index{antisymetrisch}]~\\
$a\sim b\wedge b\sim a\Rightarrow a=b$
\item [transitiv\index{transitiv}]~\\
$a\sim b\wedge b\sim c\Rightarrow a\sim c$
\end{description}
\end{itemize}

\subsubsection{(An-)Ordnung}

Wir nennen $<$ \emph{Ordnung\index{Ordnung}} oder \emph{Anordnung\index{Anordnung}}
falls entweder $x<y$ oder $x=y$ oder $y<x$ gilt (nur eines dieser
3). Zudem muss $<$ transitiv sein.


\subsubsection{angeordneter Ring / Körper}

Ein Ring oder ein Körper $\left(R,+,*,0,1\right)$ heißt \emph{angeordneter
Ring\index{Ring!angeordneter}\index{angeordnerterRing}} bzw. \emph{angeordneter
Körper\index{angeordneter Körper}\index{Körper!angeordneter}}, schreibe
$\left(R,+,*,0,1,<\right)$, falls $<$ eine Ordnung auf $R$ ist
und folgendes für alle $x,y,z\in R$ gilt:

\begin{enumerate}
\item $x<y\Rightarrow x+z<y+z$
\item $x<y\wedge0<z\Rightarrow x*z<y*z$
\end{enumerate}
\begin{description}
\item [positiv\index{positiv}]falls $0<x$
\item [negativ\index{negativ}]falls $x<0$
\item [nicht~positiv\index{nicht positiv}]falls $x<0\vee x=0$
\item [nicht~negativ\index{nicht negativ}]falls $0<x\vee x=0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item positiv $*$ positiv = positiv = negativ $*$ negativ
\item negativ $*$ positiv = negativ = positiv $*$ negativ
\item $x\neq0\Rightarrow0<x^{2}=x*x$
\item $0<1$
\item ein angeordneter Ring / Körper hat unendlich viele Elemente
\item es gelte die Punkt vor Strich-Rechnung, um Klammern zu sparen
\end{itemize}

\subsection{Vektorräume}


\subsubsection{Definition Vektorraum}

Sei $K$ $\left(K,+.*,1,0\right)$ ein Körper. Ein $K$\emph{-Vektorraum}\index{Vektorraum}
(Vektorraum über $K$) ist ein Tripel $\left(V,+,*\right)$ bestehend
aus einer Menge $V$, einer binären Verknüpfung $+:V\times V\rightarrow V$
(Addition) und einer \emph{Skalarmultiplikation\index{Skalarmultiplikation}}:
$*:K\times V\rightarrow V$, so dass gilt:

\begin{enumerate}
\item $\left(V,+\right)$ ist eine kommutative Gruppe
\item für alle $\lambda,\mu\in K,v,w\in V$ gilt:

\begin{enumerate}
\item $\left(\lambda+\mu\right)*v=\left(\lambda*v\right)+\left(\mu*v\right)$
\item $\lambda*\left(v+w\right)=\left(\lambda*v\right)+\left(\lambda*w\right)$
\item $\lambda*\left(\mu*v\right)=\left(\lambda*\mu\right)*v$
\item $1*v=v$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Es gelten folgende Rechenregeln in einem $K$-VR\index{VR} (Vektorraum)
$\left(V,+,*\right)$, für alle $v,w\in V$ und $\lambda,\mu\in K$:

\begin{enumerate}
\item $0*v=0$
\item $\lambda*0=0$
\item $\lambda*v=0\Rightarrow\left(\lambda=0\vee v=0\right)$
\item $\left(-1\right)*v=-v$
\end{enumerate}

\subsubsection{Standardvektorraum}

Der \emph{Standardvektorraum}\index{Standardvektorraum} $K^{n}$
für $n\in\mathbb{N}$ ist wie folgt definiert:

\begin{itemize}
\item $K^{n}=\underbrace{K\times\ldots\times K}_{n-\textrm{mal}}=\left\{ \left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}\end{array}\right)|x_{1},\ldots,x_{n}\in K\right\} $
\item $\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_{1}+y_{1}\\
\vdots\\
x_{n}+y_{n}\end{array}\right)$
\item $\lambda*\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\lambda*x_{1}\\
\vdots\\
\lambda*x_{n}\end{array}\right)$
\item \emph{Nullvektor}\index{Nullvektor} $0=\left(\begin{array}{c}
0\\
\vdots\\
0\end{array}\right)$ ist das Neutralelement in $K^{n}$ 
\item Die \emph{Standardbasisvektoren\index{Standardbasisvektoren}} des
Standardvektorraumes $K^{n}$ sind $e_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0\\
\vdots\\
0\end{array}\right),e_{2}=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\\
\vdots\\
0\end{array}\right),\ldots,e_{n}=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\\
\vdots\\
1\end{array}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Vektoraum von Abbildungen}

Sei $M$ eine beliebige Menge und $K$ ein beliebiger Körper. Es ist
$K^{M}=\left\{ f|f:M\rightarrow K\right\} $. Mit \emph{punktweise\index{punktweise}}
definierter Addition\[
\forall f,g\in K^{M}:f+g:M\rightarrow K:m\mapsto f\left(m\right)+g\left(m\right)\]
und der Skalarmultiplikation \[
\lambda*f:M\rightarrow K:m\mapsto\lambda*f\left(m\right)\]
 ist $\left(K^{M},+,*\right)$ ein $K$-Vektorraum.

\begin{itemize}
\item ist Verallgemeinerung vom Standardvektorraum $K^{n}$. Hier kann eine
beliebige Menge $M$ als Index der {}``einzelnen Elemente des Vektors''
dienen. Hierfür wäre $M=\left\{ 1,\ldots,k\right\} \subseteq\mathbb{N}$
\end{itemize}

\subsubsection{Linearkombinationen}

Es sei $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ ein geordnetes $k$-Tupel
von Vektoren aus einem $K$-VR $V$. Ein Vektor $v\in V$ heißt:

\begin{description}
\item [Linearkombination\index{Linearkombination}]von $\left(v_{1},\ldots v_{k}\right)$,
falls \[
\exists\lambda_{1},\ldots\lambda_{k}\in K:v=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}\]

\item [Affinkombination\index{Affinkombination}]von $\left(v_{1},\ldots v_{k}\right)$,
falls \[
\exists\lambda_{1},\ldots\lambda_{k}\in K:\left(v=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}\right)\wedge\left(1=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Einschränkung von Linearkombination
\item Erzeugen den kleinsten (geringste Anzahl möglicher Vektoren) affinen
Teilraum, der $v_{1},\ldots,v_{k}$ enthält
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Konvexkombination\index{Konvexkombination}]von $\left(v_{1},\ldots v_{k}\right)$,
falls\begin{eqnarray*}
 & \exists\lambda_{1},\ldots\lambda_{k}\in K:\\
 & v=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}\wedge1=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}\wedge\\
 & \forall i\in\left\{ 1,\ldots,k\right\} :0\leq\lambda_{i}\leq1\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item Einschränkung von Affin- und Linearkombination
\item $K$ muss hierfür ein angeordneter Körper sein.
\end{itemize}

\subsubsection{Lineare Unabhängigkeit}

Das (endliche) $k$-Tupel $\left(v_{1},\ldots,v_{k}\right)$ heißt
\emph{linear unabhängig\index{linear unabhängig}}, falls \[
\left(\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}=0\right)\Rightarrow\left(\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{k}=0\right)\]
 andernfalls heißt $\left(v_{1},\ldots,v_{k}\right)$ \emph{linear
abhängig\index{linear abhängig}}.

Eine unendliche Familie (Tupel) von Vektoren heißt linear unabhängig,
falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist.

\begin{itemize}
\item Für $n\geq2$ sind $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ genau dann linear
abhängig, falls (mindestens) einer dieser Vektoren eine Linearkombination
der übrigen ist.
\item sei $\left(v_{1},\ldots,v_{k}\right)$ linear unabhängig, dann ist
auch für jede Permutation $\pi\in S_{k}$ das Tupel $\left(v_{\pi\left(1\right)},\ldots,v_{\pi\left(k\right)}\right)$
linear unabhängig
\item sei $\left(v_{1},\ldots,v_{k}\right)$ linear unabhängig, dann ist
auch jedes Teiltupel $\left(v_{1},\ldots,v_{i}\right)$ für $i\leq k$
linear unabhängig
\item Begiff der linearen Unabhängigkeit lässt sich auch für Mengen definieren.
\item Die Einheitsvektoren $\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)$ des Standardvektorraumes
$K^{n}$ sind linear unabhängig.
\item $V$ sei ein beliebiger $k$-Vektorraum und $0\neq x\in V$

\begin{itemize}
\item $\left(x\right)$ ist linear unabhängig
\item $\left(\underbrace{x,x,\ldots,x}_{k-mal}\right)$ mit $k\geq2$ ist
linear abhängig.
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Teilraum oder Unterraum}

Sei $V$ ein VR. Eine nichtleere Teilmenge $U\subseteq V$ heißt \emph{Teilraum\index{Teilraum}}
(oder \emph{Unterraum\index{Unterraum}}) von $V$, falls gilt:\[
\forall u,v\in U\forall\lambda,\mu\in K:\lambda u+\mu v\in U\]


\begin{itemize}
\item $0\in U$ für alle $U$ die URV sind.
\item Falls $U$ Unterraum (oder Teilraum) von $V,$ schreiben wir $U\leq V$
\item $\left\{ 0\right\} \leq V$ und $V\leq V$ gilt für alle $V$
\item Die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems bilden einen
Unterraum von $K^{n}$
\item Betrachte den $\mathbb{R}$-Vektorraum $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$
mit punktweise definierter Addition, dann bilden

\begin{itemize}
\item die stetigen Abbildungen $\mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R}\right)$
einen Teilraum von $\mathbb{R^{R}}$
\item die differenzierbaren Abb. einen Teilraum von $\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\leq\mathbb{R^{R}}$
usw.
\end{itemize}
\item Seien $U,W$ Teilräume des $K$-Vektorraums $V$. Dann sind $U\cap W$
und $U+W:=\left\{ u+w|u\in U,w\in W\right\} $ Teilräume von $V$.
\end{itemize}

\subsubsection{affiner Unterraum}

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $U\le V$, $x\in V$. Dann heißt die
Menge\[
x+U=\left\{ x+u|u\in U\right\} \]
affiner Unterraum von $V$

\begin{itemize}
\item Die Lösungen eines inhomogenen LGS sind ein affiner Unterraum
\end{itemize}

\subsubsection{lineare Hülle}

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $M\subseteq V$. Die Menge\[
\textrm{lin}\left(M\right):=\left\{ \lambda_{1}m_{1}+\ldots+\lambda_{n}m_{n}|\lambda_{i}\in K,m_{i}\in M\right\} \]
 heißt \emph{lineare Hülle}\index{lineare Hülle}\index{Hülle} (oder
\emph{linearer Aufspann}\index{linearer Aufspann}\index{Aufspann})
von $M$ in $V$. Für $M=\emptyset$ setze $\textrm{lin}\left(\emptyset\right)=\left\{ 0\right\} $.

\begin{itemize}
\item $\textrm{lin}\left(M\right)$ ist der kleinste Unterraum von $V$,
der $M$ enthält.

\begin{itemize}
\item $\textrm{lin}\left(M\right)\leq V$
\item kleinster Unterraum, das bedeutet \\
$\forall U\leq V:U\supseteq M\Rightarrow U\geq\textrm{lin}\left(M\right)$
\end{itemize}
\item Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum und $S,S'\in V$

\begin{itemize}
\item $\textrm{lin}\left(S\right)\cap\textrm{lin}\left(S'\right)\supseteq\textrm{lin}\left(S\cap S'\right)$
\item $\textrm{lin}\left(S\right)\cup\textrm{lin}\left(S'\right)\subseteq\textrm{lin}\left(S\cup S'\right)$
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Erzeugendensystem / Basis}

Sei $v$ ein $K$-Vektorraum. Eine Menge $M\subseteq V$ heißt \emph{Erzeugendensystem\index{Erzeugendensystem}}
von $V$, falls $\textrm{lin}\left(M\right)=V$. Eine Familie in V
heißt \emph{Basis\index{Basis}} falls sie ein linear unabhängiges
Erzeugendensystem bildet. Ein Vektorraum heißt \emph{endlich erzeugt}\index{endlich erzeugt},
falls er ein endliches Erzeugendensystem besitzt.

\begin{itemize}
\item $\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)$ aus $K^{n}$ ist eine Basis (\emph{Standardbasis}\index{Standardbasis})
\end{itemize}

\subsubsection{Sätze über Basen\index{Basen}}

Sei $V\neq\left\{ 0\right\} $ ein $K$-Vektorraum und sei $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$
eine Familie von Vektoren aus $V$. Folgende Aussagen sind äquivalent:

\begin{enumerate}
\item $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ ist eine Basis von $U$
\item $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ ist ein \emph{unverkürzbares\index{unverkürzbar}}
Erzeugendensystem von $V$, d.h. $\forall J\varsubsetneqq I:\textrm{lin}\left\{ v_{i}|j\in J\right\} \lvertneqq V$
\item $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ ist ein \emph{unverlängerbare\index{unverlängerbar}}
linear unabhängige Familie. D.h. $\forall J\varsupsetneqq I$ ist
jede Familie von Vektoren $\left(v_{j}\right)_{j\in J}$ linear abhängig
\item Jeder Vektor aus $V$ lässt sich \emph{eindeutig} als Linearkombination
von Vektoren aus $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ schreiben.
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item In jedem endlichen Erzeugendensystem lässt sich eine Teilmenge finden,
die genau eine Basis des Vektorraums ist.
\item Jeder Vektorraum hat eine Basis. Bei unendlichen muss dies über das
Auswahlaxiom gezeigt werden.
\end{itemize}

\subsubsection{Basistausch\index{Basistausch}}

\emph{Austauschlemma}\index{Austauschlemma}: Sei $V$ ein $K$-Vektorraum
der endlich erzeugt ist. Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{r}\right)$ eine
Basis von $V$ und sei $w=\lambda_{1}v_{1}+\ldots\lambda_{r}v_{r}\in V$
für $\lambda_{i}\in K$. Dann folgt aus $\left(k\in\left\{ 1,\ldots,r\right\} \wedge\lambda_{k}\neq0\right)\Rightarrow\left(v_{1},\ldots,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots v_{r}\right)$
ist eine Basis von $V$.

\emph{Austauschsatz}\index{Austauschsatz}: Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{r}\right)$
eine Basis der endlich erzeugten Vektroraumes $V$, und sei $\left(w_{1},\ldots,w_{n}\right)$
eine linear unabhängige Familie in $V$. Dann gilt $n\leq r$, und
es existieren Indizes $i_{1},\ldots,i_{r-n}\in\left\{ 1,\ldots,r\right\} $,
so dass $\left(w_{1},\ldots,w_{n},v_{i_{1}},\ldots v_{i_{r-n}}\right)$
eine Basis von $V$ sind.

\begin{itemize}
\item Jede Basis eines endlich erzeugten Vektorraumes ist endlich
\item Jede Basis von $V$ hat die selbe Länge (Anzahl in ihr enthaltener
Vektoren)
\item Jede linear unabhängige Familie in dem endlich erzeugten Vektorraum
$V$ lässt sich zu einer Basis von $V$ fortsetzen.
\end{itemize}

\subsubsection{Dimension}

Ist $V$ ein $K$ Vektoraum, so heißt \[
{\scriptscriptstyle \dim_{K}V}=\begin{cases}
{\scriptscriptstyle r} & {\scriptscriptstyle \textrm{falls }V\textrm{ eine endliche Basis der Laenge }r\textrm{ besitzt}}\\
{\scriptscriptstyle \infty} & {\scriptscriptstyle \textrm{sonst}}\end{cases}\]
die \emph{Dimension\index{Dimension}} von $V$ über K.

\begin{itemize}
\item Sei $V$ ein $K$-VR mit $\dim V<\infty$ und $U<V$ echter Unterraum
von $V$. Dann gilt $\dim_{k}U<\dim_{K}V$.
\end{itemize}

\subsection{Summen in Vektorräumen}

Sei $V$ ein Vektorraum über belibigen Körper $K$.


\subsubsection{Minkowskisumme}

Für belibige Teilmengen $A,B\subseteq V$ heißt \[
A+B:=\left\{ a+b|a\in A,b\in B\right\} \]
 die \emph{(Minkowski\index{Minkowskisumme}-) Summe\index{Summe}}
von $A$ und $B$.

\begin{itemize}
\item \emph{Zomotrope\index{Zomotrope}} sind Minkowskisummen von verschiedenen
Geradenstücken
\item Falls $A,B\le V$ Teilräume, so ist auch $A+B\le V$ ein Teilraum
\end{itemize}

\subsubsection{Dimension}

Seien $A,B\le V$ endlichdimensionale Teilräume\[
\dim A+B=\dim A+\dim B-\dim\left(A\cap B\right)\]



\subsubsection{Direkte Summe}

Seien $A,B\le V$ Teilräume mit $A\cap B=\left\{ 0\right\} $. Dann
heißt \[
A\oplus B:=A+B\]
 die \emph{(innere) direkte Summe} \index{innere direkte Summe}\index{direkte Summe}von
$A$ und $B$

\begin{itemize}
\item Für $v\in\left(A\oplus B\right)$ existeren eindeutige $a\in A$ und
$b\in B$ mit $v=a+b$
\item Falls $\dim V<\infty$ und $V=A\oplus B$ $\Rightarrow\dim V=\dim A+\dim B$
\end{itemize}

\subsection{Lineare Abbildungen}


\subsubsection{Lineare Abbildung, Bild, Kern}

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über demselben Körper $K$.

Eine Abbildung $f:V\rightarrow W$ heißt \emph{linear\index{lineare Abbildungen}}\index{linear}
(über $K$), falls gilt:\[
\forall\lambda,\mu\in K,u,v\in V:f\left(\lambda u+\mu v\right)=\lambda f\left(u\right)+\mu f\left(v\right)\]


Sei $f:V\rightarrow W$ lineare Abbildung. Die Menge $\textrm{im}f=\left\{ f\left(v\right)|v\in V\right\} \subseteq W$
heißt \emph{Bild\index{Bild}} von $f$.

Die Menge $\textrm{ker}f=\left\{ v\in V|f\left(v\right)=0\right\} \subseteq V$
heißt Kern von $f$.

\begin{itemize}
\item Es gilt immer $0\in\textrm{ker}f$
\item Der Kern ist ein Untervektorraum\index{Untervektorraum} von $V$:\\
$\textrm{ker}f\le V$
\item Das Bild ist ein Untervektorraum von $W$:\\
$\textrm{im}f\le W$
\item Das \emph{Urbild\index{Urbild}} ist ein Untervektorraum:\\
$\forall U\subseteq W:f^{-1}\left(U\right):=\left\{ x\in V|f\left(x\right)\in U\right\} $
\item Eine lineare Abbildung ist injektiv\index{injektiv} genau dann, wenn
$\textrm{ker}f=\left\{ 0\right\} $ ist\\
$\forall u,v\in V:f\left(u\right)=f\left(v\right)\Leftrightarrow u-v\in\textrm{ker}f$
\item Die Basis des Bildes entspricht den nicht $0$ Zeilen nach anwendung
von Gauss-Jordan auf $\left[\varphi\right]^{Tr}$
\item Eine lineare Abbildung wird auch als Vektorraum Homomorphismus (strukturerhaltende
Abbildung) bezeichnet
\end{itemize}

\subsubsection{Projektion}

Eine Abbildung, für die gilt $f\circ f=f$, nennt man eine \emph{Projektion}\index{Projektion}.

\begin{itemize}
\item Für eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow V$, die eine Projektion
ist, gilt $V=\textrm{im}f\oplus\ker f$
\item für $x\in\textrm{im}f$ gilt: $x=f\left(x\right)$
\item Ist $B_{1}$ eine Basis von $\textrm{im}\left(f\right)$ und $B_{2}$
eine Basis von $\textrm{ker}\left(f\right)$ so ist die Matrix von
$f$ bezüglich $B_{1}\cup B_{2}$ eine Diagonalmatrix, auf deren Diagonalen
nur Nullen und einsen stehen.
\item $\left[f\right]$ ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix, es gibt also
ein $S$, so dass $S^{-1}\left[f\right]S$ eine Diagonalmatix ist.
$S$ ist die Basismatirix von $B_{1}\cup B_{2}$.
\end{itemize}

\subsubsection{Dimensionsformel\index{Dimensionsformel}}

Für das Folgende erweitern wir die Addition in $\mathbb{N}$ auf die
Menge $\mathbb{N}\cup\left\{ \infty\right\} $ wie folgt: $\forall n\in\mathbb{N}:n+\infty=\infty+n=\infty$.

Sei $f:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung.

Es gilt\[
\dim\textrm{ker}f+\dim\textrm{im}f=\dim V\]


\begin{itemize}
\item Beachten dass alle Dimensionen bzgl. gleichem Körper messen.
\item $\dim\left(\textrm{Im}f\right)=\dim\left(W\right)\Leftrightarrow f$
surjektiv
\item $\dim\left(\ker f\right)=0\Leftrightarrow f$ injektiv
\end{itemize}

\subsubsection{Injektiv, Surjektiv, Bijektiv}

Sei $f:V\rightarrow V$ linear und $\textrm{dim}V<\infty$. Dann sind
Injektivität\index{Injektivität}, Surjektivität\index{Surjektivität}
und Bijektivität\index{Bijektivität} äquivalent.

\begin{itemize}
\item Bei unendlich dimensionalen Vektorräumen sind gilt die Äquivalenz
von In-, Sur- und Bijektivität nicht.
\end{itemize}

\subsubsection{Rang}

Sei $f:V\rightarrow W$ linear. \[
\textrm{rank}_{K}f=\dim_{k}f\left(V\right)=\dim_{k}\textrm{im}f\]
 heißt \emph{Rang}\index{Rang} von $f.$


\subsubsection{Lineare Abbildungen und Basen}

Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ Basis von $V$ und $f:V\rightarrow W$
lineare Abbildung. Es gilt:

\begin{enumerate}
\item $\textrm{lin}\left(f\left(v_{1}\right),\ldots,f\left(v_{n}\right)\right)=\textrm{im}f$
\item $\textrm{rank}f=$ maximale Länge einer linear unabhängigen Teilfamilie
von $\left(f\left(v_{1}\right),\ldots,f\left(v_{n}\right)\right)$
\item $f$ surjektiv $\Leftrightarrow$ $\textrm{rank}f=\dim W$
\item $f$ injektiv $\Leftrightarrow$ $\left(f\left(v_{1}\right),\ldots,f\left(v_{n}\right)\right)$
linear unabhängig
\item $f$ bijektiv $\Leftrightarrow$ $\left(f\left(v_{1}\right),\ldots,f\left(v_{n}\right)\right)$
Basis von $W$
\end{enumerate}

\subsubsection{Hauptsatz\index{Hauptsatz!Abbildungen} über lineare Abbildungen}

Seien $V,W$ $K$-Vektorräume, $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$
Basis von $V$ und $w_{1},\ldots,w_{n}\in W$. Dann existiert genau
eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow W$ mit $\forall i:f\left(v_{i}\right)=w_{i}$


\subsubsection{Isomorphismus}

Eine bijektive $K$-lineare Abbildung heißt \emph{$K$-Vektorraum-Isomorphismus\index{Vektorraum!Isomorphismus}\index{Isomorphismus!Vektorraum}.}

Zwei $K$-Vektorräume $V,W$ heißen \emph{isomorph\index{isomorph}},
falls ein $K$-Vektorraum-Isomorphismus $f:V\rightarrow W$ existiert.

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit $n<\infty$. Dann
ist $V$ isomorph zu $K^{n}$.


\subsubsection{Matrix}

Sei $X$ eine Menge und $m,n\in\mathbb{N}\backslash\left\{ 0\right\} $.
Eine $\left(m\times n\right)$-Matrix $M$ mit \emph{Koeffizienten\index{Koeffizienten}}
in $X$ ist eine Abbildung $M:\left\{ 1,\ldots,m\right\} \times\left\{ 1,\ldots,n\right\} \rightarrow X$.
Üblicherweise schreibt man so ein $M$ als rechteckiges Schema.\[
\left(\begin{array}{ccc}
M\left(1,1\right) & \ldots & M\left(1,n\right)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
M\left(m,1\right) & \ldots & M\left(m,n\right)\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item Merkregel für die Indizes:\\
Zeilen Zuerst - Spalten Später $\Leftrightarrow$ 1.ter Index für
Zeilennummer, 2.ter Index für Spaltennummer
\end{itemize}

\subsubsection{Abbildungsmatrix\index{Abbildungsmatrix}}

Sei $V,W$ Vektorräume über $K$ und $f:V\rightarrow W$ eine lineare
Abbildung. Seien $\mathcal{B}=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ und
$\mathcal{C}=\left(w_{1},\ldots,W_{n}\right)$ Basen von $V$ bzw.
$W$. Für jedes $i\in\left\{ 1,\ldots,m\right\} $ existiert eindeutig
bestimmte $\mu_{i1},\ldots,\mu_{in}\in K$ mit $f\left(v_{i}\right)=\mu_{i1}w_{1}+\ldots+\mu_{in}w_{n}$.
Die Matrix $M_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\left(f\right):\left\{ 1,\ldots,m\right\} \times\left\{ 1,\ldots,n\right\} \rightarrow K:\left(i,j\right)\mapsto\mu_{ij}$
heißt \emph{Matrix\index{Matrix}} von $f$ bzgl. $\mathcal{B}$ und
$\mathcal{C}$.

\begin{itemize}
\item In den Spalten einer Matirx stehen die Bilder der Basisvektoren bezüglich
der zugehörigen linearen Abbildung.
\end{itemize}

\subsubsection{Besondere Matrizen\index{Matrizen!besondere}\index{besondere Matrizen}}


\paragraph{Diagonalmatrix\index{Diagonalmatrix}}

\[
\textrm{diag}\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
a_{1} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & a_{n}\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item Sind invertierbar mit\\
$A=\textrm{diag}\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)\Leftrightarrow A^{-1}=\textrm{diag}\left(a_{1}^{-1},\ldots,a_{n}^{-1}\right)$
\end{itemize}

\paragraph{Einheitsmatrix\index{Einheitsmatrix}}

\[
I_{n}=\left(\delta_{ij}\right)=\textrm{diag}\left(\underbrace{1,\ldots,1}_{n-mal}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & 1\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item $\delta_{ij}=\begin{cases}
1 & \textrm{fuer }i=j\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}$ ist das \emph{Kronecker Symbol\index{Kronecker Symbol}}.
\item sind multiplikativ neutrales Element der Matrizen.
\end{itemize}

\paragraph{Elementarmatrizen\index{Elementarmatrizen}}

\begin{eqnarray*}
E_{kl} & = & \left(e_{ij}\right)\in K^{m\times n}\end{eqnarray*}
\[
e_{ij}=\begin{cases}
1 & \textrm{falls }\left(i,j\right)=\left(k,l\right)\\
0 & \textrm{falls }\left(i,j\right)\neq\left(k,l\right)\end{cases}\]


\begin{itemize}
\item $E_{kl}E_{nm}=\delta_{ln}E_{km}=\begin{cases}
E_{km} & \textrm{falls }l=n\\
0 & \textrm{falls }l\neq n\end{cases}$
\item spannen den Vektorraum der Matrizen auf, sind also eine Basis
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Permutationsmatrix\index{Permutationsmatrix}]~
\end{description}
\[
{\scriptscriptstyle \left(\begin{array}{ccccc}
\ddots &  & \ldots &  & 0\\
 & 0 &  & 1\\
\vdots &  & \begin{array}{ccc}
1 &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & 1\end{array} &  & \vdots\\
 & 1 &  & 0\\
0 &  & \ldots &  & \ddots\end{array}\right)}\]


\begin{itemize}
\item Entspicht einer Matrix die auf der Diagonalen nur 1en und sonst 0en
hat, bis auf zwei stellen, bei der diese mit mit den 0en auf der Nebendiagonale
vertauscht wurden.
\item Multiplikation bewirkt Vertauschung zweier Spalten
\item Ist inertierbar (ist selbst ihre eigene Inverse)
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Stochastische~Matrix\index{Stochastische Matrix}]\[
\forall i:\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=1\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Das Produkt von stochastischen Matrizen ist wieder eine stochastische
Matrix
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Transposition\index{Transposition}]~
\end{description}
\begin{eqnarray*}
A^{tr} & = & \left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)^{tr}\\
 & = & \left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{m1}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1n} & \ldots & a_{nm}\end{array}\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $\left(AB\right)^{tr}=B^{tr}A^{tr}$
\item Vertauschen von Zeilen und Spalten
\item entspricht Multiplikation mit (Auf der Nebendiagolnalen $1$ en, sonst
$0$)\[
\left(\begin{array}{ccc}
0 &  & 1\\
 & \dots\\
1 &  & 0\end{array}\right)\]
dies ist eine invertierbare Matrize (bijektive Abbildung), mit sich
selbst als Inverse
\item $A$ und $A^{tr}$ haben gleiche Eigenwerte aber evtl. unterschiedliche
Eigenvektoren
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Nilpotent\index{Nilpotent}]~
\end{description}
Eine Matrix $A\in K^{n\times n}$ heißt nilpotent, falls ein $k\in\mathbb{N}$
existiert mit\[
A^{k}=0\]


\begin{itemize}
\item Nilpotente Matrizen \emph{nur} $0$ als Eigenwert
\end{itemize}

\subsection{Strukturen linearer Abbildungen}


\subsubsection{Vektorraum aller linearer Abbildungen}

Seien $V,W$ $K$-Vektorräume. Die \emph{Menge aller linearer Abbildungen}
$\textrm{Hom}\left(V,W\right)=\left\{ \varphi\in W^{V}|\varphi\textrm{ linear}\right\} \le W^{V}$\index{Hom}
ist ein Untervektorraum der Menge aller Abbildungen. 

\begin{itemize}
\item d.h daß die Summer zweier linerarer Abbildungen, und das Produkt mit
einem Skalar wieder eine lineare Abbildung ist
\item Hom steht für \emph{Homomorphismus}\index{Homomorphismus}, das bedeutet,
dass dies stukturerhaltene Abbildungen sind.
\item Für zwei lineare Abbildungen $\varphi\in\textrm{Hom}\left(U,V\right)$
und $\psi\in\textrm{Hom}\left(V,W\right)$ gilt, das auch die \emph{Komposition}\index{Komposition}
$\psi\circ\varphi\in\textrm{Hom}\left(U,W\right)$ wieder eine lineare
Abbildung ist.
\item Wenn $\varphi\in\textrm{Hom}\left(V,W\right)$ bijektiv ist, ist die
Umkehrabbildung $\varphi^{-1}\in\textrm{Hom}\left(W,V\right)$ ebenfalls
linear und bijektiv.
\end{itemize}

\subsubsection{Ring mit $1$ von linearen Abbildungen / Algebra}

Unter $\textrm{End}\left(V\right)=\textrm{Hom}\left(V,V\right)$ versteht
man die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ in sich selbst.
Diese Menge bildet zusammen mit der Addition und der Komposition $\left(\textrm{End}\left(V\right),+,\circ\right)$
einen Ring mit $1$ (siehe \vref{Ring mit 1}).\index{End}

Es gelten sogar allgemeiner folgende Rechenregeln. Seien $\forall\varphi,\varphi_{1},\varphi_{2}\in\textrm{Hom}\left(U,V\right)$,
$\psi,\psi_{1},\psi_{2}\in\textrm{Hom}\left(V,W\right)$ und $\lambda\in K$

\begin{enumerate}
\item $\psi\circ\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=\psi\circ\varphi_{1}+\psi\circ\varphi_{2}$
\item $\left(\psi_{1}+\psi_{2}\right)\circ\varphi=\psi_{1}\circ\varphi+\psi_{2}\circ\varphi$
\item $\left(\lambda\cdot\psi\right)\circ\varphi=\psi\circ\left(\lambda\cdot\varphi\right)=\lambda\cdot\left(\psi\circ\varphi\right)$
\end{enumerate}
Durch die letzte Rechenregel bildet $\left(\textrm{End}\left(V\right),+,\circ\right)$
sogar eine $K$-Algebra\index{K-Algebra}\index{Algebra}.

\begin{itemize}
\item Das $1$ Element ist hierbei die Identität: $\textrm{id}:V\rightarrow V$
ist linear
\item End steht für Endomorphismus\index{Endomorphismus}
\end{itemize}

\subsubsection{invertierbare lineare Abbildungen / Gruppe}

Unter der \emph{general linear group\index{GL}\index{general linear group}}
$\textrm{GL}\left(V\right)=\left\{ \varphi\in\textrm{End}\left(V\right)|\varphi\textrm{ invertierbar}\right\} $
versteht man die Menge der invertierbaren linearen Abbildungen. Diese
bilden bezüglich der Komposition $\circ:\textrm{GL}\left(V\right)^{2}\rightarrow\textrm{GL}\left(V\right)$
und der Identität als $1$ Element eine Gruppe $\left(\textrm{GL}\left(V\right),\circ,\textrm{id}_{V}\right)$.


\subsubsection{Verknüpfungen zwischen Matrizen und deren Strukturen}

$K^{m\times n}$ ist die Menger aller $m\times n$ Matrizen über $K$.
Die \emph{quadratischen} $n\times n$ Matrizen\index{quadratische Matrizen}
erhalten das Symbol $M_{n}\left(K\right)=K^{n\times n}$.

Für zwei Matizen $A,B\in K^{m\times n}$ und einen Skalar $\lambda\in K$
sind folgende Verknüpfungen definiert.\begin{eqnarray*}
A+B & = & \left(a_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right)=\left(a_{ij}+b_{ij}\right)\\
\lambda A & = & \lambda\left(a_{ij}\right)=\left(\lambda a_{ij}\right)\end{eqnarray*}


$K^{m\times n}$ bildet zusammen mit der Addition und Skalarmultiplikation
einen \emph{Vektorraum}.

Seien $A\in K^{m\times n}$ und $B\in K^{n\times k}$. Die Matrixmultiplikation\index{Matrixmultiplikation}
ist wie folgt definiert:\begin{eqnarray*}
C & = & AB\in K^{m\times k}\\
 & = & \left(c_{ij}\right)\\
 & = & \left(\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\right)\end{eqnarray*}


Es gelten folgende Rechenregeln: für $A,A_{1},A_{2}\in K^{m\times n}$,
$B,B_{1},B_{2}\in K^{n\times k}$und $\lambda\in K$

\begin{enumerate}
\item $A\left(B_{1}+B_{2}\right)=AB_{1}+AB_{2}$
\item $\left(A_{1}+A_{2}\right)B=A_{1}B+A_{2}B$
\item $\left(\lambda A\right)B=\lambda\left(AB\right)=A\left(\lambda B\right)$
\end{enumerate}
$\left(M_{n}\left(K\right),+,\cdot\right)$ ist ein \emph{Ring mit
$1$}, diese $1$ ist hier $I_{n}$.

$\textrm{GL}_{n}\left(K\right)=\left\{ A\in M_{n}\left(K\right)|A\textrm{ invertierbar}\right\} $
ist die Menge der invertierbaren quadratischen $n\times n$ Matrizen.
Diese bildet bezüglich der Matrixmultiplikation eine \emph{Gruppe}.

\begin{itemize}
\item Merkregel für Matrixprodukt: Zelle einer Ergebnisszelle ist ensprechende
Zeile der ersten mal Spalte der zweiten Matrix.
\item Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, d.h. $A\left(BC\right)=\left(AB\right)C$
\item Die Matrixmultiplikation ist im allgemeinen \emph{nicht kommutativ}:
\emph{$AB\neq BA$}
\item Spaltenvektoren können als $n\times1$ Marix aufgefasst werden. Es
gilt also $K^{n}=K^{n\times1}$
\item Das multiplizieren mit einer Matrix aus $\textrm{GL}_{n}\left(K\right)$
ändert den Rang einer Matrix nicht
\item der Vektorraum $K^{n\times m}$ wird von den Elementarmatrizen erzeugt.
\item $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
\item $\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$
\end{itemize}

\subsubsection{Lineare Abbildungen und Matrizen}

Sei $K$ ein Körper, $A=\left(a_{ij}\right)\in K^{m\times n}$ und
$x=\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}\end{array}\right)\in K^{n}=K^{n\times1}$. Wir definieren \[
\varphi_{A}\left(x\right):K^{n}\rightarrow K^{m}:x\mapsto Ax\]
\[
Ax=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}\end{array}\right)\]
\[
=\left(\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1n}x_{n}\\
\vdots\\
a_{m1}x_{1}+\ldots+a_{mn}x_{n}\end{array}\right)\]
als die zur Matrix $A$ gehörende lineare Abbildung.

\begin{itemize}
\item Es gilt: $\forall i\in\left\{ 1,\ldots,n\right\} :\varphi_{A}\left(e_{i}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{1i}\\
\vdots\\
a_{mi}\end{array}\right)$ \\
Das heißt, dass die Spalten einer Matrix die Bilder der Standardbasisvektoren
enthält.
\item Das Bild von $\textrm{Im}\varphi_{A}=\textrm{lin}\left(\varphi_{A}\left(e_{1}\right),\ldots,\varphi_{A}\left(e_{n}\right)\right)=$
Unterraum von $K^{m}$, der von den Spalten von $A$ aufgespannt wird.
Diesen Raum nennt man auch \emph{Spaltenraum}\index{Spaltenraum}
von $A$.
\end{itemize}

\subsubsection{Blockmatrizen}

Die Elemente einer Matrix können wiederum Matrizen sein, sogenannte
\emph{Blockmatrizen}\index{Blockmatrizen}. Andererseit lässt kann
man sich dies so Vorstellen, als ob Blöcke innerhalb der Matrix als
Untermatrix aufgefasst werden. Hiermit ergeben sich (bei passenden
Größen) folgende Rechenregeln.

\begin{itemize}
\item Im grunde Identisch, als ob die Elemente keine Matrizen wären, z.B.:
\end{itemize}
\begin{eqnarray*}
 &  & \left(\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\end{array}\right)=\\
 &  & \left(\begin{array}{cc}
A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\
A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\end{array}\right)\end{eqnarray*}



\subsubsection{Rang einer Matrix}

Unter den Rank einer Matrix $A\in K^{m\times n}$ versteht man \begin{eqnarray*}
\textrm{rank}_{K}A & = & \textrm{rank}_{K}\varphi_{A}\\
 & = & \dim_{K}\textrm{lin}\left(\varphi_{A}\left(e_{1}\right),\ldots,\varphi_{A}\left(e_{n}\right)\right)\end{eqnarray*}


Dieser lässt sich am besten mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus
berechnen. Hierzu das Gleichungssystem $Ax=0$ betrachten, und den
Rank (Anzahl von nicht Null Spalten in Zeilenstufenform) errechnen.
Siehe \vref{sub:Gauss-Jordan}.

\begin{itemize}
\item Das multiplizieren mit einer Matrix aus $\textrm{GL}_{n}\left(K\right)$
(bijektive Abbildung) ändert den Rang einer Matrix nicht
\item $\textrm{rank}\left(AA^{T}\right)=\textrm{rank}\left(A\right)$
\item $\textrm{rank}\left(A^{T}\right)=\textrm{rank}\left(A\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{$K$-Algebra Isomorphismus}

Die Abbildung $\Phi:K^{m\times n}\rightarrow\textrm{Hom}\left(K^{n},K^{m}\right):M\mapsto\varphi_{M}$
ist ein linearer Isomorphismus. Die Abbildung $\Phi$ ordnet einer
Matrix $M\in K^{m\times n}$ eine lineare Abbildung $\varphi_{M}:K^{n}\rightarrow K^{m}$
zu. Die inverse Abbildung $\Phi^{-1}:\textrm{Hom}\left(K^{n},K^{m}\right)\rightarrow K^{m\times n}:\varphi\mapsto$
ordnet einer linearen Abbilung $\varphi:K^{n}\rightarrow K^{m}$ die
Matrix $\left[\varphi\right]$ von $\varphi$ bezüglich der Standardbasis
von $K^{n}$ bzw. $K^{m}$ zu.

\begin{itemize}
\item $\varphi_{A}\circ\varphi_{B}=\varphi_{A\cdot B}$\\
$\left[\varphi\circ\psi\right]=\left[\varphi\right]\cdot\left[\psi\right]$
\item $\varphi_{\lambda\cdot A}=\lambda\varphi_{A}$\\
$\left[\lambda\varphi\right]=\lambda\left[\varphi\right]$
\item $\varphi_{A+B}=\varphi_{A}+\varphi_{B}$\\
$\left[\varphi+\psi\right]=\left[\varphi\right]+\left[\psi\right]$
\item $\varphi_{I_{n}}=\textrm{id}$\\
$\left[\textrm{id}\right]=I_{n}$
\end{itemize}

\subsection{Basistransformation\index{Basistransformation}}


\subsubsection{Vektor bezüglich Basis}

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $\dim V=n$ und $\mathcal{B}=\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)$
eine Basis von $V$. Dann lässt sich $v\in V$ eindeutig beschreiben
als $v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}b_{i}$ für $\lambda_{i}\in K$.

Setze\[
\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c}
\lambda_{1}\\
\vdots\\
\lambda_{n}\end{array}\right)\in K^{n}\]
Die Abbildung\[
\kappa_{\mathcal{B}}:V\rightarrow K^{n}:v\mapsto\left[v\right]_{\mathcal{B}}\]
 ist linear und bijektiv.

\begin{itemize}
\item $\left[b_{i}\right]_{\mathcal{B}}=e_{i}$
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Matrix-bez=FCglich-Basen}Matrix bezüglich Basen}

Seien $V,W$ $K$-Vektorräume und $f:V\rightarrow W$ linear. Zu den
Basen $\mathcal{B}=\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)$ von $V$ und
$\mathcal{C}=\left(c_{1},\ldots,c_{m}\right)$ von $W$ ist \[
{\scriptstyle \left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=M_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\left(f\right)=\left(\left[f\left(b_{1}\right)\right]_{\mathcal{C}},\ldots,\left[f\left(b_{n}\right)\right]_{\mathcal{C}}\right)\in K^{m\times n}}\]
 die Matrix von $f$ bezüglich $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$.

Es gilt:

\begin{eqnarray*}
\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\left[v\right]_{\mathcal{B}} & = & \left[f\left(v\right)\right]_{\mathcal{C}}\\
\left(\kappa_{\mathcal{C}}\circ f\right)\left(v\right) & = & \left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\left(\kappa_{\mathcal{B}}\left(v\right)\right)\\
\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} & = & \left[\kappa_{\mathcal{C}}\circ f\circ\kappa_{\mathcal{B}}^{-1}\right]\end{eqnarray*}


Die Abbildung \[
\Phi_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}:\textrm{Hom}\left(V,W\right)\rightarrow K^{m\times n}:f\mapsto\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\]
 ist ein linearer Isomorphismus.


\subsubsection{Produkt von Matrizen bzgl Basen}

Seien $U,V,W$ $K$-Vektorräume mit Basen $\mathcal{A},\mathcal{B}$
bzw. $\mathcal{C}$. Es gelte \[
\dim U=p,\:\dim V=n,\:\dim W=m\]
Für lineare Abbildungen $g:U\rightarrow V$ und $f:V\rightarrow W$
gilt\[
\left[f\circ g\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{A}}=\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\left[g\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\]


Als Diagramm siehe Abbildung \vref{cap:Verkettung-von-Abbildungen}.

%
\begin{figure}

\caption{\label{cap:Verkettung-von-Abbildungen}Verkettung von Abbildungen
und Basiswechsel}

\hfill{}\begin{picture}(60,37)(0,-37)

\node[NLangle=0.0](n0)(8.0,-8.0){$U$}

\node[NLangle=0.0](n1)(28.0,-8.0){$V$}

\node[NLangle=0.0](n2)(48.0,-8.0){$W$}

\node[NLangle=0.0](n3)(8.0,-28.0){$K^p$}

\node[NLangle=0.0](n4)(28.0,-28.0){$K^n$}

\node[NLangle=0.0](n5)(48.0,-28.0){$K^m$}

\drawedge(n0,n3){$\kappa_U$}

\drawedge[ELdist=1.5](n0,n1){$g$}

\drawedge[ELdist=1.5](n1,n2){$f$}

\drawedge(n2,n5){$\kappa_W$}

\drawedge(n1,n4){$\kappa_V$}

\drawedge[ELdist=1.5](n3,n4){$[g]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}$}

\drawedge[ELdist=1.5](n4,n5){$[f]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}$}

\end{picture}\hfill{}
\end{figure}



\subsubsection{Basiswechsel bei Vektoren}

Seien $\mathcal{B}=\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)$ und $\mathcal{B}'=\left(b'_{1},\ldots,b'_{n}\right)$
Basen des $K$-Vektorraums $V$. Jedes $v\in V$ lässt sich bezüglich
beider Basen darstellen:\[
\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c}
\lambda_{1}\\
\vdots\\
\lambda_{n}\end{array}\right),\quad\left[v\right]_{\mathcal{B}'}=\left(\begin{array}{c}
\lambda'_{1}\\
\vdots\\
\lambda'_{n}\end{array}\right)\]


Es gilt \[
S=\left[\textrm{id}_{V}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}=\left(\left[b'_{1}\right]_{\mathcal{B}},\ldots,\left[b'_{n}\right]_{\mathcal{B}}\right)\]


Dieses $S$ ist die \emph{Transformationsmatrix\index{Transformationsmatrix}}
des Basiswechsels\index{Basiswechsel} von $\mathcal{B}'$ nach $\mathcal{B}$.

\begin{itemize}
\item $S$ ist invertierbar und $S^{-1}=\left[\textrm{id}_{V}\right]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Basiswechsel-von-Abbildungen}Basiswechsel von Abbildungen}

Sei $f:V\rightarrow W$. Ferner seien $\mathcal{B},\mathcal{B}'$
Basen von $V$ und $\mathcal{C},\mathcal{C}'$ Basen von $W$. Setze
$S=\left[\textrm{id}_{V}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ und
$R=\left[\textrm{id}_{W}\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}'}$. Dann
gilt:\begin{eqnarray*}
\left[f\right]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'} & = & R^{-1}\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}S\\
\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} & = & R\left[f\right]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}S^{-1}\end{eqnarray*}


Falls $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ beide bezüglich der gleichen Basis
z.B. $K^{n}$ und $\mathcal{C},\mathcal{C}'$ beide bezüglich der
gleichen Basis z.B. $K^{m}$, können diese als Matrix mit den Basisvektoren
als Spalten interpretiert werden und es gilt:

\begin{eqnarray*}
\left[f\right]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'} & = & \mathcal{C}'^{-1}\mathcal{C}\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{B}'\\
\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} & = & \mathcal{C}^{-1}\mathcal{C}'\left[f\right]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}\mathcal{B}'^{-1}\mathcal{B}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $\left[\varphi\right]_{E}^{E}=B\left[\varphi\right]_{B}^{B}B^{-1}$
\item Um einen Vektor in eine Andere Basis zu bringen muss man ihn einfach
von Links mit der Matrix $\left[\textrm{id}\right]_{B_{neu}}^{B_{alt}}$
multiplizieren.
\item $\left[\textrm{id}\right]_{B}^{B}=I_{n}$
\end{itemize}

\subsection{Lineare Gleichungssysteme}


\subsubsection{Definition}

Ein System aus $m$ Gleichungen und $n$ unbekannten heißt \emph{lineares
Gleichungssystem\index{lineares Gleichungssystem}} (kurz \emph{LGS\index{LGS}})
über dem Körper $K$. Es hat folgende Gestalt\label{sub:LGS}: \begin{eqnarray*}
\alpha_{11}x_{1}+\ldots+\alpha_{1n} & x_{n}= & \beta_{1}\\
\vdots\qquad\  &  & \vdots\\
\alpha_{m1}x_{1}+\ldots+\alpha_{mn} & x_{n}= & \beta_{m}\end{eqnarray*}
mit $\alpha_{ij}\in K$ und $\beta_{i}\in K$. Die $n$-Tupel $\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}\end{array}\right)\in K^{n}$ die dieses Gleichungsystem erfüllen sind die Lösungen\index{Lösungen}
des LGS. Für $\beta_{1}=\ldots=\beta_{m}=0$ heißt es \emph{homogen\index{homogen}},
ansonsten \emph{inhomogen\index{inhomogen}}.

\begin{itemize}
\item Die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist ein Unterraum von $K^{n}$.
D.h. es besitzt mindesten die trivialle Lösung des Nullvektors / es
ist immer lösbar.
\end{itemize}

\subsubsection{Zeilenoperationen\index{Zeilenoperationen}\label{sub:Zeilenoperationen}}

Die Lösungsmenge des LGS ändert sich nicht unter folgenden elementaren
Zeilenoperationen:

\begin{enumerate}
\item $\left(E1\right)$ Addiere zu einer Gleichung das $\lambda$-fache
einer anderen Gleichung
\item $\left(E2\right)$ Tausche zwei Gleichungen
\item $\left(E3\right)$ Multipliziere eine Gleichung mit $\lambda\in K\backslash\left\{ 0\right\} $
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $\left(E1\right)$ enstprich Matrixmultiplikation mit $L=I_{m}+\lambda E_{ji}$
\item $\left(E2\right)$ enstprich Matrixmultiplikation mit Permutationsmatrix
\item $\left(E3\right)$ enstprich Matrixmultiplikation mit $L=\textrm{diag}\left(1,\ldots,1,\lambda,1,\ldots,1\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Gauss-Jordan}Das Gauß\index{Gauß - Jordan Eliminationsverfahren}
- Jordan Eliminationsverfahren}

\begin{enumerate}
\item Fallunterscheidung

\begin{itemize}
\item Falls $\alpha_{11}\neq0$: 

\begin{itemize}
\item subtrahiere das $\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{11}}$ fache der $1$.Gleichung
von der $2$.ten.
\item subtrahiere das $\frac{\alpha_{31}}{\alpha_{11}}$ fache der $1$.Gleichung
von der $3$.ten.
\item $\vdots$
\item subtrahiere das $\frac{\alpha_{m1}}{\alpha_{11}}$ fache der $1$.Gleichung
von der $m$.ten.
\end{itemize}
\item Falls $\alpha_{11}=0$ finde ein $\alpha_{i1}\neq0$

\begin{itemize}
\item Falls ein $\alpha_{i1}\neq0$ gefunden vertausche die $1$.Gleichung
mit der $i.$Gleichung. Fahre nun mit $1$ fort
\item Falls nichts gefunden tue nichts.
\end{itemize}
\end{itemize}
Nun sieht das LGS so aus:\begin{eqnarray*}
\alpha_{11}'x_{1}+\alpha_{12}'x_{2}+\ \ldots+\alpha_{1n}'x_{n} & = & \beta_{1}'\\
\alpha_{22}'x_{2}+\ \ldots+\alpha_{1n}'x_{n} & = & \beta_{2}'\\
\vdots\qquad &  & \vdots\\
\alpha_{m2}'x_{2}+\ \ldots+\alpha_{mn}'x_{n} & = & \beta_{m}'\end{eqnarray*}


\item Die unteren $m-1$ Gleichungen des modifizierten LGS bilden ein LGS
mit $n-1$ Unbekannten. Behandle diese wie in Schritt 1. mache dies
$m-1$ mal.
\item Nun hat das System die folgende \emph{Zeilenstufenform}\index{Zeilenstufenform}:


\begin{eqnarray*}
\gamma_{1j_{1}}x_{j_{1}}+\ldots+\gamma_{1n}x_{n} & = & \delta_{1}\\
\gamma_{2j_{2}}x_{j_{2}}+\ldots+\gamma_{2n}x_{n} & = & \delta_{2}\\
\vdots &  & \vdots\\
\gamma_{rj_{r}}x_{j_{r}}+\ldots+\gamma_{rn}x_{n} & = & \delta_{r}\\
0 & = & \delta_{r+1}\\
\vdots &  & \vdots\\
0 & = & \delta_{m}\end{eqnarray*}


Dabei ist $0\le r\le\min\left\{ m,n\right\} $ und $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots<j_{r}\leq n$
sowie $\forall k\in\left\{ 1,\ldots,r\right\} :\gamma_{k,j_{k}}\in K\backslash\left\{ 0\right\} $
Die Zahl $r$ heißt \emph{Rang\index{Rang}} von dem System in Zeilenstufenform.
Es gilt für alle $i\in\left\{ 1,\ldots,r\right\} $ $\gamma_{ij_{i}}\neq0$.
Die Variablen $x_{j_{1}},\ldots x_{j_{r}}$ werden \emph{Pivotvariablen\index{Pivotvariablen}}
genannt.

\item Fallunterscheidung

\begin{itemize}
\item falls $\exists i\in\left\{ r+1,\ldots m\right\} :\delta_{i}\neq0\Rightarrow L=\emptyset$
(L = Lösungsmenge\index{Lösungsmenge})
\item Spezialfall: falls homogener Fall entstanden ($\forall i:\delta_{i}=0$)
und falls $r<n$ d.h. es gibt nicht Pivot Variablen:

\begin{enumerate}
\item Wir definieren $n-r$ verschiedene Lösungen $b_{1},\ldots,b_{n-r}\in K^{n}$
wie folgt:

\begin{enumerate}
\item Für $b_{k}$ wird die $k$-te nicht Pivot Variable mit $1\in K$ gewählt,
alle anderen mit $0\in K$. Danach löse das System für $b_{k}$ wie
unter dem nächsten Unterpunkt vermerkt.
\item $\left(b_{1},\ldots,b_{n-r}\right)$ ist Basis des Lösungsraumes
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item falls $\forall i\in\left\{ r+1,\ldots m\right\} :\delta_{i}=0$:

\begin{enumerate}
\item Wähle beliebige Werte aus K für jede der $n-r$ nicht Pivot Variablen
\item Lösen der $r$-ten Gleichung des Systems in Zeilenstufenform nach
$x_{j_{r}}=\frac{\delta_{r}-\gamma_{rj_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots-\gamma_{rn}x_{n}}{\gamma_{rj_{r}}}$
auf. Danach Lösen von $r-1$ ter Gleichung, usw.
\item $\left(\# L=1\right)\Leftrightarrow$ $\left(r=n\right)\wedge\left(\forall i\in\left\{ r+1,\ldots,m\right\} :\delta_{r}=0\right)$
d.h. es existiert eine eindeutige Lösung.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{Lineare Gleichungssysteme und Matrizen}


\subsubsection{Definition}

Betrachte das LGS über dem Körper $K$ aus Abschnitt \vref{sub:LGS}.
Wir fassen die Koeffizienten $a_{ij}$ in der Matrix\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\in K^{m\times n}\]
zusammen. Ähnlich $b=\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
\vdots\\
b_{m}\end{array}\right)\in K^{m}$. Wenn wir die Unbestimmten zu einem Vektor $x=\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}\end{array}\right)\in K^{n}$ formal zusammenfassen, dann lässt sich das LGS aus \vref{sub:LGS}
schreiben als\[
Ax=b\]
Das zugehörige homogene LGS ist dann\[
Ax=0\]



\subsubsection{Lösungen eines homogenen Systems}

Die Lösungen von $Ax=0$ bilden einen Unterraum $U\le K^{n}$. Dabei
ist \[
\dim U=\textrm{dim}\left(\textrm{ker}A\right)=n-\textrm{rank}A:=k\]


Eine Basis $\left(u_{1},\ldots,u_{k}\right)$ von $U$ heißt System
von \emph{Fundamentallösungen}\index{Fundamentallösungen} von $Ax=0$.
Jede Lösung von $Ax=0$ ist Linearkombination von den Fundamentallösungen
$u_{1},\ldots,u_{k}$.


\subsubsection{Existenz von Lösungen}

\begin{itemize}
\item Das homogene System $Ax=0$ hat stets die (trivial) Lösung\index{triviale Lösung}
$x=0\in K^{n}$.
\item Das inhomogene System $Ax=b$ hat genau dann (mindestens) eine Lösung,
wenn $b\in$ Spaltenraum von A, bzw. $\textrm{rank}\left(A|b\right)=\textrm{rank}\left(A\right)$.
\end{itemize}
Wobei\[
\left(A|b\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n} & b_{1}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & \ldots & a_{mn} & b_{m}\end{array}\right)\in K^{m\times\left(n+1\right)}\]



\subsubsection{Lösungen eines inhomogenen Systems}

Angenommen das inhomogene System $Ax=b$ hat Lösung $x_{0}\in K^{n}$.
Dann ist\[
x_{0}+U=\left\{ x_{0}+x|x\in U\right\} \]
 die Menge aller Lösungen von $Ax=b$.


\subsubsection{eindeutige Lösbarkeit}

Siehe \vref{sub:Eigenschaften-invertierbarer-Matrizen}.


\section{Determinanten}


\subsubsection{Konvention}

Sei $K$ stets ein Körper. Im folgenden identifizieren wir oft \[
K^{n\times n}=\underbrace{K^{n}\times\ldots\times K^{n}}_{n-mal}\]
D.h. wir sehen eine Matrix \[
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \ldots & a_{nn}\end{array}\right)\in K^{n\times n}\]
an als geordnetes $n$-Tupel ihrer Spaltenvektoren\[
\left(\left(\begin{array}{c}
a_{11}\\
\vdots\\
a_{n1}\end{array}\right),\ldots,\left(\begin{array}{c}
a_{1n}\\
\vdots\\
a_{nn}\end{array}\right)\right)\in\underbrace{K^{n}\times\ldots\times K^{n}}_{n-mal}\]



\subsection{Permutationen}


\subsubsection{Definition}

Sei $A=\left\{ 1,\ldots,n\right\} $ eine endliche Menge. Eine bijektive
Abbildung $\sigma:A\rightarrow A$ wird als \emph{Permutation\index{Permutation}}
bezeichnet. Die Menge aller Permutation auf einer Menge mit $n$ Elementen
mird mit $S_{n}$ abgekürzt.

Eine Permutation wird wie folgt notiert\[
\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \ldots & n\\
\sigma\left(1\right) & \sigma\left(2\right) & \ldots & \sigma\left(n\right)\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item $\left|S_{n}\right|=n!$
\end{itemize}

\subsubsection{Zyklus}

Gilt für eine Permutation $a_{1}\mapsto a_{2},a_{2}\mapsto a_{3},\ldots,a_{k}\mapsto a_{1}$
mit paarweise verschiedenen $a_{i}\in A,\left(i\ge1\right)$, wobei
die übrigen Elemente identisch abgebildet werden, so heißt sie eine
zyklische Permutation bzw. \emph{Zyklus}\index{Zyklus}. Ein solches
Zykel wird in der Form $\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\right)$ notiert.

\begin{itemize}
\item Zwei \emph{Zykeln\index{Zykel}} $\pi=\left(a_{1},\ldots,a_{k}\right),\sigma=\left(b_{1},\ldots,b_{l}\right)$
heißen \emph{elementfremd\index{elementfremd}}, wenn sie disjunhkte
Elemente bewegen. d.h. wenn $a_{i}\neq b_{j}$ für alle $j,j$.
\item Elementfremde Zykel sind bezüglich kommutativ bezüglich Verkettung.
\item Jede Permutation lässt sich als eine verkettung von elementfremden
Zykeln schreiben
\end{itemize}

\subsubsection{Transposition}

Eine \emph{Transposition}\index{Transposition} ist eine Permutation,
die nur zwei Elemente vertauscht.

\begin{itemize}
\item Jedes Zykel lässt sich mit Hilfe der Verkettung aus Transpositionen
darstellen.
\end{itemize}

\subsubsection{Inversion und Signum, gerade und ungerade}

Sei $\varphi:\left\{ 1,2,\ldots,n\right\} \rightarrow\left\{ 1,2,\ldots,n\right\} $
eine Permutation. Eine \emph{Inversion\index{Inversion}} der Permutation
ist ein Paar $\left(i,j\right)$ mit $i<j$ und $\varphi\left(i\right)>\varphi\left(j\right)$.
Sei $I\left(\varphi\right)$ die Anzahl der Inversionen von $\varphi$.
Wir definieren das \emph{Signum}\index{Signum}\index{sign} $\textrm{sign}:S_{n}\rightarrow\left\{ -1,1\right\} $
durch $\textrm{sign}\left(\sigma\right)=\left(-1\right)^{I\left(\sigma\right)}$
und nennen eine Permutation (un)gerade\index{ungerade}\index{gerade},
wenn wenn sie eine (un)gerade Anzahl von Inversionen hat.

\begin{itemize}
\item $\sigma$ ist ungerade $\Leftrightarrow$ $\textrm{sign}\left(\sigma\right)=-1$
\item $\sigma$ ist gerade $\Leftrightarrow$ $\textrm{sign}\left(\sigma\right)=1$
\item Transpositionen sind ungerade
\item Ein Zyklus $\sigma$ mit $k$ Elementen hat $\textrm{sign}\left(\sigma\right)=\left(-1\right)^{k+1}$
\item $\textrm{sign}\left(\sigma\circ\pi\right)=\textrm{sign}\left(\sigma\right)\cdot\textrm{sign}\left(\pi\right)$
\end{itemize}

\subsection{Determinanten}


\subsubsection{Typen von Abbildungen}

Eine Abbildung $F:\underbrace{K^{n}\times\ldots\times K^{n}}_{n-mal}\rightarrow K$
(für $n\ge1$) heißt:

\begin{description}
\item [Multilinearform\index{Multilinearform}~auf~$K^{n}$](oder $n$-Form)
falls gilt: $\forall\lambda,\mu\in K$ $\forall x,y\in K^{n}$ $\forall v_{k}\in K^{n}$
$\forall i\in\left\{ 1,\ldots,n\right\} $
\end{description}
\begin{eqnarray*}
 & {\scriptstyle F\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},\lambda x+\mu y,v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)}\\
 & {\scriptstyle =\lambda F\left(v_{1},\ldots,x,\ldots,v_{n}\right)+\mu F\left(v_{1},\ldots,y,\ldots,v_{n}\right)}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $F$ ist linear in \emph{jedem} Argument
\item Addition von Multilinearformen und Multiplikation mit einem Skalar
behalten Multlinearität bei
\end{itemize}
\begin{description}
\item [alternierende~Multilinearform\index{alternierende Multilinearform}~auf~$K^{n}$]falls
zusätzlich gilt: $\forall i\neq j$ $\forall v_{k}\in K^{n}$
\end{description}
\[
F\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)=0\]
 falls $v_{i}=v_{j}$ für $i\neq j$

\begin{itemize}
\item Hieraus folgt: für $i\neq j$
\end{itemize}
\[
F\left(\ldots,v_{i},\ldots,v_{j},\ldots\right)=-F\left(\ldots,v_{j},\ldots,v_{i},\ldots\right)\]


\begin{itemize}
\item Falls $F$ eine alternierende Multilinearform mit $F\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)=0$
ist, folgt dass $F=0$ sein muss.
\item Wenn $F,G$ zwei alternierende Multilinearfomens sind, gilt $F\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)=G\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)\Rightarrow F=G$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Determinantenform\index{Determinantenform}~auf~$K^{n}$](auch
normiert alternierende Multilinearform\index{normierte alternierende Multilinearform})
fall zusätzlich gilt:
\end{description}
\[
F\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)=F\left(I_{n}\right)=1\]


\begin{itemize}
\item auf $K^{1}=K$ ist die einzige mögliche Determinantenform $\textrm{id}_{K}$
\item Die Abbildung $f:K^{2}\times K^{2}\rightarrow K:\left(\left(\begin{array}{c}
u_{1}\\
u_{2}\end{array}\right),\ldots,\left(\begin{array}{c}
v_{1}\\
v_{2}\end{array}\right)\right)\mapsto u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}$ ist Determinantenform auf $K^{2}$ 
\item Die Determinantenform ist so bereits eindeutig definiert
\end{itemize}

\subsubsection{lineare Unabhängigkeit}

Sei $f:\underbrace{K^{n}\times\ldots\times K^{n}}_{n-mal}\rightarrow K$
eine Determinantenform und $v_{1},\ldots,v_{n}\in K^{n}$. Falls $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$
linear abhängig, gilt

\[
F\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)=0\]



\subsubsection{Laplace Entwicklung\index{Laplace Entwicklung}}

Konstruiere Determinantenform $D_{n}$ auf $K^{n}$.\[
D_{1}=id_{K}\]
\begin{eqnarray*}
D_{2}:K^{2}\times K^{2} & \rightarrow & K\\
\left(\left(\begin{array}{c}
u_{1}\\
u_{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
v_{1}\\
v_{2}\end{array}\right)\right) & \mapsto & u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{eqnarray*}
Für $n\ge2$ konstruiere induktiv Determinantenform für $A=\left(\alpha_{ij}\right)\in K^{n\times n}$\[
D_{n}:K^{n\times n}\rightarrow K\]
\[
D_{n}\left(A\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(-1\right)^{i+j}\alpha_{ij}D_{n-1}\left(A_{ij}\right)\]
 für ein beliebiges $i\in\left\{ 1,\ldots,n\right\} $. Dabei ist
\begin{eqnarray*}
A_{ij} & = & \left(\begin{array}{ccccc}
\alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1j} & \ldots & \alpha_{1n}\\
\vdots & \ddots &  &  & \vdots\\
\alpha_{i1} & \ldots & \alpha_{ij} & \ldots & \alpha_{in}\\
\vdots &  & \vdots & \ddots & \vdots\\
\alpha_{n1} & \ldots & \alpha_{nj} & \ldots & \alpha_{nn}\end{array}\right)_{ij}\\
 & = & \left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \ldots & \ldots & \alpha_{1n}\\
\vdots & \ddots &  & \vdots\\
\vdots &  & \ddots & \vdots\\
\alpha_{n1} & \ldots & \ldots & \alpha_{nn}\end{array}\right)\end{eqnarray*}
die Matrix $A$ bei der die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte gestrichen
wurden.

\begin{itemize}
\item Notation: Statt $D_{n}\left(A\right)$ schreibe $\left|\left(\alpha_{ij}\right)_{ij}\right|$
\item Diese Formel wird auch die \emph{Entwicklung nach einer Spalte} genannt
\item Alternativ lässt sich auch nach einer Zeile entwickeln
\end{itemize}

\subsubsection{Determinante}

Die Abbildung \[
\det=D_{n}:K^{n\times n}\rightarrow K\]
 heißt die \emph{Determinante\index{Determinante}} auf $K^{n}$.

\begin{itemize}
\item $\det\left(A^{Tr}\right)=\det\left(A\right)$
\item $\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det\left(B\right)$
\item Falls $A$ invertierbar, gilt $\det\left(A\right)\neq0$ und $\det\left(A^{-1}\right)=\left(\det\left(A\right)\right)^{-1}$ 
\item $\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det\left(A\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Eigenschaften-invertierbarer-Matrizen}Eigenschaften invertierbarer
Matrizen}

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine quadratische Matrix. Äquivalent sind:

\begin{enumerate}
\item $A\in GL_{n}\left(K\right)$, d.h. $A$ ist invertierbar
\item $\det\left(A\right)\neq0$
\item $\dim\left(\ker\left(\varphi_{A}\right)\right)=0$
\item Das LGS $Ax=b$ ist für alle $b\in K^{n}$ eindeutig lösbar
\item Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig
\item Die Zeilen von $A$ sind linear unabhängig
\item $\textrm{rank}A=n$
\item $\lambda=0$ ist \emph{kein} Eigenwert von $A$
\end{enumerate}

\subsubsection{Ähnlichkeit von Matrizen}

Zwei Matrizen $A,B\in K^{n\times n}$ heißen \emph{ähnlich\index{ähnlich}},
falls es ein $S\in GL_{n}\left(K\right)$ gibt mit\[
B=S^{-1}AS\]


\begin{itemize}
\item ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante, gleiche Spur und
gleiches charakterisitsches Polynom
\item siehe Basiswechsel \vref{sub:Basiswechsel-von-Abbildungen}.
\end{itemize}

\subsubsection{Determinante von linearen Abbildungen}

Seien $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ Basen von $K^{n}$ und $\varphi:K^{n}\rightarrow K^{n}$
linear. Dann existiert ein $S\in GL_{n}\left(K\right)$ mit \[
\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'}=S^{-1}\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}S\]
Dies bedeutet, das die die Determinante zu einer linearen Abbildung
unabhängig von der konkreten Wahl der Basis ist.\[
\det\left(\varphi\right)=\det\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\]


\begin{itemize}
\item Siehe auch \vref{sub:Matrix-bez=FCglich-Basen}.
\end{itemize}

\subsubsection{Leibnizformel\index{Leibnizformel}}

Sei $A=\left(\alpha_{ij}\right)\in K^{n\times n}$. Es gilt\[
\det A=\sum_{\sigma\in\textrm{Sym}\left\{ 1,\ldots,n\right\} }\textrm{sign}\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}\alpha_{\sigma\left(i\right),i}\]



\subsubsection{Dreiecksmatrix}

Sei $A=\left(\alpha_{ij}\right)\in K^{n\times n}$ eine \emph{obere
Dreiecksmatrix\index{obere Dreiecksmatrix}\index{Dreiecksmatrix}},
d.h. $\alpha_{ij}=0$ für $i>j$. Dann gilt\[
\det A=\prod_{i=1}^{n}\alpha_{ii}\]


\begin{itemize}
\item gleiches gilt für \emph{untere Dreiecksmatrizen\index{untere Dreiecksmatrizen}},
d.h. $\alpha_{ij}=0$ für $i<j$
\item Entspricht dem Produkt der Diagonalelementen
\end{itemize}

\subsubsection{Determinantenberechnung mit dem Gauß-Jordan-Eliminationsalgorithmus}

Sei $A\in K^{n\times n}$ belibig. Der Gauß-Jordan-Eliminationsalgorithmus
(siehe \vref{sub:Gauss-Jordan}) formt $A$ um durch endlich viele
elementare Zeilenoperationen (siehe \vref{sub:Zeilenoperationen})
zu einer Matrix $B$ in Zeilenstufenform (insbesondere obere Dreiecksmatrix).

Die elementaren Zeilenumformungen entsprechen einer Multiplikation
mit einer Matrix von Links. Die Determinanten dieser Matrizen müssen
berücksichtigt werden:

\begin{enumerate}
\item $\left(E1\right)$ $\det\left(L'\right)=$1 (Addition eines vielfachen
einer Zeile zu einer anderen)
\item $\left(E2\right)$ $\det\left(L'\right)=-1$ (Vertauschung zweier
Zeilen)
\item $\left(E3\right)$ $\det\left(L'\right)=\lambda$ (Multiplikation
einer Zeilen mit $\lambda$)
\end{enumerate}
Falls man sich also bei jeder Umformung diese Konstanten merkt und
aufmultipliziert, kann man sie hinterher wieder herausteilen, und
erhält somit die Determinante von $A$ als Produkt der Diagonalen
von $B$ geteilt durch diese Konstanten.


\subsubsection{Determinante von Blockmatrizen}

Für eine Blockmatrix\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1} &  &  & 0\\
 & A_{2}\\
 &  & \ddots\\
0 &  &  & A_{r}\end{array}\right)\]
mit $A\in K^{n\times n}$, $A_{i}\in K^{n_{i}\times n_{i}}$, $n=\sum_{i=1}^{r}n_{i}$
gilt \[
\det\left(A\right)=\prod_{i=1}^{r}\det\left(A_{i}\right)\]
.


\subsubsection{Adjungierte Matrix}

Sei $A=\left(\alpha_{i,j}\right)\in K^{n\times n}$. Mit\\
\[
A_{i,j}=\left(\begin{array}{cccccc}
{\scriptstyle \alpha_{1,1}} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle \alpha_{1,j-1}} & {\scriptstyle \alpha_{1,j+1}} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle \alpha_{1,n}}\\
{\scriptstyle \vdots} & {\scriptstyle \ddots} & {\scriptstyle \vdots} & {\scriptstyle \vdots} & {\scriptstyle \ddots} & {\scriptstyle \vdots}\\
{\scriptstyle \alpha_{i-1,1}} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle \alpha_{i-1,j-1}} & {\scriptstyle \alpha_{i-1,j+1}} & \cdots & {\scriptstyle \alpha_{i-1,n}}\\
{\scriptstyle \alpha_{i+1,1}} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle \alpha_{i+1,j-1}} & {\scriptstyle \alpha_{i-1,j+1}} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle \alpha_{i+1,n}}\\
{\scriptstyle \vdots} & {\scriptstyle \ddots} & {\scriptstyle \vdots} & {\scriptstyle \vdots} & {\scriptstyle \ddots} & {\scriptstyle \vdots}\\
{\scriptstyle \alpha_{n,1}} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle \alpha_{n,j-1}} & {\scriptstyle \alpha_{n,j+1}} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle \alpha_{n,n}}\end{array}\right)\]
\begin{eqnarray*}
\alpha_{i,j}' & = & \left(-1\right)^{i+j}\det\left(A_{i,j}\right)\end{eqnarray*}
 heißt die Matrix \[
\textrm{adj}A=\left(\alpha_{i,j}'\right)_{ij}\]
 die \emph{Adjungierte\index{Adjungierte}} oder \emph{Adjunkte\index{Adjunkte}}
von $A$.

\begin{itemize}
\item $\det A=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i,j}\cdot\alpha_{i,j}'$
\item $\left(\textrm{adj}A\right)^{tr}A=\left(\det A\right)I_{n}$
\item Falls $A$ invertierbar\index{Inverse} gilt:\\
$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\textrm{adj}A\right)^{tr}$
\end{itemize}

\section{Euklidische und unitäre Vektorräume}


\subsection{Bilinearform}

Sei $K$ ein beliebiger Körper und $V$ ein $K-VR$.


\subsubsection{Definition}

Eine Abbildung $f:V\times V\rightarrow K$ heißt $K$-Bilinearform\index{Bilinearform}\index{K-Bilinearform},
falls gilt $\left(B\right)$

\begin{enumerate}
\item $f\left(\alpha u+\beta u',v\right)=\alpha f\left(u,v\right)+\beta f\left(u',v\right)$
\item $f\left(u,\alpha v+\beta v'\right)=\alpha f\left(u,v\right)+\beta f\left(u,v'\right)$
\end{enumerate}

\subsubsection{ausgeartet}

Die $K$-Biliniearform heißt \emph{ausgeartet\index{ausgeartet}},
falls $\exists u\neq0$ mit $f\left(u,v\right)=0$ für alle $v\in V$.


\subsubsection{symmetrisch}

Sei $f:V\times V\rightarrow K$ eine Abbildung. Falls $f\left(u,v\right)=f\left(v,u\right)$
für $\forall u,v\in V$ gilt, wird $f$ als \emph{symmetrisch\index{symmetrisch}}
bezeichnet. $\left(S\right)$


\subsubsection{Standardbilinearform\index{Standardbilinearform}}

Sei $V=K^{d}$ und $u=\left(\begin{array}{c}
u_{1}\\
\vdots\\
u_{d}\end{array}\right)$, $v=\left(\begin{array}{c}
v_{1}\\
\vdots\\
v_{d}\end{array}\right)$ mit $u,v\in V$ und $d\ge1$. Setze $f\left(u,v\right)=u^{T}v=\sum_{i=1}^{d}u_{i}v_{i}$.
$f\left(u,v\right)$ ist die \emph{Standardbilinearform\index{Standardbilinearform}}
auf $K^{d}$.

\begin{itemize}
\item $f$ ist \emph{nicht} ausgeartet
\item $f$ ist symmetrisch
\item $\left\langle u,Av\right\rangle =\left\langle A^{T}u,v\right\rangle $
\item $\left\langle u,vA\right\rangle =\left\langle uA^{T},v\right\rangle $
\item Die quadratischen $\mathbb{R}^{n\times n}$ Matrizen werden mit \begin{eqnarray*}
\textrm{tr}\left(M\right) & = & \sum_{i=1}^{n}m_{ii}\\
\left\langle A,B\right\rangle  & = & \textrm{tr}\left(B^{T}A\right)\end{eqnarray*}
zu einem euklidischen Vektorraum. $\textrm{tr}\left(M\right)$ wird
als die \emph{Spur\index{Spur}} (\emph{trace}\index{trace}) bezeichnet
\end{itemize}

\subsection{Euklidisches Skalarprodukt}


\subsubsection{Definition}

Im Fall $K=\mathbb{R}$ heißt die Standardbilinearform auch \emph{euklidisches
Skalarprodukt}\index{euklidisches Skalarprodukt}. Notation:\[
\left\langle u,v\right\rangle :=u^{T}v=\sum_{i=1}^{d}u_{i}v_{i}\]


\begin{itemize}
\item Das euklidische Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^{d}$ ist $\mathbb{R}$-bilinear,
symmetrisch und positiv definit.
\item Siehe \vref{sub:Bilinearform-zu-Matrix} mit $I_{n}$ als Matrix.
\end{itemize}

\subsubsection{Positiv definit}

Sei $f:V\times V\rightarrow K$ eine Abbildung. Falls folgendes gilt,
wird $f$ als \emph{positiv definit\index{definit}\index{positiv definit}}
bezeichnet $\left(P\right)$. Für alle $v\in K^{d}$

\begin{enumerate}
\item $f\left(v,v\right)\ge0$
\item $f\left(v,v\right)=0\Leftrightarrow v=0$
\end{enumerate}

\subsubsection{euklidische Norm}

Die \emph{euklidische Norm}\index{Norm}\index{euklidische Norm}
eines Vektors $v\in\mathbb{R}^{d}$ ist \[
\left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle }=\sqrt{\sum_{i=1}^{d}v_{i}^{2}}\]


\begin{itemize}
\item für $d=1$ ist euklidische Norm $=$ Absolutbetrag
\end{itemize}

\subsection{Hermitesche Skalarprodukt}


\subsubsection{komplex Konjungierte}

Auf den komplexen Zahlen ist die Konjugationsabbildung $\overline{.}:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}:x+iy\mapsto x-iy$
für $x,y\in\mathbb{R}$ ein \emph{Körperautomorphismus\index{Körperautomorphismus}}.
Ein Automorphismus\index{Automorphismus} ist eine Isomorphismus einer
Struktur in sich selbst. Es gilt $\overline{\overline{z}}=z$. Dies
wir \emph{involutorisch\index{involutorisch}} genannt. Das doppelte
Anwenden einer involutorischen Abbildung ist die Identität\index{Identität}.


\subsubsection{Betrag einer komplexen Zahl}

Die Komplexen Zahlen lassen sich als Paare reeller Zahlen auffassen
$\left[\mathbb{C}=\mathbb{R}^{2}\right]$ und besitzen somit bereits
eine euklidische Länge.\[
\left|z\right|=\left|x+iy\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{z\cdot\overline{z}}\]



\subsubsection{semibilinear, sequibilinear}

Eine Abbildung $f:V\times V\rightarrow K$ heißt $K$-\emph{Semibilinearform}\index{Semibilinearform}
bzw. \emph{sequibilinearform}\index{sequibilinearform}, falls gilt
$\left(B'\right)$

\begin{enumerate}
\item $f\left(\alpha u+\beta u',v\right)=\alpha f\left(u,v\right)+\beta f\left(u',v\right)$
\item $f\left(u,\alpha v+\beta v'\right)=\overline{\alpha}f\left(u,v\right)+\overline{\beta}f\left(u,v'\right)$
\end{enumerate}

\subsubsection{hermitesch}

Eine Abbildung $f:\mathbb{C}^{d}\times\mathbb{C}^{d}\rightarrow\mathbb{C}$
heißt \emph{hermitesch}\index{hermitesch} falls $\left\langle z,w\right\rangle =\overline{\left\langle w,z\right\rangle }$
für alle $z,w\in\mathbb{C}^{d}$ $\left(H\right)$.


\subsubsection{Hermitesche Skalarprodukt}

Das \emph{hermitesche Skalarprodukt}\index{hermitesche Skalarprodukt}
auf $\mathbb{C}^{d}$ ist definiert durch \[
\left\langle z,w\right\rangle =z^{T}\overline{w}=\sum_{i=1}^{d}z_{i}\overline{w_{i}}\]
für $z=\left(\begin{array}{c}
z_{1}\\
\vdots\\
z_{d}\end{array}\right)$ und $w=\left(\begin{array}{c}
w_{1}\\
\vdots\\
w_{d}\end{array}\right)$ mit $z,w\in\mathbb{C}^{d}$. 

\begin{itemize}
\item Das hermitesche Skalarprodukt auf $\mathbb{C}^{d}$ ist semibilinear,
hermitesch und positiv definit.
\item $\left\langle u,Av\right\rangle =\left\langle A^{*}u,v\right\rangle $
\end{itemize}

\subsection{euklidische und unitäre Räume}


\subsubsection{Konventionen}

\begin{itemize}
\item $\mathbb{K}\in\left\{ \mathbb{R},\mathbb{C}\right\} $
\item Für $\alpha\in\mathbb{K}=\mathbb{R}$ setze $\overline{\alpha}:=\alpha$
\item Hiermit gilt, das Symmetrie ein Spezialfall ist von Hermitsch und
Bilinear ein Spezialfall ist von Semibilinear
\end{itemize}

\subsubsection{euklidischer Raum}

Sei $V$ ein $\mathbb{R}$-VR mit einer symmetrischen und positiv
definiten Bilinearform $\left\langle .,.\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{R}$.
Dann heißt $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ \emph{euklidischer
Raum\index{euklidischer Raum}}.


\subsubsection{unitärer Raum}

Sei $V$ ein $\mathbb{C}-VR$ mit einer hermiteschen und positiv definiten
Semibilinearform $\left\langle .,.\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{C}$.
Dann heißt $\left(V\left\langle .,.\right\rangle \right)$ \emph{unitärer
Raum\index{unitärer Raum}}.


\subsubsection{Teilräume}

Sei $V=\mathbb{R}^{d}$ oder $V=\mathbb{C}^{d}$. Außer $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ist
auch jeder Teilraum mit entsprechend eingeschränkten Skalarprodukt
ein euklidischer bzw. unitärer Raum.


\subsubsection{einschränken des unitären Raumes auf $\mathbb{R}$ }

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein unitärere
Raum. Insbesondere ist $V$ ein $\mathbb{C}$-VR mit Skalarmultiplikation
$\mathbb{C}\times V\rightarrow V:\left(\lambda,v\right)\mapsto\lambda v$.
Diese lässt sich einschränkend zur Abbildung $\mathbb{R}\times V\rightarrow V:\left(\lambda,v\right)\mapsto\lambda v$
und man erhält einen reellen Vektorraum $V_{\mathbb{R}}$\index{$V_{\mathbb{R}}$}.
Weiter ist dann \[
\left(v,w\right)=\Re\left\langle v,w\right\rangle =\frac{1}{2}\left(\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle \right)\]
 eine $\mathbb{R}$-Bilinearform auf $V_{\mathbb{R}}$, die symmetrisch
und wiederum positiv definit ist, d.h. $\left(V_{\mathbb{R}},\left(.,.\right)\right)$
ist ein euklidischer Raum.

\begin{itemize}
\item $\Re\hat{=}$ Realteil
\end{itemize}

\subsubsection{Norm, orthogonal, rechtwinklig, Einheitsvektoren}

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein euklidischer
oder unitärer Raum. Dann definiert \[
\left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle }\]
die \emph{Norm\index{Norm}} (\emph{Länge\index{Länge}}) von $v\in V$.
Ferner heißen $v,w\in V$ \emph{orthogonal}\index{orthogonal} (rechtwinklig),
falls $\left\langle v,w\right\rangle =0$. Schreibe hierfür $v\perp w$.
Vektoren der Norm $1$ heißen \emph{Einheitsvektoren\index{Einheitsvektoren}}.

\begin{itemize}
\item für $\alpha\in\mathbb{K}$ und $v\in V$ gilt:\\
$\left\Vert \alpha v\right\Vert =\left|\alpha\right|\left\Vert v\right\Vert $
\end{itemize}

\subsection{Geometrische Eigenschaften euklidischer und unitärer Räume}


\subsubsection{Es gelten die Polarisierungsidentitäten\index{Polarisierungsidentitäten}}


\paragraph{euklidisch}

\[
\left\langle x,y\right\rangle =\frac{1}{4}\left(\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-y\right\Vert ^{2}\right)\]



\paragraph{unitär}

\[
\left\langle x,y\right\rangle =\frac{1}{4}\left({\scriptstyle \left\Vert x+y\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-y\right\Vert ^{2}+i\left(\left\Vert x+iy\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-iy\right\Vert ^{2}\right)}\right)\]


\begin{itemize}
\item d.h. sowohl im euklidischen als auch im unitären Fall ist das Skalarprodukt
durch die Norm bestimmt.
\item in euklidischen Räumen gilt: \[
\left\Vert u\right\Vert =\left\Vert v\right\Vert \Leftrightarrow\left\langle u+v,u-v\right\rangle =0\]

\end{itemize}

\subsubsection{Satz des Pythagoras\index{Pythagoras}}

\[
x\perp y\Rightarrow\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}+\left\Vert y\right\Vert ^{2}\]



\subsubsection{Ungleichung von Cauchy-Schwarz}

\[
\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|\le\left\Vert x\right\Vert \cdot\left\Vert y\right\Vert \]



\subsubsection{Winkel}

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ euklidischer
bzw. unitärer Raum. Zu $x,y\in V\backslash\left\{ 0\right\} $ sei
der \emph{Winkel\index{Winkel}} $\gamma\in\left[0,\pi\right]$ definiert
durch:\[
\cos\gamma=\frac{\Re\left\langle x,y\right\rangle }{\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert }\]


\begin{itemize}
\item $\Re\hat{=}$ Realteil
\end{itemize}

\subsection{Metrische Räume}


\subsubsection{Metrik}

Seine Menge $M$ mit einer Abbildung $d:M\times M\rightarrow\mathbb{R}_{>0}$,
der \emph{Metrik\index{Metrik}}, heißt \emph{metrischer Raum\index{metrischer Raum}},
falls $\forall x,y,z\in M$

\begin{enumerate}
\item $\left(M1\right)$ $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$
\item $\left(M2\right)$ $d\left(x,y\right)\ge0$ und $d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y$
\item $\left(M3\right)$ $d\left(x,z\right)\le d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)$\\
\emph{Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}}
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item z. B. \emph{diskrete Metrik\index{diskrete Metrik}}\[
d\left(x,y\right)=\begin{cases}
0 & x=y\\
1 & x\neq y\end{cases}\]

\end{itemize}

\subsubsection{Metrik im euklidischen und unitären Raum}

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein euklidischer
oder unitärer Raum. Dann definiert $d\left(x,y\right):=\left\Vert x-y\right\Vert =$$\sqrt{\left\langle x-y,x-y\right\rangle }$
eine Metrik auf $V$.


\subsubsection{Eigenschaften von Metriken}

\begin{enumerate}
\item $\left\Vert x+y\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \Leftrightarrow\exists\alpha\in\mathbb{R}_{>0}:y=\alpha x$
\item $\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|=\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \Leftrightarrow$
$x$ und $y$ \emph{linear abhängig} über $\mathbb{K}$ 
\item Existenz genau eines \emph{Mittelpunktes\index{Mittelpunktes}} auf
der Verbindungsstrecke.\\
Sei$\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$euklidischer Raum.
Dann gilt:\begin{eqnarray*}
 & \forall x,y\in V\exists!m_{x,y}\in V:\\
 & d\left(x,m_{x,y}\right)=d\left(y,m_{x,y}\right)=\frac{1}{2}d\left(x,y\right)\end{eqnarray*}

\item Sei $\varphi:V\rightarrow V$ eine Abbildung mit $\varphi\left(0\right)=0$
und $d\left(\varphi\left(x\right),\varphi\left(y\right)\right)=d\left(x,y\right)$
für alle $x,y\in V$. $\varphi$ ist linear.

\begin{itemize}
\item $\varphi$ nennt sich \emph{abstandserhaltend\index{abstandserhaltend}}
oder \emph{isometrie\index{isometrie}}
\item siehe \vref{sub:Orthogonale-und-unitaere Abb}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{Orthonormalbasen}


\subsubsection{Definition\index{Basis}}

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein eudlidischer
oder unitärer Raum. Eine Familie $\left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$
in $V\backslash\left\{ 0\right\} $ heißt \emph{Orthogonalsystem\index{Orthogonalsystem}},
falls $v_{i}\perp v_{k}$ für $i\neq k$.

Gilt zusätzlich, dass $\left\Vert v_{i}\right\Vert =1$ für alle $i$,
dann heißt $\left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$ \emph{Orthonormalsystem\index{Orthonormalsystem}}.

Ein Orthonormalsystem, dass eine $\mathbb{K}$-Basis von $V$ ist,
heißt \emph{Orthonormalbasis\index{Orthonormalbasis}} (ONB\index{ONB})
von $V$.

\begin{itemize}
\item Jedes Orthonormalsystem $\left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$ ist linear
unabhängig.
\item Jeder endlich dimensionale Teilraum von $V$ besitzt eine Orthonormalbasis.
\item Die Standardbasis von $\mathbb{K}^{n}$ ist eine Orthonormalbasis.
\item Für beliebige $\gamma\in\mathbb{R}$ ist \[
\left(\left(\begin{array}{c}
\cos\gamma\\
\sin\gamma\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-\sin\gamma\\
\cos\gamma\end{array}\right)\right)\]
 eine Othonormalbasis des $\mathbb{R}^{2}$.
\end{itemize}

\subsubsection{Koordinaten\index{Koordinaten} bezüglich ONB}

Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$ eine ONB von $V$. Dann lässt
sich ein belibiges $v\in V$ eindeutig darstellen mit \[
v=\left\langle v,v_{1}\right\rangle v_{1}+\ldots+\left\langle v,v_{m}\right\rangle v_{m}\]


\begin{itemize}
\item Die $\left\langle v,v_{i}\right\rangle $ sind also die Koordinaten
von $v$ bezüglich der ONB
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Orthonormalisierungsverfahren-von-Gram-Schmidt}Orthonormalisierungsverfahren\index{Orthonormalisierungsverfahren}
von Gram-Schmidt\index{Gram-Schmidt}}

Sei $\left(b_{1},\ldots,b_{m}\right)$ eine linear unabhängige Familie
in $V$. Es gilt $\dim_{\mathbb{K}}\textrm{lin}\left(b_{1},\ldots,b_{m}\right)=m$.
Im folgenden Konstruieren wir eine Orthonormalbasis von $U=\textrm{lin}\left(b_{1},\ldots,b_{m}\right)$.
Dazu setze \begin{eqnarray*}
u_{1} & := & b_{1}\\
v_{1} & := & \frac{u_{1}}{\left\Vert u_{1}\right\Vert }\\
u_{2} & := & b_{2}-\left\langle b_{2},v_{1}\right\rangle v_{1}\\
v_{2} & := & \frac{u_{2}}{\left\Vert u_{2}\right\Vert }\\
u_{3} & := & b_{3}-\left\langle b_{3},v_{1}\right\rangle v_{1}-\left\langle b_{3},v_{2}\right\rangle v_{2}\\
v_{3} & := & \frac{u_{3}}{\left\Vert u_{3}\right\Vert }\\
 & \vdots\\
u_{m} & := & b_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}\left\langle b_{m},v_{i}\right\rangle v_{i}\\
v_{m} & := & \frac{u_{m}}{\left\Vert u_{m}\right\Vert }\end{eqnarray*}


$\left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$ ist eine Orthonormalbasis von $U$.

\begin{itemize}
\item Hierbei werden von einem Vektor alle Komponenten abgezogen, die in
Richtung schon vorher abgearbeiteter Vektoren zeigen. Anschließend
wird der Rest auf $1$ Normiert.
\item Mit diesem Verfahren lassen sich auch lineare Abhängigkeiten in $\left(b_{1},\ldots,b_{m}\right)$
entdecken. Ist $b_{i}$ linear abhängig von $\left(b_{1},\ldots,b_{i-1}\right)$
dann ist $u_{i}=0$.
\end{itemize}

\subsection{Orthogonale Teilräume}

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ euklidischer
oder unitärer Raum.


\subsubsection{Definition}

Zu $M\subseteq V$ heißt \[
M^{\perp}=\left\{ v\in V|\forall m\in M:v\perp m\right\} \]
 das \emph{orthogonale Komplement\index{Komplement}\index{orthogonale Komplement}}
von $M$.

\begin{itemize}
\item $M^{\perp}\le V$ ist linearer Teilraum von $V$
\end{itemize}

\subsubsection{Eigenschaften}

Seien $A,B\subseteq V$. Dann gilt:

\begin{enumerate}
\item $A\subseteq B\Rightarrow B^{\perp}\subseteq A^{\perp}$
\item $A\subseteq B^{\perp}\Leftrightarrow B\subseteq A^{\perp}$
\item $A\subseteq\left(A^{\perp}\right)^{\perp}$
\item $A^{\perp}=\left(\left(A^{\perp}\right)^{\perp}\right)^{\perp}$
\item $\left(A\cup B\right)^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}$
\item $A\cap A^{\perp}=\left\{ 0\right\} $
\end{enumerate}

\subsubsection{Interpretation als Gleichungsystem}

Sei $V=\mathbb{R}^{n}$ euklidischer Raum und $a\in\mathbb{R}^{n}$.
Dann ist für $a=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)$ und $x=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$
\[
a^{\perp}:=\left\{ a\right\} ^{\perp}=\left\{ v\in\mathbb{R}^{n}|\left\langle a,v\right\rangle =0\right\} \]
 die Lösungemenge der linearen Gleichung $\left\langle a,x\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0$.

Weiterhin gilt für $a,b,c,\ldots\in\mathbb{R}^{n}$, dass $\left\{ a,b,c,\ldots\right\} ^{\perp}=a^{\perp}\cap b^{\perp}\cap c^{\perp}\cap\ldots$
die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungsystems $\left\langle a,x\right\rangle =\left\langle b,x\right\rangle =\left\langle c,x\right\rangle =\ldots=0$

\begin{itemize}
\item für $a\neq0$ ist $a^{\perp}$ eine \emph{lineare Hyperebene}\index{lineare Hyperebene}
\item $a,b,c,\ldots$ sind sozusagen die Zeilen der Matrix des zugehörigen
linearen Gleichungsystems
\end{itemize}

\subsubsection{Orthogonaler Teilraum und Basis}

Sei $a_{1},\ldots,a_{m}\in V$ und \[
U=\textrm{lin}\left(a_{1},\ldots,a_{m}\right)\]
dann gilt $U^{\perp}=\left\{ a_{1},\ldots,a_{m}\right\} ^{\perp}$.


\subsubsection{Endlichdimensionale Teilräume}

Sei $U\le V$ endlich dimensionaler Teilraum. Dann gelten

\begin{enumerate}
\item $V=U\oplus U^{\perp}$
\item $\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U$
\end{enumerate}

\subsubsection{Projektion\index{Projektion}}

Sei $U\le V$ ein endlichdimensionaler Teilraum mit Orthonormalbasis
$\left(u_{1},\ldots,u_{m}\right)$. Die Abbildung \[
\pi:V\rightarrow V,v\mapsto\sum_{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\]
 besitzt folgende Eigenschaften:

\begin{enumerate}
\item $\pi$ ist linear
\item $\pi\left(v\right)\in U$ für alle $v\in V$
\item $\pi\left(u\right)=u$ für alle $u\in U$
\item $\pi\circ\pi=\pi$\\
d.h. $\pi$ ist eine Projektion auf $U$
\item $\textrm{Im}\left(\pi\right)=U$ und $\textrm{ker}\left(\pi\right)=U^{\perp}$
\item $v-\pi\left(v\right)\in U^{\perp}$ für alle $v\in V$
\item $\left\Vert v-\pi\left(v\right)\right\Vert \le\left\Vert v-u\right\Vert $
für alle $v\in V,u\in U$\\
Gleichheit gilt nur für $\pi\left(v\right)=u$. 
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $\pi\left(v\right)$ ist also die beste Approximation für $v$ in
$U$.
\item $\pi$ ist unabhängig (in allen Fällen identisch) von der konkreten
Wahl der Orthonormalbasis für $U$ solange das $U$ gleich bleibt.
\item Diese Projektion kommt auch so im Gram Schmidt Orthonormalisierungsverfahren
vor, siehe \vref{sub:Orthonormalisierungsverfahren-von-Gram-Schmidt}.
\item Diese Abbildung ist durch die folgende Angaben bereits eindeutig bestimmt:

\begin{itemize}
\item lineare Projektion
\item $U=\textrm{im}\pi=\left(\textrm{ker}\pi\right)^{\perp}$
\end{itemize}
\item Ist $\pi$ die Orthogonalprojektion auf $U$, so ist $\textrm{id}-\pi$
die Orthogonalprojektion auf $U^{\perp}$
\end{itemize}

\subsection{Fourierreihe}

Die Menge $\mathcal{C}\left[0,1\right]$ der Stetigen Funktionen von
$\left[0,1\right]$ nach $\mathbb{R}$ bilden zusammen mit $\left\langle f,g\right\rangle =\int_{0}^{1}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx$
einen euklidischen Vektorraum.

Die Funktionen $v_{0},v_{1},v_{2},\ldots,w_{1},w_{2},\ldots$ doe
für $x\in\left[0,1\right]$ definiert sind durch $v_{k}\left(x\right)=\cos\left(2\pi kx\right),w_{k}\left(x\right)=\sin\left(2\pi kx\right)$
für $k\in\mathbb{N}$ bilden ein Orthonormalsystem in $\mathcal{C}\left[0,1\right]$.
Die $\tilde{v_{k}}=\frac{1}{\sqrt{2}}v_{k}$ und $\tilde{w_{k}}=\frac{1}{\sqrt{2}}w_{k}$
bilden also ein Orthonormalsystem.

Der lineare Teilraum \[
\mathcal{T}_{n}=\textrm{lin}\left(v_{0},\ldots,v_{n},w_{1},\ldots,w_{n}\right)\le\mathcal{C}\left[0,1\right]\]
 heißt Raum der \emph{trigonometrischen Polynome\index{trigonometrische Polynome}\index{Polynome}}
vom Grad $\le n$. Die Elemente von $\mathcal{T}_{n}$ bestehen aus
Linearkombinationen\begin{eqnarray*}
T & = & \frac{\alpha_{0}}{2}v_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(\alpha_{k}v_{k}+\beta_{k}w_{k}\right)\\
T\left(x\right) & = & \frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}{\scriptstyle \left(\alpha_{k}\cos\left(2\pi kx\right)+\beta_{k}\sin\left(2\pi kx\right)\right)}\end{eqnarray*}


Es sei $\pi_{n}:\mathcal{C}\left[0,1\right]\rightarrow\mathcal{T}_{n}$
die orthogonale Projektion auf $\mathcal{T}_{n}$. Diese ist die Beste
Approximation durch ein trogonometrisches Polynom vom Grad $\le n$.
Sei $f$ die zu Approximierende Funktion. Es gilt:\begin{eqnarray*}
\alpha_{k} & = & 2\left\langle f,v_{k}\right\rangle \\
\alpha_{k} & = & 2\int_{0}^{1}f\left(x\right)\cos\left(2\pi kx\right)dx\\
\beta_{k} & = & 2\left\langle f,w_{k}\right\rangle \\
\beta_{k} & = & 2\int_{0}^{1}f\left(x\right)\sin\left(2\pi kx\right)dx\end{eqnarray*}
Die Koeffizienten $\alpha_{k}$ und $\beta_{k}$ heißen \emph{Fourierkoeffizenten\index{Fourierkoeffizenten}}
von $f$. Die unendliche Reihe \[
\frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\alpha_{k}\cos\left(2\pi kx\right)+\beta_{k}\sin\left(2\pi kx\right)\right)\]
 heißt \emph{Fourierreihe\index{Fourierreihe}} von $f$. Falls $f$
zweimal stetig differenzierbar und $f\left(0\right)=f\left(1\right)$,
so konvergiert die Fourrierreihe gleichmäßig gegen $f$.


\subsection{\label{sub:Orthogonale-und-unitaere Abb}Orthogonale und unitäre
Abbildungen}

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein euklidischer
oder unitärer Raum.


\subsubsection{orthogonal / unitär / Isometrie}

Eine invertierbare Abbildung $\varphi:V\rightarrow V$ heißt \emph{orthogonal\index{orthogonal}}
(bzw. \emph{unitär}\index{unitär}), falls gilt\[
\left\langle \varphi\left(x\right),\varphi\left(y\right)\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle \:\forall x,y\in V\]
nennt sich $\varphi$ eine \emph{Isometrie\index{Isometrie}}.

\begin{itemize}
\item Orthogonale (und unitäre) Abbildungen respektieren Längen und Winkel
\item Für $\textrm{dim}V<\infty$ folgt die Invertierbarkeit aus der Isometrieeigenschaft.
\end{itemize}

\subsubsection{äquivalente aussagen zur Isometrie}

Es seien $V$ und $W$ zwei euklidische oder unitäre Vektorräume und
es sei $\varphi:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Folgende
Aussagen sind äquivalent:

\begin{enumerate}
\item $\varphi$ ist eine Isometrie
\item $\left\Vert \varphi\left(x\right)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert $
für alle $x\in V$
\item $\left\Vert \varphi\left(x\right)-\varphi\left(y\right)\right\Vert =\left\Vert x-y\right\Vert $
für alle $x,y\in V$
\end{enumerate}

\subsubsection{orthogonale und unitäre Gruppe}

Für $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ euklidisch heißt
$O\left(V\right)=\left\{ \varphi\in GL\left(V\right)|\varphi\textrm{ orthogonal}\right\} $
\emph{orthogonale Gruppe\index{orthogonale Gruppe}} auf $V.$ Für
$\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ unitär heißt $U\left(V\right)=\left\{ \varphi\in GL\left(V\right)|\varphi\textrm{ unitär}\right\} $
\emph{unitäre Gruppe} \emph{\index{unitäre Gruppe}} auf $V$.


\subsubsection{Isometriekriterium}

Sei $\left(v_{1},\ldots v_{n}\right)$ eine Orthonormalbasis von $V$.
Es gilt $\varphi\in GL\left(V\right)$ orthogonal bzw. unitär $\Leftrightarrow$
$\left(\varphi\left(v_{1}\right),\ldots,\varphi\left(v_{n}\right)\right)$
ist Orthonormalbasis.

\begin{itemize}
\item D.h. das die Spalten/Zeilen von $\left[\varphi\right]_{I_{n}}^{I_{n}}$
bilden ein Orthonormalsystem
\end{itemize}

\subsubsection{orthogonale Matrizen}

Eine Matrix $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ heißt \emph{orthogonal\index{orthogonal}},
falls gilt \[
Q\cdot Q^{T}=I_{n}\]


\begin{itemize}
\item $GL_{n}\mathbb{R}=\left\{ M\in\mathbb{R}^{n\times n}|M\textrm{ ist invertierbar}\right\} $
\item $O_{n}\mathbb{R}=\left\{ Q\in GL_{n}\mathbb{R}|Q^{-1}=Q^{T}\right\} $
heißt \emph{orthogonale Gruppe\index{orthogonale Gruppe}} auf $\mathbb{R}^{n}$.
\item $Q^{T}=Q^{-1}$
\item $\textrm{det}Q=\pm1$
\end{itemize}

\subsubsection{adjungierte / unitäre Matrizen}

Für $M=\left(m_{ij}\right)_{i,j}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt
$M^{*}=\overline{M}^{T}=\left(\overline{m_{ji}}\right)_{i,j}$ die
zu $M$ \emph{adjungierte\index{adjungierte}} Matrix.

Eine Matrix $Q\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt \emph{unitär\index{unitär}},
falls $Q\cdot Q^{*}=I_{n}$. 

\begin{itemize}
\item $GL_{n}\mathbb{C}=\left\{ M\in\mathbb{C}^{n\times n}|M\textrm{ ist invertierbar}\right\} $
\item $U_{n}\mathbb{C}=\left\{ Q\in GL_{n}\mathbb{Q}|Q^{-1}=Q^{*}\right\} $
heißt \emph{unitäre Gruppe}\index{unitäre Gruppe} auf $\mathbb{C}^{n}$.
\end{itemize}

\subsubsection{spezielle Matrizengruppen}


\paragraph{generelle~lineare~Gruppe}

\[
GL_{n}\mathbb{K}=\left\{ M\in\mathbb{K}^{n\times n}|M\textrm{ ist invertierbar}\right\} \]


\begin{itemize}
\item Menge der invertierbaren Matritzen
\end{itemize}

\paragraph{unitäre~Gruppe}

\[
U_{n}\mathbb{C}=\left\{ Q\in GL_{n}\mathbb{C}|Q^{-1}=Q^{*}\right\} \]


\begin{itemize}
\item So etwas wie Drehungen und Spiegelungen in komplexen Vektorräumen
\end{itemize}

\paragraph{orthogonale~Gruppe}

\[
O_{n}\mathbb{R}=\left\{ Q\in GL_{n}\mathbb{R}|Q^{-1}=Q^{T}\right\} \]


\begin{itemize}
\item Drehungen und Spiegelungen in reellen Vektorräumen
\end{itemize}

\paragraph{spezielle~lineare~Gruppe}

\[
SL_{n}\mathbb{K}=\left\{ M\in GL_{n}\mathbb{K}|\det\left(M\right)=1\right\} \]



\paragraph{spezielle~orthogonale~Gruppe}

\[
SO_{n}\mathbb{R}=O_{n}\mathbb{R}\cap SL_{n}\mathbb{R}\]


\begin{itemize}
\item beschreiben Drehungen in reellen Vektorräumen
\end{itemize}

\paragraph{spezielle~unitäre~Gruppe}

\[
SU_{n}\mathbb{R}=U_{n}\mathbb{C}\cap SL_{n}\mathbb{C}\]


\begin{itemize}
\item Alle hier aufgelisteten Gruppen sind Untergruppen von $GL_{n}\mathbb{K}$.
D.h. die Elemente sind eine Teilmenge ($\subseteq$), und sie sind
unter der Verknüpfung abgeschlossen. Hierzu nutze wie beim Untervektorraum
das Symbol $\le$.
\item Verkettung von Drehungen ist Drehung
\item Verkettung von Drehung und Spiegelung ist Spiegelung
\item Verkettung von Spiegelungen ist Drehung
\end{itemize}

\subsubsection{Charakteristika für orthogonale und unitäre Matrizen / Abbildungen}

Es sei $Q\in K^{n\times n}$. Äquivalent sind:

\begin{enumerate}
\item Die lineare Abbildung $\varphi_{Q}:\mathbb{K}^{n}\rightarrow\mathbb{K}^{n}:x\mapsto Qx$
ist orthogonal (bzw. unitär) bzgl. des euklidischen Skalarprodukts
(bzw. bzgl. des hermitschen Skalarprodukts), d.h. $\forall v,w\in K^{n}:$\begin{eqnarray*}
 &  & \left\langle \varphi_{Q}\left(v\right),\varphi_{Q}\left(w\right)\right\rangle \\
 & = & \left\langle Qv,Qw\right\rangle \\
 & = & \left\langle v,w\right\rangle \end{eqnarray*}

\item Die Spalten $\left(s_{1},\ldots,s_{n}\right)$ der Matrix $Q$ bilden
eine Orthonormalbasis von $\mathbb{K}^{n}$: d.h.\[
\left\langle s_{i},s_{j}\right\rangle =\delta_{ij}=\begin{cases}
1 & i=j\\
0 & i\neq j\end{cases}\]

\item $Q$ ist eine orthogonale Matrix, d.h. $Q\cdot Q^{T}=I_{n}$ (bzw.
unitär $Q\cdot Q*=I_{n}$)
\item $Q$ ist invertierbar und $Q^{-1}=Q^{T}$ (bzw. $Q^{-1}=Q*$)
\item Die Zeilen von $Q$ bilden eine Orthonormalbasis)
\item $Q^{T}$ ist eine orthogonale Matrix (bzw. unitär)
\end{enumerate}

\subsubsection{Spiegelung an Hyperebene}

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Ist $v\in V$ ein Einheitsvektor
(d.h. $\left\Vert v\right\Vert =1$) so wird durch \[
s_{v}:V\rightarrow V:w\mapsto w-2\left\langle w,v\right\rangle v\]
 eine Abbildung definiert, die \emph{orthogonale Spiegelung\index{orhtogonale Spiegelung}}
an der zu $v$ \emph{orthogonalen Hyperebene} heißt.

\begin{itemize}
\item $s_{v}\circ s_{v}=\textrm{id}$
\item $s_{v}$ ist linear und orthogonal
\end{itemize}

\section{Eigenwerte und Eigenvektoren}


\subsection{Einleitung}

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\varphi:V\rightarrow V$
ein $k$-linearer Endomorphismus.


\subsubsection{Definitionen}

Ein Skalar $\lambda\in K$ heißt \emph{Eigenwert\index{Eigenwert}}
von $\varphi$ falls es ein $v\in V\backslash\left\{ 0\right\} $
gibt, so dass $\varphi\left(v\right)=\lambda v$.

Jeder von $0$ verschiedene Vektor $w$ mit $\varphi\left(w\right)=\lambda w$
heißt \emph{Eigenvektor\index{Eigenvektor}} zum Eigenwert $\lambda$
(bzüglich $\varphi$).

Der Unterraum \begin{eqnarray*}
V_{\lambda} & = & V_{\lambda}\left(\varphi\right)\\
 & = & \ker\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}_{V}\right)\\
 & = & \left\{ v\in V|\varphi\left(v\right)=\lambda v\right\} \end{eqnarray*}
 heißt \emph{Eigenraum\index{Eigenraum}} zum Eigenwert $\lambda$
(bezüglich $\varphi$).

Die Dimension $d_{\lambda}=\dim_{K}V_{\lambda}$ heißt \emph{geometrische
Vielfachheit\index{Vielfachheit}\index{geometrische Vielfachheit}}
von $\lambda$.

Die lineare Abbildung $\varphi$ heißt \emph{diagonalisierbar\index{diagonalisierbar}},
falls es eine Basis von $V$ gibt, die nur aus Eigenvektoren von $\varphi$
besteht (zu möglicherweise verschiedenen Eigenwerten). Das heißt die
zugehörige Matrix von $\varphi$ ist eine Diagonalmatrix.

\begin{itemize}
\item $\lambda$ Eigenwert von $\varphi$ $\Leftrightarrow$ $\exists v\neq0:\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)\left(v\right)=0$
$\Leftrightarrow$ $\textrm{ker}\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)\neq\left\{ 0\right\} $
\item $v$ Eigenwert von $\varphi$ bezüglich dem Eigenwert $\lambda$ $\Leftrightarrow$
$v\neq0\wedge\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)\left(v\right)=0$
$\Leftrightarrow$ $v\in\textrm{ker}\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)\backslash\left\{ 0\right\} $
\end{itemize}

\subsubsection{charakteristische Gleichung}

Sei $\varphi\in\textrm{End}\left(V\right)$ und $\dim_{K}V<\infty$.
Es gilt: $\lambda$ Eigenwert von $\varphi$ $\Leftrightarrow$ $\det\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)=0$.\\
$\det\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)$ ist die \emph{charakteristische
Gleichung}\index{charakteristische Gleichung}.


\subsubsection{Eigenwerte von Matrizen}

Sei $M\in K^{n\times n}$. Dann heißt $\lambda\in K$ \emph{Eigenwert\index{Eigenwert}}
von $M$, falls $\lambda\in K$ \emph{Eigenwert\index{Eigenwert}}
von $M$, falls $\lambda$ Eigenwert von $\varphi_{M}:K^{n}\times K^{n}$.
Analog: \emph{Eigenvektoren}\index{Eigenvektoren}.


\subsubsection{\label{sub:Eigenwerte-ReellerMat-in-C}Eigenwerte in $\mathbb{C}$}

Sei $M\in\mathbb{C}^{n\times n}$ mit \emph{reellen} Einträgen. Falls
$v$ Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ ist auch $\overline{v}$
Eigenvektor zum Eigenwert $\overline{\lambda}$. 


\subsection{Diagonalisierbarkeit}


\subsubsection{lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren}

Seien $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r}$ paarweise verschiedene Eigenwerte
von $\varphi$ und $v_{1},\ldots,v_{r}$ zugehörige Eigenvektoren.
Dann ist $\left(v_{1},\ldots,v_{r}\right)$ linear unabhängig.

\begin{itemize}
\item Falls $\varphi$ sogar $n=\dim_{K}V$ verschiedene Eigenwerte hat,
so ist $\varphi$ diagonalisierbar.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Diagonalisierung-von-Abbildung}Diagonalisierung von Abbildung}

Seien $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{v}$ verschiedene Eigenwerte von
$\varphi$ mit den geometrischen Vielfachheiten $d_{1},\ldots,d_{r}$.
Sei $\left(b_{i,1},\ldots,b_{i,d_{i}}\right)$ Basis für $V_{\lambda_{i}}$.
Dann ist \[
B=\left(b_{1,1},\ldots b_{1,d_{1}},b_{2,1},\ldots,b_{2,d_{2}},\ldots,b_{r,1},\ldots,b_{r,d_{r}}\right)\]
 Basis von \[
V_{\lambda_{1}}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_{r}}\]
Falls gilt $d_{1}+d_{2}+\ldots+d_{r}=n$, dann gilt \[
V_{\lambda_{1}}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_{r}}=V\]
 und $\varphi$ ist diagonalisierbar.\[
\left[\varphi\right]_{B}^{B}=\left(\begin{array}{ccc}
\overbrace{\begin{array}{ccc}
\lambda_{1}\\
 & \ddots\\
 &  & \lambda_{1}\end{array}}^{d_{1}} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & \underbrace{\begin{array}{ccc}
\lambda_{r}\\
 & \ddots\\
 &  & \lambda_{r}\end{array}}_{d_{r}}\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item $\left[\varphi\right]_{I_{n}}^{I_{n}}=B\left[\varphi\right]_{B}^{B}B^{-1}$
\end{itemize}

\subsection{Polynome}

Sei $K$ ein Körper.


\subsubsection{Polynom}

Eine Funktion $a:\mathbb{N}\rightarrow K:n\mapsto a_{n}$ mit der
Eigenschaft, dass es ein $N\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $\forall n>N:a_{n}=0$
gilt heißt \emph{Polynom\index{Polynom}} mit Koeffizienten in $K$.

Wir schreiben solch eine Funktion $a=\left(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{N},0,\ldots\right)$
als $a\left(t\right)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\ldots+a_{n}t^{N}$,
wobei das Symbol $t$ eine \emph{Unbestimmte} (insbesondere kein Element
aus $K$) ist.

$K\left[t\right]=\left\{ a_{0}+a_{1}t+\ldots+a_{N}t^{N}|a_{i}\in K,N\in\mathbb{N}\right\} $
ist die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in $K$ (in der Unbestimmten
$t$).


\subsubsection{Operationen mit Polynomen}

Mit der Komponentenweise Addition und der Komponentenweise Skalarmultiplikation
ist $K\left[t\right]$ ein $K$-VR mit Basis $\left(1,t,t^{2},\ldots\right)$.
Insbesondere ist $\dim_{K}K\left[t\right]=\infty$.


\paragraph{Addition}

\begin{eqnarray*}
 &  & \left(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\ldots+a_{N}t^{N}\right)\\
 &  & +\left(b_{0}+b_{1}t+\ldots+b_{M}t^{M}\right)\\
 & = & \left(a_{0}+b_{0}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\right)t+\ldots\\
 &  & +\left(a_{\max\left(M,N\right)}+b_{\max\left(M,N\right)}\right)t^{\max\left(M,N\right)}\end{eqnarray*}



\paragraph{Skalarmultiplikation}

\begin{eqnarray*}
 &  & \lambda\left(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\ldots+a_{N}t^{N}\right)\\
 & = & \left(\lambda a_{0}\right)+\left(\lambda a_{1}\right)t+\left(\lambda a_{2}\right)t^{2}+\ldots+\left(\lambda a_{N}\right)t^{N}\end{eqnarray*}



\paragraph{Koordinaten}

\begin{eqnarray*}
 &  & \left(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\ldots+a_{N}t^{N}\right)\\
 & = & \left(a_{0}\cdot1+a_{1}\cdot t+a_{2}\cdot t^{2}+\ldots+a_{N}\cdot t^{N}\right)\end{eqnarray*}



\paragraph{Polynommultiplikation}

\begin{eqnarray*}
 & \left(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\ldots+a_{N}t^{N}\right)*\\
 & \left(b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+\ldots+b_{M}t^{M}\right)\\
= & \left(a_{0}b_{0}\right)+\left(a_{0}b_{1}+b_{1}a_{0}\right)t+\left(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2}\right)t^{2}\\
 & +\ldots+\left(\sum_{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)t^{k}+\ldots+a_{N}b_{M}t^{N+M}\end{eqnarray*}



\subsubsection{Struktur von Polynomen}

$\left(K\left[t\right],+,\cdot,*\right)$ ist eine \emph{kommutative
$K$-Algebra\index{Algebra}\index{k-Algebra}}, das heißt:

\begin{enumerate}
\item $\left(K\left[t\right],+,\cdot\right)$ ist ein $K$-Vektorraum
\item $\left(K\left[t\right],+,*\right)$ ist ein kommutativer Ring
\item Es existiert eine Polynommultiplikatives Neutralelement $1=\left(1,0,0,\ldots\right)\in K\left[t\right]$
\item $\left(\lambda\cdot a\right)*b=\lambda\cdot\left(a*b\right)$
\end{enumerate}

\subsubsection{Grad}

Sei $a:\mathbb{N}\rightarrow K:n\mapsto a_{n}$ ein Polynom. Für $a\neq0$
sei \[
\deg a=\min\left\{ n\in\mathbb{N}|\forall n>N:a_{n}=0\right\} \]
 und $\deg\left(0\right)=-\infty$. Die Zahl $\deg\left(a\right)\in\mathbb{N}\cup\left\{ -\infty\right\} $
heißt \emph{Grad\index{Grad}} von $a$.

Für alle $n\in\mathbb{N}\cup\left\{ -\infty\right\} $ gilt:

\begin{enumerate}
\item $\max\left(n,-\infty\right)=n$
\item $n+\left(-\infty\right)=-\infty$
\item $n\ge-\infty$
\end{enumerate}
Seien $a,b\in K\left[t\right]$, dann gilt:

\begin{enumerate}
\item $\deg\left(a+b\right)\le\max\left\{ \deg a,\deg b\right\} $
\item $\deg\left(a\cdot b\right)=\det\left(a\right)+\deg\left(b\right)$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Für $a,b\in K\left[t\right]\backslash\left\{ 0\right\} $ gilt $a\cdot b=0$,
das heißt der Ring ist nullteilerfrei\@.
\end{itemize}

\subsubsection{Auswertungsabbildung über Körper}

Zu einem Polynom $a=a_{0}+a_{1}t+\ldots+a_{N}t^{N}\in K\left[t\right]$
kann man eine \emph{Auswertungsabbildung}\index{Auswertungsabbildung},
auch \emph{Polynomfunktion\index{Polynomfunktion}} genannt, definieren:\[
\tilde{a}:K\rightarrow K:\lambda\mapsto a_{0}+a_{1}\lambda+\ldots+a_{N}\lambda^{N}\]


\begin{itemize}
\item kaum Unterschied über Körpern der Charakteristik $0$ zu normalem
Polynom
\item In Fachbüchern wird zwischen dem Polynom und der Auswertungsabbildung
meistens \emph{nicht} unterschieden
\item Man kann sich die Auswertungsabbildung von $a\in K\left[t\right]$
in beliebigen $K$-Algebren ansehen
\item Ist $K$ unendlich und $p,q\in K\left[t\right]$, so folgt aus $\tilde{p}=\tilde{q}$
schon $p=q$ (umgekehrt ohnehin).
\end{itemize}

\subsubsection{Auswertungsabbildung über Matrizen}

Zu einem Polynom $a=a_{0}+a_{1}t+\ldots+a_{N}t^{N}\in K\left[t\right]$
kann man eine \emph{Auswertungsabbildung}\index{Auswertungsabbildung},
auch \emph{Polynomfunktion\index{Polynomfunktion}} genannt, definieren:\[
\tilde{\tilde{a}}:K^{n\times n}\rightarrow K^{n\times n}:M\mapsto a_{0}I_{n}+a_{1}M+\ldots+a_{N}M^{N}\]


\begin{itemize}
\item Die Abbildung $\phi_{M}:K\left[t\right]\rightarrow K^{n\times n}:a\mapsto\tilde{\tilde{a}}\left(M\right)$
ist ein $K$-Algebrahomomorphismus.\\
Hiermit ist nicht das Polynom, sondern die Auswertungsabbildung des
Polynoms gemeint.
\item Man kann ebenso eine Auswertungsabbildung in $End_{K}V$ betrachten
für beliebigen $K$-Vektorraum $V$
\item Der Ring $K\left[t\right]$ ist nullteilerfrei, aber der Ring $K^{n\times n}$
nicht (für $n\ge2$)
\item Es gilt für alle $\lambda\in K$\\
$\tilde{\tilde{a}}\left(\lambda I_{n}\right)=\tilde{a}\left(\lambda\right)I_{n}$\\
das heißt falls $\lambda_{0}$ eine Nullstelle von $a$ ist folgt
$\tilde{\tilde{a}}\left(\lambda_{0}I_{n}\right)=0$
\end{itemize}

\subsubsection{Nullstelle}

Sei $a\in K\left[t\right]$ ein Polynom. Die Zahl $\lambda\in K$
heißt \emph{Nullstelle\index{Nullstelle}} von $a\in K\left[t\right]$,
falls $\tilde{a}\left(\lambda\right)=0$.

Hat $a$ den Grad $d\ge1$ und eine Nullstelle $\lambda\in K$. Dann
existiert ein eindeutig bestimmtes Polynom $b\in K\left[t\right]$
mit $\deg b=d-1$ und $a=\left(t-\lambda\right)\cdot b$.

$\left(t-\lambda\right)$ wird \emph{Linearfaktor\index{Linearfaktor}}
genannt, und das zeilegen von $a$ wird \emph{abspalten eines Linearfaktors\index{abspalten eines Linearfaktors}}
bezeichnet.

\begin{itemize}
\item Die Umkehrung gilt ebenfalls. Falls $a=\left(t-\lambda\right)\cdot b$,
dann ist $\lambda$ Nullstelle von $a$.
\item Ein Polynom in $K\left[t\right]$ vom Grad $d$ hat höchstens $d$
paarweise verschiedene Nullstellen.
\end{itemize}

\subsubsection{Vielfachheit}

Seien $a\in K\left[t\right]$ und $\lambda\in K$, so dass $A=\left(t-\lambda\right)^{s}b$
für $s\in\mathbb{N}\backslash\left\{ 0\right\} $ und $b\in K\left[t\right]$
mit $\tilde{b}\left(\lambda\right)=0$. Dann heißt $s$ die \emph{Vielfachheit\index{Vielfachheit}}
der Nullstelle $\lambda$ von $a$ und $\lambda$ heißt $s$-fache
Nullstelle von $a$.

Seien $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r}$ die verschiedenen Nullstellen
von $a\in K\left[t\right]\backslash\left\{ 0\right\} $mit Vielfachheiten
$s_{1},\ldots,s_{r}$. Dann existiert eindeutig ein Polynom $b\in K\left[t\right]$
ohne Nullstellen, so dass\[
a=\left(t-\lambda_{1}\right)^{s_{1}}\cdot\ldots\cdot\left(t-\lambda_{r}\right)^{s_{r}}\cdot b\]



\subsubsection{Fundamentalsatz der Algebra}

Jedes Polynom $a\in\mathbb{C}\left[t\right]$ mit $\deg\ge1$ besitzt
eine Nullstelle in $\mathbb{C}$. Das heißt der Körper $\mathbb{C}$
ist \emph{algebraisch abgeschlossen\index{algebraisch abgeschlossen}}.
Daraus folgt, dass jedes Polynom in Linearfaktoren und eine Konstante
faktorisiert werden kann.

\begin{itemize}
\item In den reellen Zahlen kann man faktorisieren in lineare und quadratische
Polynome.
\end{itemize}

\subsubsection{Polynomdivision\index{Polynomdivision}}

Sind $p,q\in K\left[t\right]$ mit $q\neq0$, so existieren eindeutig
bestimmte Polynome $s,r\in K\left[t\right]$ mit \[
p=s\cdot q+r\]
 und $\textrm{deg}\left(r\right)<\textrm{deg}\left(q\right)$. $r$
ist dabei der \emph{Rest\index{Rest}}, ist $r=0$ so sagt man, $p$
ist durch $q$ \emph{teilbar}\index{teilbar}.

\begin{itemize}
\item Ist $a$ eine Nullstelle des Polynoms $f\in K\left[t\right]$, so
ist $f$ durch $\left(x-a\right)$ teilbar.
\end{itemize}

\subsection{Charakteristisches Polynom}

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine quadratische Matrix.


\subsubsection{Definition}

Die Determinante \[
\chi_{A}=\det\left(A-t\cdot I_{n}\right)\in K\left[t\right]\]
 heißt \emph{charakteristisches Polynom\index{charakteristisches Polynom}}
von $A$.

\begin{itemize}
\item Eigentlich sind Polynome eine Körper und somit wäre die Determinante
nicht definiert. Da sich die Polynome $K\left[t\right]$ aber in den
Körper der rationalen Funktionen $K\left(t\right)$ einbetten lassen,
ist dies kein Problem.
\end{itemize}

\subsubsection{Koeffizienten des Charakteristischen Polynoms}

$\chi_{A}\in K\left[t\right]$ ist ein Polynom vom Grad $n$. $A\in K^{n\times n}$.
Es gilt\[
\chi_{A}=\left(-1\right)^{n}t^{n}+\left(-1\right)^{n-1}\textrm{tr}\left(A\right)t^{n-1}+\ldots+\det A\]


\begin{itemize}
\item Damit lassen sich sich charakteristische Polynome einerseits schnell
überprüfen, und anderseits Polynome vom Grad $2$ direkt angeben.
\end{itemize}

\subsubsection{Diagonalisierbarkeit}

Die Matrix $A\in K^{n\times n}$ ist diagonalisierbar über $K$ genau
dann, wenn $\chi_{A}=\left(\lambda_{1}-t\right)^{e_{1}}\cdots\left(\lambda_{r}-t\right)^{e_{r}}$
und falls für jeden Eigenwert $\lambda_{i}$ die \emph{algebraische
Vielfachheit\index{Vielfachheit}\index{algebraische Vielfachheit}}
$e_{i}$ übereinstimmt mit der geometrischen Vielfachheit.

\begin{itemize}
\item Es gilt $A'=S^{-1}AS=\textrm{diag}\left(\underbrace{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{1}}_{e_{1}\textrm{ mal}},\ldots,\underbrace{\lambda_{r},\ldots,\lambda_{r}}_{e_{r}\textrm{ mal}}\right)$
mit $S=\left(v_{1,1},\ldots,v_{1,d_{1}},\ldots,v_{r,1},\ldots,v_{r,d_{r}}\right)$
und $\left(v_{i,1},\ldots,v_{i,d_{i}}\right)$ Basis des Eigenraumes
von $\lambda_{i}$.
\item Sei $\varphi$ eine \emph{Projektion\index{Projektion}} ($\varphi\circ\varphi=\varphi$).
Ist $B_{1}$ eine Basis von $\textrm{im}\left(\varphi\right)$ und
$B_{2}$ eine Basis von $\textrm{ker}\left(\varphi\right)$ so ist
die Matrix von $\varphi$ bezüglich $B_{1}\cup B_{2}$ eine Diagonalmatrix,
auf deren Diagonalen nur Nullen und einsen stehen, also sind $0$
und $1$ die einzigen Eigenwerte.
\item Potenzen von Matrizen berechnet man am besten in Diagonalgestalt\[
\left(S^{-1}AS\right)^{n}=S^{-1}A^{n}S\]

\end{itemize}

\subsubsection{Komplexe Matrizen}

Eine Matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ist diagonalisierbar über
$\mathbb{C}$ genau dann wenn für jeden Eigenwert stimmen algebraische
und geometrische Vielfachheit überein. 

Für $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ zerfällt $\chi_{A}$ immer in Linearfaktoren.

Jede komplexe Matrix hat einen Eigenwert.


\subsubsection{Satz von Cayley Hamilton}

Sei $A\in K^{n\times n}$. Dann gilt \[
\tilde{\tilde{\chi}}_{A}\left(A\right)=0\]


\begin{itemize}
\item Kann benutzt werden um einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen
zu finden.
\end{itemize}

\subsubsection{Minimalpolynom}

Für jede Matrix $A\in K^{n\times n}$ existiert genau ein Polynom
$\mu_{A}\in K\left[t\right]$ mit $\tilde{\tilde{\mu}}_{A}\left(A\right)=0$
minimalen Grades mit Leitkoeffizienten $1$. Der \emph{Leitkoeffizient\index{Leitkoeffizient}}
eines Polynoms $p=\alpha_{0}+\alpha_{1}t+\ldots+\alpha_{n}t^{n}$
ist für $\alpha_{n}\neq0$ gleich $\textrm{lcf}\left(p\right)=\alpha_{n}$.
$\mu_{A}$ heißt \emph{Minimalpolynom}\index{Minimalpolynom} von
$A$.

\begin{itemize}
\item Die Existenz annulierender Polynome (Minimalpolynom und Satz von Cayley
Hamilton) ist nur in endlichdimensionalen Vektorräumen gesichert.
\item Ähnliche Matrizen haben dasselbe Minimalpolynom
\item zu $A\in K^{n\times n}$ haben $\chi_{A}$ und $\mu_{A}$ dieselben
Nullstellen
\item Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom.
\item Falls das Charakteristische Polynom keine Nullstelle, bzw. jede nur
mit Algebraischer Vielfachheit $1$ hat gilt:\[
\mu_{A}=\chi_{A}\]

\end{itemize}

\section{Diagonalisierung normaler Matrizen}

Im Folgenden ist stets $K\in\left\{ \mathbb{R},\mathbb{C}\right\} $
und $\left(\mathbb{K}^{n},\left\langle .,.\right\rangle \right)$
standard euklidischer bzw. unitärer Raum.


\subsection{Normale Matrizen}


\subsubsection{Adjungierte}

Für $A=\left(a_{ij}\right)\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ist $A^{*}=\left(\overline{a_{ji}}\right)=\overline{A}^{T}=\overline{A^{T}}$
die \emph{Adjungierte\index{Adjungierte}} von $A$.

Es gelten folgende Rechenregeln

\begin{enumerate}
\item $\left(A+B\right)^{*}=A^{*}+B^{*}$
\item $\left(A\cdot B\right)^{*}=B^{*}\cdot A^{*}$
\item $\left(\lambda A\right)^{*}=\overline{\lambda}A^{*}$ für $\lambda\in\mathbb{C}$
\item $A^{**}=A$
\item Falls $\forall i,j:a_{ij}\in\mathbb{R}$ gilt $A^{*}=A^{T}$
\end{enumerate}

\subsubsection{symmetrisch und hermitesch}

Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$

\begin{enumerate}
\item $A$ \emph{symmetrisch\index{symmetrisch}}: $\Leftrightarrow A=A^{T}$
\item $A$ \emph{schiefsymmetrisch}\index{schiefsymmetrisch}: $\Leftrightarrow A=-A^{T}$
\item $A$ \emph{hermitesch}\index{hermitesch}: $\Leftrightarrow A=A^{*}$
\item $A$ \emph{schiefhermitesch}\index{schiefhermitesch}: $\Leftrightarrow A=-A^{*}$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Der Rang von schiefhermiteschen Matrizen ist gerade.
\end{itemize}

\subsubsection{Zerlegungen von Matrizen}

Es gilt für $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$

\begin{enumerate}
\item $A=\underbrace{\frac{1}{2}\left(A+\overline{A}\right)}_{\textrm{reell}}+\underbrace{\frac{1}{2}\left(A-\overline{A}\right)}_{\textrm{imaginär}}$
\item $A=\underbrace{\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)}_{\textrm{symmetrisch}}+\underbrace{\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right)}_{\textrm{schiefsymmetrisch}}$
\item $A=\underbrace{\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right)}_{\textrm{hermitesch}}+\underbrace{\frac{1}{2}\left(A-A^{*}\right)}_{\textrm{schiefhermitesch}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{Eigenschaften des Skalarproduktes}

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ und $v,w\in\mathbb{C}^{n}$. Es
gilt\begin{eqnarray*}
\left\langle Av,w\right\rangle  & = & \left\langle v,A^{*}w\right\rangle \\
\left\langle v,Aw\right\rangle  & = & \left\langle A^{*}v,w\right\rangle \end{eqnarray*}



\subsubsection{Normale Matrizen}

Eine Matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt \emph{normal\index{normal}},
falls gilt \[
A\cdot A^{*}=A^{*}\cdot A\]


Folgende Matrizen sind normal:

\begin{enumerate}
\item unitäre Matrizen
\item reelle orthogonale Matrizen
\item Diagonalmatrizen
\item hermitesche und schiefhermitesche Matrizen
\item reelle symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen
\end{enumerate}

\subsection{Normale Matrizen und Eigenwerte}

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ normal.


\subsubsection{Erzeugen von weiteren normalen Matrizen}

\begin{enumerate}
\item $A-\lambda I_{n}$ normal für beliebiges $\lambda\in\mathbb{C}$
\item $Q^{*}AQ=Q^{-1}AQ$ normal für unitäres $Q$
\end{enumerate}

\subsubsection{Eigenwerte von Adjungierte}

Sei $\lambda\in\mathbb{C}$ Eigenwert von $A$ und $v$ zugehöriger
Eigenvektor. Dann ist $\overline{\lambda}$ Eigenwert von $A^{*}$
mit Eigenvektor $v$.

\begin{itemize}
\item Siehe \vref{sub:Eigenwerte-ReellerMat-in-C}
\end{itemize}

\subsubsection{Eigenwerte von hermitescher Matrix}

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ hermitesche Matrix. Dann sind alle
Eigenwerte von $A$ reell. Insbesondere sind alle komplexen Eigenwerte
einer reellen symmetrischen Matrix reell.


\subsubsection{Orthogonalität\index{Orthogonal} von Eigenvektoren\index{Eigenvektoren}}

Sei $A\in C^{n\times n}$ normal. Dann sind die Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten orthogonal.


\subsection{Eigenschaften spezieller normaler Matrizen}


\subsubsection{Normale Matrizen}

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Äquivalent sind:

\begin{enumerate}
\item $A$ ist normal\index{normal}
\item $\mathbb{C}^{n}$ besitzt Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $A$
\item Es existiert $Q\in U_{n}\mathbb{C}$, so dass $Q^{-1}AQ$ Diagonalmatrix
\end{enumerate}

\subsubsection{Hermitesche Matrizen}

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Äquivalent sind:

\begin{enumerate}
\item $A$ ist hermitesch\index{hermitesch}
\item $A$ normal \& alle Eigenwerte reell
\item Es existiert $Q\in U_{n}\mathbb{C}$, so dass $Q^{-1}AQ$ eine reelle
Diagonalmatrix ist
\end{enumerate}

\subsubsection{Symmetrische Matrizen}

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Äquivalent sind:

\begin{enumerate}
\item $A$ symmetrisch\index{symmetrisch}
\item $\mathbb{R}^{n}$ besitzt Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $A$
\item Es existiert $Q\in U_{n}\mathbb{R}$, so dass $Q^{-1}AQ$ (reelle)
Diagonalmatrix
\end{enumerate}

\subsubsection{Unitäre Matrizen}

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Äquivalent sind:

\begin{enumerate}
\item $A$ unitär\index{unitär}, d.h. $A\in U_{n}\mathbb{C}$
\item $A$ normal \& alle Eigenwerte haben Betrag $1$
\item Es existiert $Q\in U_{n}\mathbb{C}$, so dass $Q^{-1}AQ$ Diagonalmatrix
mit Elementen vom Betrag $1$.
\end{enumerate}

\section{Jordansche Normalform}


\subsection{Jordanblock\index{Jordanblock}}


\subsubsection{Definition}

Ein \emph{Jordanblock\index{Jordanblock}} ist eine Matrix\[
J_{m,\lambda}=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda & 1 &  & 0\\
 & \ddots & \ddots\\
 &  & \ddots & 1\\
0 &  &  & \lambda\end{array}\right)\in K^{m\times m}\]
mit $m\in\mathbb{N}\backslash\left\{ 0\right\} $.


\subsubsection{Diagonalisierbarkeit\index{Diagonalisierbarkeit}}

Ein Jordanblock ist \emph{nicht} diagonalisierbar. Der Eigenraum zum
Eigenwert $\lambda$ ist $1$-dimensional. Es gilt\[
\chi_{J_{m,\lambda}}=\left(\lambda-t\right)^{m}\]


\begin{itemize}
\item $e_{1}$ ist Basisvektor des Eigenraums.
\end{itemize}

\subsubsection{Mimimalpolynom\index{Mimimalpolynom}}

Für das Minimalpolynom gilt\[
\mu_{J_{m,\lambda}}=\chi_{J_{m,\lambda}}=\left(\lambda-t\right)^{m}\]



\subsection{Jordansche Normalform}


\subsubsection{Definition}

Eine Matrix $A\in K^{n\times n}$ besitzt \emph{Jordansche Normalform\index{Jordansche Normalform}}
falls sie eine Blockdiagonalmatrix aus Jordanblöcken ist, d.h.\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
J_{m_{1},\lambda_{1}} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & J_{m_{k},\lambda_{k}}\end{array}\right)\]



\subsubsection{Allgemeinheit der Jordanschen Normalform}

Sei $V=\mathbb{C}^{n}$ und $\varphi\in End_{\mathbb{C}}V$. Dann
existiert eine Basis $\mathcal{B}$ von $V$, so dass $\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}}$
Jordansche Normalform hat.

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Dann ist $A$ ähnlich zu einer
Matrix in Jordanscher Normalform.


\subsubsection{Ähnlichkeit von Matrizen}

Zwei komplexe Matrizen sind \emph{ähnlich\index{ähnlich}} genau dann,
wenn sie (bis auf Umordnung der Jordanblöcke) dieselbe Jordansche
Normalform haben.


\subsection{verallgemeinerter Eigenvektor}


\subsubsection{Eigenschaften einer Blockdiagonalmatrize mit Jordanblock}

Sei $V=\mathbb{C}^{n}$, $\varphi\in End_{\mathbb{C}}V$, $\lambda$
Eigenwert von $\varphi$. Sei $\mathcal{B}=\left(v_{1},\ldots,v_{m},v_{m+1},\ldots,v_{n}\right)$
eine Basis von $V$, so dass \[
\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cc}
J_{m,\lambda} & *\\
0 & *\end{array}\right)\]
Dann gilt\begin{eqnarray*}
\varphi\left(v_{1}\right) & = & \lambda v_{1}\\
\varphi\left(v_{2}\right) & = & v_{1}+\lambda v_{2}\\
 & \vdots\\
\varphi\left(v_{m}\right) & = & v_{m-1}+\lambda v_{m}\end{eqnarray*}


was äquivalent ist zu\begin{eqnarray*}
\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{1} & = & 0\\
\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{2} & = & v_{1}\\
 & \vdots\\
\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{m} & = & v_{m-1}\end{eqnarray*}



\subsubsection{Jordankette}

Eine Familie $\left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)\in V$ heißt \emph{Jordankette\index{Jordankette}}
zum Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$, falls $v_{1}\neq0$ und\begin{eqnarray*}
\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{1} & = & 0\\
\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{2} & = & v_{1}\\
 & \vdots\\
\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{m} & = & v_{m-1}\end{eqnarray*}
 gilt.

\begin{itemize}
\item Eine Jordankette zum Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$ ist linear
unabhängig
\end{itemize}

\subsubsection{verallgemeinerter Eigenvektor}

Ein Vektor $v\in V\backslash\left\{ 0\right\} $ heißt \emph{verallgemeinerter
Eigenvektor\index{verallgemeinerter Eigenvektor}\index{Eigenvektor}}
(auch: \emph{Hauptvektor\index{Hauptvektor}}) von $\varphi$ zum
Eigenwert $\lambda$, falls es ein $k\in\mathbb{N}\backslash\left\{ 0\right\} $
gibt, so dass \[
\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)^{k}v=0\]
gilt. Das kleinste $k\in\mathbb{N}$, für dass diese Gleichung gilt,
heißt \emph{Stufe\index{Stufe}} von $v$.


\subsubsection{verallgemeinerter Eigenraum}

\begin{eqnarray*}
V^{\lambda}\left(\varphi\right) & = & \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\ker\left(\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)^{k}\right)\\
 & \supseteq & \textrm{lin}\left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)\end{eqnarray*}
heißt \emph{verallgemeinerter Eigenraum\index{verallgemeinerter Eigenraum}\index{Eigenraum}}
von $\varphi$ bezüglich $\lambda$.

Seien $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$ alle paarweise verschiedene
Eigenwerte von $\varphi$. Dann gilt\[
V=V^{\lambda_{1}}\left(\varphi\right)\oplus\ldots\oplus V^{\lambda_{k}}\left(\varphi\right)\]


\begin{itemize}
\item Dies ist ein Untervektorraum von $V$\\
$V^{\lambda}\left(\varphi\right)\le V$
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Lin-Unabh-Jordanketten}Lineare Unabhängigkeit von Jordankettenfamilie}

Sei \[
\mathcal{C}=\left(\underbrace{v_{1}^{1},\ldots,v_{l_{1}}^{1}}_{l_{1}\textrm{ stk.}},\underbrace{v_{1}^{2},\ldots,v_{l_{2}}^{2}}_{l_{2}\textrm{ stk.}},\ldots,\underbrace{v_{1}^{s},\ldots,v_{l_{s}}^{s}}_{l_{s}\textrm{ stk.}}\right)\]
 eine Familie von $s$ Jordanketten zum Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$,
d.h.\begin{eqnarray*}
\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)v_{j+1}^{i} & = & v_{j}^{i}\qquad1\le j<l_{i}\\
\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)v_{1}^{i} & = & 0\end{eqnarray*}
Falls $\left(v_{1}^{1},\ldots,v_{1}^{s}\right)$ linear unabhängig
ist auch $\mathcal{C}$ linear unabhängig.

\begin{itemize}
\item Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes enspricht der Anzahl
der Jordanketten zu diesem Eigenwert.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Jordanfamilie-verkuerzen}Verkürzen eines Jordan Erzeugendensystem}

Sei $\mathcal{C}$ wie in \vref{sub:Lin-Unabh-Jordanketten}, aber
linear abhängig. Dann existiert eine Familie $\mathcal{C}'$ von Jordanketten
mit $\textrm{lin}\left(\mathcal{C}\right)=\textrm{lin}\left(\mathcal{C}'\right)$,
aber $\mathcal{C}'$ enthält einen Vektor weniger als $\mathcal{C}$.

Um dieses umzuformen wie folgt vorgehen:

\begin{enumerate}
\item aus \vref{sub:Lin-Unabh-Jordanketten} folgt, das $\left(v_{1}^{1},\ldots,v_{1}^{s}\right)$
linear abhängig. Das heißt, es existiert $\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)\in\mathbb{C}$
die nicht komplett aus Nullen besteht mit \[
\sum_{i=1}^{s}\alpha_{i}v_{1}^{i}=0\]

\item Sei $j\in\left\{ 1,\ldots,s\right\} $, so dass $l_{j}$ minimal mit
$\alpha_{j}\neq0$. Da sich die Eigenschaft der linearen Abhängikeit
unter Vertauschung der Elemente in einer Familie nicht ändert, lässt
sich die kürzeste Jordankette dessen erster Vektor linear abhängig
ist an den Anfang der Familie tauschen. Es gilt also o.E. $j=1$ und
$\alpha_{1}\neq0$
\item Fallunterscheidung über die Länge der nun ersten Kette

\begin{enumerate}
\item $l_{1}=1$

\begin{enumerate}
\item streiche $v_{1}$ aus $\mathcal{C}$, um $\mathcal{C}'$ zu erhalten
\end{enumerate}
\item $l_{1}\ge2$

\begin{enumerate}
\item Setze \[
\tilde{v}_{p}^{1}=v_{p+1}^{1}+\sum_{{{\alpha_{i}\neq0\atop i\neq11}}}\frac{\alpha_{i}}{\alpha_{1}}v_{p+1}^{i}\]
 für $1\le p\le l_{1}-1$\\
Wegen der Minimalität von $l_{1}$ existieren die Vektoren $v_{p+1}^{i}$
\item Nun bildet $\left(\tilde{v}_{1}^{1},\ldots,\tilde{v}_{l_{1}-1}^{1}\right)$
eine Jordankette der Länge $l_{1}-1$
\item Ersetze $\left(v_{1}^{1},\ldots,v_{l_{1}}^{1}\right)$ in $\mathcal{C}$
durch $\left(\tilde{v}_{1}^{1},\ldots,\tilde{v}_{l_{1}-1}^{1}\right)$
um $\mathcal{C}'$ zu erhalten.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item Es gilt $\textrm{lin}\left(\mathcal{C}'\right)=\textrm{lin}\left(\mathcal{C}\right)$
\end{enumerate}

\subsubsection{Jordanbasis}

Für jeden Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$ besitzt der verallgemeinerte
Eigenraum $V^{\lambda}\left(\varphi\right)$ eine \emph{Jordanbasis\index{Jordanbasis}}
$J$, das heisst eine Basis von $V^{\lambda}\left(\varphi\right)$
mit\[
\left[\varphi|_{V^{\lambda}\left(\varphi\right)}\right]_{J}^{J}\]
 in Jordanscher Normalform.


\subsection{Berechnung der Jordan-Normalform}

Sei $V=\mathbb{C}^{n}$ und $\varphi\in End_{\mathbb{C}}V$.

\begin{enumerate}
\item Bestimme die Eigenwerte von $\varphi$ \[
\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}\]
 mit algebraischen Vielfachheiten\[
e_{1},\ldots,e_{k}\]
in $\mathbb{C}$ gilt bekanntlich $e_{1}+\ldots+e_{k}=n$.
\item Für jeden Eigenwert $\lambda_{i}$:\\
Bestimme ein Basis des verallgemeinerten Eigenraumes $V^{\lambda_{i}}\left(\varphi\right)$.
Dazu:

\begin{enumerate}
\item schrittweise Lösen der linearen Gleichungssysteme \[
\left(\varphi-\lambda_{i}\textrm{id}\right)^{j}v=0\]
für $j=1,2,\ldots\le e_{i}$ bis man $e_{i}$ linear unabhängige Lösungen
gefunden hat. Hierbei tauchen die die Lösungen für $\left(\varphi-\lambda_{i}\textrm{id}\right)^{j}v=0$
bei $\left(\varphi-\lambda_{i}\textrm{id}\right)^{j+1}v=0$ wieder
auf.
\item Für jeden dieser $e_{i}$ Vektoren $v$ bilde seine Jordanketten durch
anwenden von $\left(\varphi-\lambda_{i}\textrm{id}\right)v$ (bis
man $0$ erhält).
\item Setze diese Jordanketten zu einer Familie zusammen und verkürze sie
schrittweise durch Anwendung von \vref{sub:Jordanfamilie-verkuerzen},
bis man eine Basis (der Länge $e_{i}$) erhält.
\item Man hat nun also für jedes $\lambda_{i}$ eine Basis der Form\begin{eqnarray*}
\mathcal{C}_{i} & = & \left(\underbrace{v_{i1}^{1},\ldots,v_{il_{i1}}^{1}}_{l_{i1}\textrm{ stk.}},\underbrace{v_{i1}^{2},\ldots,v_{il_{i2}}^{2}}_{l_{i2}\textrm{ stk.}},\right.\\
 &  & \left.\ldots,\underbrace{v_{i1}^{s_{i}},\ldots,v_{il_{is_{i}}}^{s_{i}}}_{l_{is_{i}}\textrm{ stk.}}\right)\end{eqnarray*}
wobei auch die $l,s,v$ von $i$ abhängig sind. Es gilt $e_{i}=l_{i1}+l_{i2}+\ldots+l_{is_{i}}$
und $s_{i}\le e_{i}$
\end{enumerate}
\item Matrix des Basiswechsels (zur Jordan Normalform) besitzt als Spalten
verallgemeinerte Eigenvektoren aus 2). Diese Kettenweise aufsteigend
sortieren!\begin{eqnarray*}
\left[\varphi\right]_{\mathcal{C}} & = & \mathcal{C}^{-1}\left[\varphi\right]_{E}\mathcal{C}\\
 & = & \textrm{diag}\left(J_{l_{11},\lambda_{1}},\ldots,J_{l_{1s_{1}},\lambda_{1}},\right.\\
 &  & \left.J_{l_{21},\lambda_{2}},\ldots,J_{l_{2s_{2}},\lambda_{2}},\ldots J_{l_{ks_{k}},\lambda_{k}}\right)\end{eqnarray*}
wobei die für die Basiswechselmatrizen gilt\[
\mathcal{C}=\left(\mathcal{C}_{1},\ldots,\mathcal{C}_{k}\right)\]

\end{enumerate}

\section{Quadratische Formen}


\subsection{Definition}

Sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum


\subsubsection{Definition}

Eine Abbildung $Q:V\rightarrow\mathbb{R}$ heißt \emph{quadratische
Form\index{quadratische Form}}, falls für alle $\lambda\in\mathbb{R}$,
$u,v\in V$ gilt 

\begin{enumerate}
\item $Q\left(\lambda\cdot v\right)=\lambda^{2}Q\left(v\right)$
\item Folgendes ist eine symmetrische Bilinearform\begin{eqnarray*}
\beta_{Q} & : & V\times V\rightarrow\mathbb{R}\\
 & : & \left(u,v\right)\mapsto\frac{1}{2}\left(Q\left(u+v\right)-Q\left(u\right)-Q\left(v\right)\right)\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\subsubsection{assoziierte quadratische Form}

Sei $\beta$ eine beliebige symmetrische Bilinearform auf $V=\mathbb{R}^{n}$.
Dann ist \[
Q:V\rightarrow\mathbb{R}:v\mapsto\beta\left(v,v\right)\]
 eine quadratische Form. $Q$ heißt die zu $\beta$ \emph{assoziierte
quadratische Form\index{assoziierte quadratische Form}.}

\begin{itemize}
\item Die Beziehungen aus diesem und dem letzten Punkt zwischen quadratischer
Form und Bilinearform gelten allgemein über beliebigen Körpern, in
denen $1+1\neq0$ gilt.
\end{itemize}

\subsection{Matrizen}

Sei nun $V=\mathbb{R}^{n}$ und $\mathcal{B}=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$
Basis von $V$.


\subsubsection{Matrizen zu Bilinearformen}

Sei $\beta:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ symmetrische Bilinearform.\[
\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}=\left(\beta\left(v_{i},v_{j}\right)\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathbb{R}^{n\times n}\]
 heißt \emph{Matrix\index{Matrix}} von $\beta$ bezüglich $\mathcal{B}.$

\begin{itemize}
\item $\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}$ist symmetrisch, d.h.\\
$\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}=\left(\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}\right)^{T}$
\item Die Matrix des euklidischen Skalarproduktes $\left\langle .,.\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{R}$
auf $V$ und $\mathcal{B}=\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)$ ist\[
\left[\left\langle .,.\right\rangle \right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}
1 &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & 1\end{array}\right)=I_{n}\]
weil $\mathcal{B}$ eine Orthonormalbasis ist.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Bilinearform-zu-Matrix}Bilinearform zu Matrix}

Sei $B=\left(b_{ij}\right)\in\mathbb{R}^{n\times n}$ eine symmetrische
Matrix. Dann definiert \[
\left(u,v\right)\mapsto u^{T}Bv\]
 eine symmetrische Bilinearform auf $V$.


\subsubsection{Matrix zu verschiedenen Basen}

Sei $\mathcal{B}'=\left(v_{1}^{'},\ldots,v_{n}^{'}\right)$ eine weitere
Basis von $V$, und sei $\beta:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ symmetrische
Bilinearform auf $V$ mit Matrizen $A=\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}$
und $A'=\left[\beta\right]_{\mathcal{B}'}$ Es sei ferner $S\in GL_{n}\mathbb{R}$
die Matrix des Basiswechsels von $\mathcal{B}'$ nach $\mathcal{B}$,
das heißt \[
S=\left[\textrm{id}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\]
 und \[
\left(\begin{array}{c}
s_{i1}\\
\vdots\\
s_{in}\end{array}\right)=\left[v_{i}'\right]_{\mathcal{B}}\]


\[
A'=S^{T}AS\]


\begin{itemize}
\item siehe auch \vref{sub:Matrix-bez=FCglich-Basen}.
\end{itemize}

\subsection{Quadrik}

Sei $V=\mathbb{R}^{n}$ der euklidische Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt
$\left\langle .,.\right\rangle $


\subsubsection{Hauptachsen}

Sei $\beta:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ eine symmetrische Bilinearform.
Dann existiert eine Orthonormalbasis \[
\mathcal{B}=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)\]
von $\mathbb{R}^{n}$, so dass \[
\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_{1}\\
 & \ddots\\
0 &  & \lambda_{n}\end{array}\right)\]
Diagonalmatrix ist. Die eindimensionalen Teilräume \[
\textrm{lin}\left(v_{i}\right)=\mathbb{R}v_{i}\]
 heißen \emph{Hauptachsen}\index{Hauptachsen} von $\beta$.

Um eine Matrix in Hauptachsenform zu bringen siehe Diagonalisierung
von Matrizen unter \vref{sub:Diagonalisierung-von-Abbildung}. Diese
Transformation heißt \emph{Hauptachsentransformation}\index{Hauptachsentransformation}.

\begin{itemize}
\item Mit $\mathbb{R}v_{i}=\left\{ \lambda v_{i}|\lambda\in\mathbb{R}\right\} $ 
\end{itemize}

\subsubsection{Quadrik}

Für eine quadratische Form $Q:V\rightarrow\mathbb{R}$ heißt \[
\left\{ v\in V|Q\left(v\right)=1\right\} \]
 die zu $Q$ gehörige Quadrik.

In Hauptachsenform erhält gilt \[
\sum_{i}x_{i}^{2}\lambda_{i}=1\]
und man die \emph{Achsenschnittpunkte\index{Achsenschnittpunkte}}
durch \[
x_{i}=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{i}}}\]


\begin{itemize}
\item Die Hauptachsentransformation spiegelt und dreht die Quadriken lediglich
\item Im $\mathbb{R}^{2}$ gibt es folgende Fälle 

\begin{description}
\item [Hyperbel\index{Hyperbel}]für $\lambda_{1}<0$ und $\lambda_{2}>0$
(bzw. andersrum)
\end{description}
\begin{itemize}
\item Spezialfall \emph{Parabel\index{Parabel}}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Ellipse\index{Ellipse}]für $\lambda_{1},\lambda_{2}>0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Spezialfall \emph{Kreis\index{Kreis}}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Gerade\index{Gerade}]für $\lambda_{1}=0$ und $\lambda_{2}\neq0$
(bzw. andersrum)
\end{description}
\end{itemize}
\printindex{}
\end{document}