Determinanten

Typen von Abbildungen

Eine Abbildung $F:\underbrace{K^{n}\times\ldots\times K^{n}}_{n-mal}\rightarrow K$ (für $n\ge1$) heißt:

Multilinearform auf $K^{n}$

(oder $n$-Form) falls gilt: $\forall\lambda,\mu\in K$ $\forall x,y\in K^{n}$ $\forall v_{k}\in K^{n}$ $\forall i\in\left\{ 1,\ldots,n\right\}$

$${\scriptstyle F\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},\lambda x+\mu y,v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)}$$

$${\scriptstyle =\lambda F\left(v_{1},\ldots,x,\ldots,v_{n}\right)+\mu F\left(v_{1},\ldots,y,\ldots,v_{n}\right)}$$

• $F$ ist linear in jedem Argument
• Addition von Multilinearformen und Multiplikation mit einem Skalar behalten Multlinearität bei

alternierende Multilinearform auf $K^{n}$

falls zusätzlich gilt: $\forall i\neq j$ $\forall v_{k}\in K^{n}$

$$F\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)=0$$

falls $v_{i}=v_{j}$ für $i\neq j$

• Hieraus folgt: für $i\neq j$

$$F\left(\ldots,v_{i},\ldots,v_{j},\ldots\right)=-F\left(\ldots,v_{j},\ldots,v_{i},\ldots\right)$$

• Falls $F$ eine alternierende Multilinearform mit $F\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)=0$ ist, folgt dass $F=0$ sein muss.
• Wenn $F,G$ zwei alternierende Multilinearfomens sind, gilt $F\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)=G\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)\Rightarrow F=G$

Determinantenform auf $K^{n}$

(auch normiert alternierende Multilinearform) fall zusätzlich gilt:

$$F\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)=F\left(I_{n}\right)=1$$

• auf $K^{1}=K$ ist die einzige mögliche Determinantenform $\textrm{id}_{K}$
• Die Abbildung $f:K^{2}\times K^{2}\rightarrow K:\left(\left(\begin{array}{c} u_{1}\\ u_{2}\e... ...{array}{c} v_{1}\\ v_{2}\end{array}\right)\right)\mapsto u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}$ ist Determinantenform auf $K^{2}$
• Die Determinantenform ist so bereits eindeutig definiert

lineare Unabhängigkeit

Sei $f:\underbrace{K^{n}\times\ldots\times K^{n}}_{n-mal}\rightarrow K$ eine Determinantenform und $v_{1},\ldots,v_{n}\in K^{n}$. Falls $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ linear abhängig, gilt

$$F\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)=0$$

Laplace Entwicklung

Konstruiere Determinantenform $D_{n}$ auf $K^{n}$.

$$D_{1}=id_{K}$$

$$D_{2}:K^{2}\times K^{2} \rightarrow K$$

$$\left(\left(\begin{array}{c} u_{1}\\ u_{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} v_{1}\\ v_{2}\end{array}\right)\right) \mapsto u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}$$

Für $n\ge2$ konstruiere induktiv Determinantenform für $A=\left(\alpha_{ij}\right)\in K^{n\times n}$

$$D_{n}:K^{n\times n}\rightarrow K$$

$$D_{n}\left(A\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(-1\right)^{i+j}\alpha_{ij}D_{n-1}\left(A_{ij}\right)$$

für ein beliebiges $i\in\left\{ 1,\ldots,n\right\}$. Dabei ist

$$A_{ij} = \left(\begin{array}{ccccc} \alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1j} & \... ...alpha_{n1} & \ldots & \alpha_{nj} & \ldots & \alpha_{nn}\end{array}\right)_{ij}$$

$$= \left(\begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \ldots & \ldots & \alpha_... ...ddots & \vdots\\ \alpha_{n1} & \ldots & \ldots & \alpha_{nn}\end{array}\right)$$

die Matrix $A$ bei der die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte gestrichen wurden.

• Notation: Statt $D_{n}\left(A\right)$ schreibe $\left\vert\left(\alpha_{ij}\right)_{ij}\right\vert$
• Diese Formel wird auch die Entwicklung nach einer Spalte genannt
• Alternativ lässt sich auch nach einer Zeile entwickeln

Determinante

Die Abbildung

$$\det=D_{n}:K^{n\times n}\rightarrow K$$

heißt die Determinante auf $K^{n}$.

• $\det\left(A^{Tr}\right)=\det\left(A\right)$
• $\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det\left(B\right)$
• Falls $A$ invertierbar, gilt $\det\left(A\right)\neq0$ und $\det\left(A^{-1}\right)=\left(\det\left(A\right)\right)^{-1}$
• $\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det\left(A\right)$

Eigenschaften invertierbarer Matrizen

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine quadratische Matrix. Äquivalent sind:

1. $A\in GL_{n}\left(K\right)$, d.h. $A$ ist invertierbar
2. $\det\left(A\right)\neq0$
3. $\dim\left(\ker\left(\varphi_{A}\right)\right)=0$
4. Das LGS $Ax=b$ ist für alle $b\in K^{n}$ eindeutig lösbar
5. Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig
6. Die Zeilen von $A$ sind linear unabhängig
7. $\textrm{rank}A=n$
8. $\lambda=0$ ist kein Eigenwert von $A$

Ähnlichkeit von Matrizen

Zwei Matrizen $A,B\in K^{n\times n}$ heißen ähnlich, falls es ein $S\in GL_{n}\left(K\right)$ gibt mit

$$B=S^{-1}AS$$

• ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante, gleiche Spur und gleiches charakterisitsches Polynom
• siehe Basiswechsel sub:Basiswechsel-von-Abbildungen.

Determinante von linearen Abbildungen

Seien $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ Basen von $K^{n}$ und $\varphi:K^{n}\rightarrow K^{n}$ linear. Dann existiert ein $S\in GL_{n}\left(K\right)$ mit

$$\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'}=S^{-1}\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}S$$

Dies bedeutet, das die die Determinante zu einer linearen Abbildung unabhängig von der konkreten Wahl der Basis ist.

$$\det\left(\varphi\right)=\det\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}$$

• Siehe auch sub:Matrix-bez=FCglich-Basen.

Leibnizformel

Sei $A=\left(\alpha_{ij}\right)\in K^{n\times n}$. Es gilt

$$\det A=\sum_{\sigma\in\textrm{Sym}\left\{ 1,\ldots,n\right\} }\textrm{sign}\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}\alpha_{\sigma\left(i\right),i}$$

Dreiecksmatrix

Sei $A=\left(\alpha_{ij}\right)\in K^{n\times n}$ eine obere Dreiecksmatrix, d.h. $\alpha_{ij}=0$ für $i>j$. Dann gilt

$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\alpha_{ii}$$

• gleiches gilt für untere Dreiecksmatrizen, d.h. $\alpha_{ij}=0$ für $i<j$
• Entspricht dem Produkt der Diagonalelementen

Determinantenberechnung mit dem Gauß-Jordan-Eliminationsalgorithmus

Sei $A\in K^{n\times n}$ belibig. Der Gauß-Jordan-Eliminationsalgorithmus (siehe sub:Gauss-Jordan) formt $A$ um durch endlich viele elementare Zeilenoperationen (siehe sub:Zeilenoperationen) zu einer Matrix $B$ in Zeilenstufenform (insbesondere obere Dreiecksmatrix).

Die elementaren Zeilenumformungen entsprechen einer Multiplikation mit einer Matrix von Links. Die Determinanten dieser Matrizen müssen berücksichtigt werden:

1. $\left(E1\right)$ $\det\left(L'\right)=$1 (Addition eines vielfachen einer Zeile zu einer anderen)
2. $\left(E2\right)$ $\det\left(L'\right)=-1$ (Vertauschung zweier Zeilen)
3. $\left(E3\right)$ $\det\left(L'\right)=\lambda$ (Multiplikation einer Zeilen mit $\lambda$)

Falls man sich also bei jeder Umformung diese Konstanten merkt und aufmultipliziert, kann man sie hinterher wieder herausteilen, und erhält somit die Determinante von $A$ als Produkt der Diagonalen von $B$ geteilt durch diese Konstanten.

Determinante von Blockmatrizen

Für eine Blockmatrix

$$A=\left(\begin{array}{cccc} A_{1} & & & 0\\ & A_{2}\\ & & \ddots\\ 0 & & & A_{r}\end{array}\right)$$

mit $A\in K^{n\times n}$, $A_{i}\in K^{n_{i}\times n_{i}}$, $n=\sum_{i=1}^{r}n_{i}$ gilt

$$\det\left(A\right)=\prod_{i=1}^{r}\det\left(A_{i}\right)$$

.

Adjungierte Matrix

Sei $A=\left(\alpha_{i,j}\right)\in K^{n\times n}$. Mit

$$A_{i,j}=\left(\begin{array}{cccccc} {\scriptstyle \alpha_{1,1}} &... ...n,j+1}} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle \alpha_{n,n}}\end{array}\right)$$

$$\alpha_{i,j}' = \left(-1\right)^{i+j}\det\left(A_{i,j}\right)$$

heißt die Matrix

$$\textrm{adj}A=\left(\alpha_{i,j}'\right)_{ij}$$

die Adjungierte oder Adjunkte von $A$.

• $\det A=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i,j}\cdot\alpha_{i,j}'$
• $\left(\textrm{adj}A\right)^{tr}A=\left(\det A\right)I_{n}$
• Falls $A$ invertierbar gilt:
  $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\textrm{adj}A\right)^{tr}$