Bilinearform

Sei $K$ ein beliebiger Körper und $V$ ein $K-VR$.

Definition

Eine Abbildung $f:V\times V\rightarrow K$ heißt $K$-Bilinearform, falls gilt $\left(B\right)$

1. $f\left(\alpha u+\beta u',v\right)=\alpha f\left(u,v\right)+\beta f\left(u',v\right)$
2. $f\left(u,\alpha v+\beta v'\right)=\alpha f\left(u,v\right)+\beta f\left(u,v'\right)$

ausgeartet

Die $K$-Biliniearform heißt ausgeartet, falls $\exists u\neq0$ mit $f\left(u,v\right)=0$ für alle $v\in V$.

symmetrisch

Sei $f:V\times V\rightarrow K$ eine Abbildung. Falls $f\left(u,v\right)=f\left(v,u\right)$ für $\forall u,v\in V$ gilt, wird $f$ als symmetrisch bezeichnet. $\left(S\right)$

Standardbilinearform

Sei $V=K^{d}$ und $u=\left(\begin{array}{c} u_{1}\\ \vdots\\ u_{d}\end{array}\right)$, $v=\left(\begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{d}\end{array}\right)$ mit $u,v\in V$ und $d\ge1$. Setze $f\left(u,v\right)=u^{T}v=\sum_{i=1}^{d}u_{i}v_{i}$. $f\left(u,v\right)$ ist die Standardbilinearform auf $K^{d}$.

• $f$ ist nicht ausgeartet
• $f$ ist symmetrisch
• $\left\langle u,Av\right\rangle =\left\langle A^{T}u,v\right\rangle$
• $\left\langle u,vA\right\rangle =\left\langle uA^{T},v\right\rangle$
• Die quadratischen $\mathbb{R}^{n\times n}$ Matrizen werden mit
  

  $$\textrm{tr}\left(M\right) = \sum_{i=1}^{n}m_{ii}$$

  $$\left\langle A,B\right\rangle = \textrm{tr}\left(B^{T}A\right)$$

  
  zu einem euklidischen Vektorraum. $\textrm{tr}\left(M\right)$ wird als die Spur (trace) bezeichnet