Euklidisches Skalarprodukt

Definition

Im Fall $K=\mathbb{R}$ heißt die Standardbilinearform auch euklidisches Skalarprodukt. Notation:

$$\left\langle u,v\right\rangle :=u^{T}v=\sum_{i=1}^{d}u_{i}v_{i}$$

• Das euklidische Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^{d}$ ist $\mathbb{R}$-bilinear, symmetrisch und positiv definit.
• Siehe sub:Bilinearform-zu-Matrix mit $I_{n}$ als Matrix.

Positiv definit

Sei $f:V\times V\rightarrow K$ eine Abbildung. Falls folgendes gilt, wird $f$ als positiv definit bezeichnet $\left(P\right)$. Für alle $v\in K^{d}$

1. $f\left(v,v\right)\ge0$
2. $f\left(v,v\right)=0\Leftrightarrow v=0$

euklidische Norm

Die euklidische Norm eines Vektors $v\in\mathbb{R}^{d}$ ist

$$\left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle }=\sqrt{\sum_{i=1}^{d}v_{i}^{2}}$$

• für $d=1$ ist euklidische Norm $=$ Absolutbetrag