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Subsections

Hermitesche Skalarprodukt

komplex Konjungierte

Auf den komplexen Zahlen ist die Konjugationsabbildung $ \overline{.}:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}:x+iy\mapsto x-iy$ für $ x,y\in\mathbb{R}$ ein Körperautomorphismus. Ein Automorphismus ist eine Isomorphismus einer Struktur in sich selbst. Es gilt $ \overline{\overline{z}}=z$. Dies wir involutorisch genannt. Das doppelte Anwenden einer involutorischen Abbildung ist die Identität.

Betrag einer komplexen Zahl

Die Komplexen Zahlen lassen sich als Paare reeller Zahlen auffassen $ \left[\mathbb{C}=\mathbb{R}^{2}\right]$ und besitzen somit bereits eine euklidische Länge.

$\displaystyle \left\vert z\right\vert=\left\vert x+iy\right\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{z\cdot\overline{z}}$

semibilinear, sequibilinear

Eine Abbildung $ f:V\times V\rightarrow K$ heißt $ K$-Semibilinearform bzw. sequibilinearform, falls gilt $ \left(B'\right)$

  1. $ f\left(\alpha u+\beta u',v\right)=\alpha f\left(u,v\right)+\beta f\left(u',v\right)$
  2. $ f\left(u,\alpha v+\beta v'\right)=\overline{\alpha}f\left(u,v\right)+\overline{\beta}f\left(u,v'\right)$

hermitesch

Eine Abbildung $ f:\mathbb{C}^{d}\times\mathbb{C}^{d}\rightarrow\mathbb{C}$ heißt hermitesch falls $ \left\langle z,w\right\rangle =\overline{\left\langle w,z\right\rangle }$ für alle $ z,w\in\mathbb{C}^{d}$ $ \left(H\right)$.

Hermitesche Skalarprodukt

Das hermitesche Skalarprodukt auf $ \mathbb{C}^{d}$ ist definiert durch

$\displaystyle \left\langle z,w\right\rangle =z^{T}\overline{w}=\sum_{i=1}^{d}z_{i}\overline{w_{i}}$

für $ z=\left(\begin{array}{c}
z_{1}\\
\vdots\\
z_{d}\end{array}\right)$ und $ w=\left(\begin{array}{c}
w_{1}\\
\vdots\\
w_{d}\end{array}\right)$ mit $ z,w\in\mathbb{C}^{d}$.


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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005