euklidische und unitäre Räume

Konventionen

• $\mathbb{K}\in\left\{ \mathbb{R},\mathbb{C}\right\}$
• Für $\alpha\in\mathbb{K}=\mathbb{R}$ setze $\overline{\alpha}:=\alpha$
• Hiermit gilt, das Symmetrie ein Spezialfall ist von Hermitsch und Bilinear ein Spezialfall ist von Semibilinear

euklidischer Raum

Sei $V$ ein $\mathbb{R}$-VR mit einer symmetrischen und positiv definiten Bilinearform $\left\langle .,.\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{R}$. Dann heißt $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ euklidischer Raum.

unitärer Raum

Sei $V$ ein $\mathbb{C}-VR$ mit einer hermiteschen und positiv definiten Semibilinearform $\left\langle .,.\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{C}$. Dann heißt $\left(V\left\langle .,.\right\rangle \right)$ unitärer Raum.

Teilräume

Sei $V=\mathbb{R}^{d}$ oder $V=\mathbb{C}^{d}$. Außer $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ist auch jeder Teilraum mit entsprechend eingeschränkten Skalarprodukt ein euklidischer bzw. unitärer Raum.

einschränken des unitären Raumes auf $\mathbb{R}$

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein unitärere Raum. Insbesondere ist $V$ ein $\mathbb{C}$-VR mit Skalarmultiplikation $\mathbb{C}\times V\rightarrow V:\left(\lambda,v\right)\mapsto\lambda v$. Diese lässt sich einschränkend zur Abbildung $\mathbb{R}\times V\rightarrow V:\left(\lambda,v\right)\mapsto\lambda v$ und man erhält einen reellen Vektorraum $V_{\mathbb{R}}$. Weiter ist dann

$$\left(v,w\right)=\Re\left\langle v,w\right\rangle =\frac{1}{2}\left(\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle \right)$$

eine $\mathbb{R}$-Bilinearform auf $V_{\mathbb{R}}$, die symmetrisch und wiederum positiv definit ist, d.h. $\left(V_{\mathbb{R}},\left(.,.\right)\right)$ ist ein euklidischer Raum.

• $\Re\hat{=}$ Realteil

Norm, orthogonal, rechtwinklig, Einheitsvektoren

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein euklidischer oder unitärer Raum. Dann definiert

$$\left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle }$$

die Norm (Länge) von $v\in V$. Ferner heißen $v,w\in V$ orthogonal (rechtwinklig), falls $\left\langle v,w\right\rangle =0$. Schreibe hierfür $v\perp w$. Vektoren der Norm $1$ heißen Einheitsvektoren.

• für $\alpha\in\mathbb{K}$ und $v\in V$ gilt:
  $\left\Vert \alpha v\right\Vert =\left\vert\alpha\right\vert\left\Vert v\right\Vert$