Metrische Räume

Metrik

Seine Menge $M$ mit einer Abbildung $d:M\times M\rightarrow\mathbb{R}_{>0}$, der Metrik, heißt metrischer Raum, falls $\forall x,y,z\in M$

1. $\left(M1\right)$ $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$
2. $\left(M2\right)$ $d\left(x,y\right)\ge0$ und $d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y$
3. $\left(M3\right)$ $d\left(x,z\right)\le d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)$
   Dreiecksungleichung

• z. B. diskrete Metrik
  $$d\left(x,y\right)=\begin{cases} 0 & x=y\\ 1 & x\neq y\end{cases}$$

Metrik im euklidischen und unitären Raum

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein euklidischer oder unitärer Raum. Dann definiert $d\left(x,y\right):=\left\Vert x-y\right\Vert =$ $\sqrt{\left\langle x-y,x-y\right\rangle }$ eine Metrik auf $V$.

Eigenschaften von Metriken

1. $\left\Vert x+y\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \Leftrightarrow\exists\alpha\in\mathbb{R}_{>0}:y=\alpha x$
2. $\left\vert\left\langle x,y\right\rangle \right\vert=\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \Leftrightarrow$ $x$ und $y$ linear abhängig über $\mathbb{K}$
3. Existenz genau eines Mittelpunktes auf der Verbindungsstrecke.
   Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$euklidischer Raum. Dann gilt:
   

   $$\forall x,y\in V\exists!m_{x,y}\in V:$$

   $$d\left(x,m_{x,y}\right)=d\left(y,m_{x,y}\right)=\frac{1}{2}d\left(x,y\right)$$

   
   

4. Sei $\varphi:V\rightarrow V$ eine Abbildung mit $\varphi\left(0\right)=0$ und $d\left(\varphi\left(x\right),\varphi\left(y\right)\right)=d\left(x,y\right)$ für alle $x,y\in V$. $\varphi$ ist linear.
   • $\varphi$ nennt sich abstandserhaltend oder isometrie
   • siehe sub:Orthogonale-und-unitaere Abb