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Definition
Sei
ein eudlidischer
oder unitärer Raum. Eine Familie
in
heißt Orthogonalsystem,
falls
für .
Gilt zusätzlich, dass
für alle ,
dann heißt
Orthonormalsystem.
Ein Orthonormalsystem, dass eine
-Basis von ist,
heißt Orthonormalbasis (ONB)
von .
Koordinaten bezüglich ONB
Sei
eine ONB von . Dann lässt
sich ein belibiges eindeutig darstellen mit
- Die
sind also die Koordinaten
von bezüglich der ONB
Orthonormalisierungsverfahren
von Gram-Schmidt
Sei
eine linear unabhängige Familie
in . Es gilt
.
Im folgenden Konstruieren wir eine Orthonormalbasis von
.
Dazu setze
ist eine Orthonormalbasis von .
- Hierbei werden von einem Vektor alle Komponenten abgezogen, die in
Richtung schon vorher abgearbeiteter Vektoren zeigen. Anschließend
wird der Rest auf Normiert.
- Mit diesem Verfahren lassen sich auch lineare Abhängigkeiten in
entdecken. Ist linear abhängig von
dann ist .
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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005