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Subsections

Orthonormalbasen


Definition

Sei $ \left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein eudlidischer oder unitärer Raum. Eine Familie $ \left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$ in $ V\backslash\left\{ 0\right\} $ heißt Orthogonalsystem, falls $ v_{i}\perp v_{k}$ für $ i\neq k$.

Gilt zusätzlich, dass $ \left\Vert v_{i}\right\Vert =1$ für alle $ i$, dann heißt $ \left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$ Orthonormalsystem.

Ein Orthonormalsystem, dass eine $ \mathbb{K}$-Basis von $ V$ ist, heißt Orthonormalbasis (ONB) von $ V$.


Koordinaten bezüglich ONB

Sei $ \left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$ eine ONB von $ V$. Dann lässt sich ein belibiges $ v\in V$ eindeutig darstellen mit

$\displaystyle v=\left\langle v,v_{1}\right\rangle v_{1}+\ldots+\left\langle v,v_{m}\right\rangle v_{m}$


Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt

Sei $ \left(b_{1},\ldots,b_{m}\right)$ eine linear unabhängige Familie in $ V$. Es gilt $ \dim_{\mathbb{K}}\textrm{lin}\left(b_{1},\ldots,b_{m}\right)=m$. Im folgenden Konstruieren wir eine Orthonormalbasis von $ U=\textrm{lin}\left(b_{1},\ldots,b_{m}\right)$. Dazu setze

$\displaystyle u_{1}$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle b_{1}$  
$\displaystyle v_{1}$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle \frac{u_{1}}{\left\Vert u_{1}\right\Vert }$  
$\displaystyle u_{2}$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle b_{2}-\left\langle b_{2},v_{1}\right\rangle v_{1}$  
$\displaystyle v_{2}$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle \frac{u_{2}}{\left\Vert u_{2}\right\Vert }$  
$\displaystyle u_{3}$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle b_{3}-\left\langle b_{3},v_{1}\right\rangle v_{1}-\left\langle b_{3},v_{2}\right\rangle v_{2}$  
$\displaystyle v_{3}$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle \frac{u_{3}}{\left\Vert u_{3}\right\Vert }$  
    $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle u_{m}$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle b_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}\left\langle b_{m},v_{i}\right\rangle v_{i}$  
$\displaystyle v_{m}$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle \frac{u_{m}}{\left\Vert u_{m}\right\Vert }$  

$ \left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$ ist eine Orthonormalbasis von $ U$.


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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005