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Fourierreihe

Die Menge $ \mathcal{C}\left[0,1\right]$ der Stetigen Funktionen von $ \left[0,1\right]$ nach $ \mathbb{R}$ bilden zusammen mit $ \left\langle f,g\right\rangle =\int_{0}^{1}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx$ einen euklidischen Vektorraum.

Die Funktionen $ v_{0},v_{1},v_{2},\ldots,w_{1},w_{2},\ldots$ doe für $ x\in\left[0,1\right]$ definiert sind durch $ v_{k}\left(x\right)=\cos\left(2\pi kx\right),w_{k}\left(x\right)=\sin\left(2\pi kx\right)$ für $ k\in\mathbb{N}$ bilden ein Orthonormalsystem in $ \mathcal{C}\left[0,1\right]$. Die $ \tilde{v_{k}}=\frac{1}{\sqrt{2}}v_{k}$ und $ \tilde{w_{k}}=\frac{1}{\sqrt{2}}w_{k}$ bilden also ein Orthonormalsystem.

Der lineare Teilraum

$\displaystyle \mathcal{T}_{n}=\textrm{lin}\left(v_{0},\ldots,v_{n},w_{1},\ldots,w_{n}\right)\le\mathcal{C}\left[0,1\right]$

heißt Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad $ \le n$. Die Elemente von $ \mathcal{T}_{n}$ bestehen aus Linearkombinationen
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\alpha_{0}}{2}v_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(\alpha_{k}v_{k}+\beta_{k}w_{k}\right)$  
$\displaystyle T\left(x\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}{\scriptstyle \left(\alpha_{k}\cos\left(2\pi kx\right)+\beta_{k}\sin\left(2\pi kx\right)\right)}$  

Es sei $ \pi_{n}:\mathcal{C}\left[0,1\right]\rightarrow\mathcal{T}_{n}$ die orthogonale Projektion auf $ \mathcal{T}_{n}$. Diese ist die Beste Approximation durch ein trogonometrisches Polynom vom Grad $ \le n$. Sei $ f$ die zu Approximierende Funktion. Es gilt:

$\displaystyle \alpha_{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left\langle f,v_{k}\right\rangle$  
$\displaystyle \alpha_{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\int_{0}^{1}f\left(x\right)\cos\left(2\pi kx\right)dx$  
$\displaystyle \beta_{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left\langle f,w_{k}\right\rangle$  
$\displaystyle \beta_{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\int_{0}^{1}f\left(x\right)\sin\left(2\pi kx\right)dx$  

Die Koeffizienten $ \alpha_{k}$ und $ \beta_{k}$ heißen Fourierkoeffizenten von $ f$. Die unendliche Reihe

$\displaystyle \frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\alpha_{k}\cos\left(2\pi kx\right)+\beta_{k}\sin\left(2\pi kx\right)\right)$

heißt Fourierreihe von $ f$. Falls $ f$ zweimal stetig differenzierbar und $ f\left(0\right)=f\left(1\right)$, so konvergiert die Fourrierreihe gleichmäßig gegen $ f$.


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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005