Orthogonale und unitäre Abbildungen

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ ein euklidischer oder unitärer Raum.

orthogonal / unitär / Isometrie

Eine invertierbare Abbildung $\varphi:V\rightarrow V$ heißt orthogonal (bzw. unitär), falls gilt

$$\left\langle \varphi\left(x\right),\varphi\left(y\right)\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle \:\forall x,y\in V$$

nennt sich $\varphi$ eine Isometrie.

• Orthogonale (und unitäre) Abbildungen respektieren Längen und Winkel
• Für $\textrm{dim}V<\infty$ folgt die Invertierbarkeit aus der Isometrieeigenschaft.

äquivalente aussagen zur Isometrie

Es seien $V$ und $W$ zwei euklidische oder unitäre Vektorräume und es sei $\varphi:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. $\varphi$ ist eine Isometrie
2. $\left\Vert \varphi\left(x\right)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert$ für alle $x\in V$
3. $\left\Vert \varphi\left(x\right)-\varphi\left(y\right)\right\Vert =\left\Vert x-y\right\Vert$ für alle $x,y\in V$

orthogonale und unitäre Gruppe

Für $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ euklidisch heißt $O\left(V\right)=\left\{ \varphi\in GL\left(V\right)\vert\varphi\textrm{ orthogonal}\right\}$ orthogonale Gruppe auf $V.$ Für $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ unitär heißt $U\left(V\right)=\left\{ \varphi\in GL\left(V\right)\vert\varphi\textrm{ unitär}\right\}$ unitäre Gruppe auf $V$.

Isometriekriterium

Sei $\left(v_{1},\ldots v_{n}\right)$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es gilt $\varphi\in GL\left(V\right)$ orthogonal bzw. unitär $\Leftrightarrow$ $\left(\varphi\left(v_{1}\right),\ldots,\varphi\left(v_{n}\right)\right)$ ist Orthonormalbasis.

• D.h. das die Spalten/Zeilen von $\left[\varphi\right]_{I_{n}}^{I_{n}}$ bilden ein Orthonormalsystem

orthogonale Matrizen

Eine Matrix $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ heißt orthogonal, falls gilt

$$Q\cdot Q^{T}=I_{n}$$

• $GL_{n}\mathbb{R}=\left\{ M\in\mathbb{R}^{n\times n}\vert M\textrm{ ist invertierbar}\right\}$
• $O_{n}\mathbb{R}=\left\{ Q\in GL_{n}\mathbb{R}\vert Q^{-1}=Q^{T}\right\}$ heißt orthogonale Gruppe auf $\mathbb{R}^{n}$.
• $Q^{T}=Q^{-1}$
• $\textrm{det}Q=\pm1$

adjungierte / unitäre Matrizen

Für $M=\left(m_{ij}\right)_{i,j}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt $M^{*}=\overline{M}^{T}=\left(\overline{m_{ji}}\right)_{i,j}$ die zu $M$ adjungierte Matrix.

Eine Matrix $Q\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt unitär, falls $Q\cdot Q^{*}=I_{n}$.

• $GL_{n}\mathbb{C}=\left\{ M\in\mathbb{C}^{n\times n}\vert M\textrm{ ist invertierbar}\right\}$
• $U_{n}\mathbb{C}=\left\{ Q\in GL_{n}\mathbb{Q}\vert Q^{-1}=Q^{*}\right\}$ heißt unitäre Gruppe auf $\mathbb{C}^{n}$.

spezielle Matrizengruppen

generelle lineare Gruppe

$$GL_{n}\mathbb{K}=\left\{ M\in\mathbb{K}^{n\times n}\vert M\textrm{ ist invertierbar}\right\}$$

• Menge der invertierbaren Matritzen

unitäre Gruppe

$$U_{n}\mathbb{C}=\left\{ Q\in GL_{n}\mathbb{C}\vert Q^{-1}=Q^{*}\right\}$$

• So etwas wie Drehungen und Spiegelungen in komplexen Vektorräumen

orthogonale Gruppe

$$O_{n}\mathbb{R}=\left\{ Q\in GL_{n}\mathbb{R}\vert Q^{-1}=Q^{T}\right\}$$

• Drehungen und Spiegelungen in reellen Vektorräumen

spezielle lineare Gruppe

$$SL_{n}\mathbb{K}=\left\{ M\in GL_{n}\mathbb{K}\vert\det\left(M\right)=1\right\}$$

spezielle orthogonale Gruppe

$$SO_{n}\mathbb{R}=O_{n}\mathbb{R}\cap SL_{n}\mathbb{R}$$

• beschreiben Drehungen in reellen Vektorräumen

spezielle unitäre Gruppe

$$SU_{n}\mathbb{R}=U_{n}\mathbb{C}\cap SL_{n}\mathbb{C}$$

• Alle hier aufgelisteten Gruppen sind Untergruppen von $GL_{n}\mathbb{K}$. D.h. die Elemente sind eine Teilmenge ($\subseteq$), und sie sind unter der Verknüpfung abgeschlossen. Hierzu nutze wie beim Untervektorraum das Symbol $\le$.
• Verkettung von Drehungen ist Drehung
• Verkettung von Drehung und Spiegelung ist Spiegelung
• Verkettung von Spiegelungen ist Drehung

Charakteristika für orthogonale und unitäre Matrizen / Abbildungen

Es sei $Q\in K^{n\times n}$. Äquivalent sind:

1. Die lineare Abbildung $\varphi_{Q}:\mathbb{K}^{n}\rightarrow\mathbb{K}^{n}:x\mapsto Qx$ ist orthogonal (bzw. unitär) bzgl. des euklidischen Skalarprodukts (bzw. bzgl. des hermitschen Skalarprodukts), d.h. $\forall v,w\in K^{n}:$
   

   $$\left\langle \varphi_{Q}\left(v\right),\varphi_{Q}\left(w\right)\right\rangle$$

   $$= \left\langle Qv,Qw\right\rangle$$

   $$= \left\langle v,w\right\rangle$$

   
   

2. Die Spalten $\left(s_{1},\ldots,s_{n}\right)$ der Matrix $Q$ bilden eine Orthonormalbasis von $\mathbb{K}^{n}$: d.h.
   $$\left\langle s_{i},s_{j}\right\rangle =\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}$$

3. $Q$ ist eine orthogonale Matrix, d.h. $Q\cdot Q^{T}=I_{n}$ (bzw. unitär $Q\cdot Q*=I_{n}$)
4. $Q$ ist invertierbar und $Q^{-1}=Q^{T}$ (bzw. $Q^{-1}=Q*$)
5. Die Zeilen von $Q$ bilden eine Orthonormalbasis)
6. $Q^{T}$ ist eine orthogonale Matrix (bzw. unitär)

Spiegelung an Hyperebene

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Ist $v\in V$ ein Einheitsvektor (d.h. $\left\Vert v\right\Vert =1$) so wird durch

$$s_{v}:V\rightarrow V:w\mapsto w-2\left\langle w,v\right\rangle v$$

eine Abbildung definiert, die orthogonale Spiegelung an der zu $v$ orthogonalen Hyperebene heißt.

• $s_{v}\circ s_{v}=\textrm{id}$
• $s_{v}$ ist linear und orthogonal