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Subsections

Einleitung

Sei $ V$ ein endlichdimensionaler $ K$-Vektorraum und $ \varphi:V\rightarrow V$ ein $ k$-linearer Endomorphismus.

Definitionen

Ein Skalar $ \lambda\in K$ heißt Eigenwert von $ \varphi$ falls es ein $ v\in V\backslash\left\{ 0\right\} $ gibt, so dass $ \varphi\left(v\right)=\lambda v$.

Jeder von 0 verschiedene Vektor $ w$ mit $ \varphi\left(w\right)=\lambda w$ heißt Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda$ (bzüglich $ \varphi$).

Der Unterraum

$\displaystyle V_{\lambda}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle V_{\lambda}\left(\varphi\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \ker\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}_{V}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{ v\in V\vert\varphi\left(v\right)=\lambda v\right\}$  

heißt Eigenraum zum Eigenwert $ \lambda$ (bezüglich $ \varphi$).

Die Dimension $ d_{\lambda}=\dim_{K}V_{\lambda}$ heißt geometrische Vielfachheit von $ \lambda$.

Die lineare Abbildung $ \varphi$ heißt diagonalisierbar, falls es eine Basis von $ V$ gibt, die nur aus Eigenvektoren von $ \varphi$ besteht (zu möglicherweise verschiedenen Eigenwerten). Das heißt die zugehörige Matrix von $ \varphi$ ist eine Diagonalmatrix.

charakteristische Gleichung

Sei $ \varphi\in\textrm{End}\left(V\right)$ und $ \dim_{K}V<\infty$. Es gilt: $ \lambda$ Eigenwert von $ \varphi$ $ \Leftrightarrow$ $ \det\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)=0$.
$ \det\left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)$ ist die charakteristische Gleichung.

Eigenwerte von Matrizen

Sei $ M\in K^{n\times n}$. Dann heißt $ \lambda\in K$ Eigenwert von $ M$, falls $ \lambda\in K$ Eigenwert von $ M$, falls $ \lambda$ Eigenwert von $ \varphi_{M}:K^{n}\times K^{n}$. Analog: Eigenvektoren.


Eigenwerte in $ \mathbb{C}$

Sei $ M\in\mathbb{C}^{n\times n}$ mit reellen Einträgen. Falls $ v$ Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda$ ist auch $ \overline{v}$ Eigenvektor zum Eigenwert $ \overline{\lambda}$.


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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005