Diagonalisierbarkeit

lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren

Seien $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r}$ paarweise verschiedene Eigenwerte von $\varphi$ und $v_{1},\ldots,v_{r}$ zugehörige Eigenvektoren. Dann ist $\left(v_{1},\ldots,v_{r}\right)$ linear unabhängig.

• Falls $\varphi$ sogar $n=\dim_{K}V$ verschiedene Eigenwerte hat, so ist $\varphi$ diagonalisierbar.

Diagonalisierung von Abbildung

Seien $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{v}$ verschiedene Eigenwerte von $\varphi$ mit den geometrischen Vielfachheiten $d_{1},\ldots,d_{r}$. Sei $\left(b_{i,1},\ldots,b_{i,d_{i}}\right)$ Basis für $V_{\lambda_{i}}$. Dann ist

$$B=\left(b_{1,1},\ldots b_{1,d_{1}},b_{2,1},\ldots,b_{2,d_{2}},\ldots,b_{r,1},\ldots,b_{r,d_{r}}\right)$$

Basis von

$$V_{\lambda_{1}}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_{r}}$$

Falls gilt $d_{1}+d_{2}+\ldots+d_{r}=n$, dann gilt

$$V_{\lambda_{1}}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_{r}}=V$$

und $\varphi$ ist diagonalisierbar.

$$\left[\varphi\right]_{B}^{B}=\left(\begin{array}{ccc} \overbrace{... ...lambda_{r}\\ & \ddots\\ & & \lambda_{r}\end{array}}_{d_{r}}\end{array}\right)$$

• $\left[\varphi\right]_{I_{n}}^{I_{n}}=B\left[\varphi\right]_{B}^{B}B^{-1}$