Charakteristisches Polynom

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine quadratische Matrix.

Definition

Die Determinante

$$\chi_{A}=\det\left(A-t\cdot I_{n}\right)\in K\left[t\right]$$

heißt charakteristisches Polynom von $A$.

• Eigentlich sind Polynome eine Körper und somit wäre die Determinante nicht definiert. Da sich die Polynome $K\left[t\right]$ aber in den Körper der rationalen Funktionen $K\left(t\right)$ einbetten lassen, ist dies kein Problem.

Koeffizienten des Charakteristischen Polynoms

$\chi_{A}\in K\left[t\right]$ ist ein Polynom vom Grad $n$. $A\in K^{n\times n}$. Es gilt

$$\chi_{A}=\left(-1\right)^{n}t^{n}+\left(-1\right)^{n-1}\textrm{tr}\left(A\right)t^{n-1}+\ldots+\det A$$

• Damit lassen sich sich charakteristische Polynome einerseits schnell überprüfen, und anderseits Polynome vom Grad $2$ direkt angeben.

Diagonalisierbarkeit

Die Matrix $A\in K^{n\times n}$ ist diagonalisierbar über $K$ genau dann, wenn $\chi_{A}=\left(\lambda_{1}-t\right)^{e_{1}}\cdots\left(\lambda_{r}-t\right)^{e_{r}}$ und falls für jeden Eigenwert $\lambda_{i}$ die algebraische Vielfachheit $e_{i}$ übereinstimmt mit der geometrischen Vielfachheit.

• Es gilt $A'=S^{-1}AS=\textrm{diag}\left(\underbrace{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{1}}_{e_... ...,\ldots,\underbrace{\lambda_{r},\ldots,\lambda_{r}}_{e_{r}\textrm{ mal}}\right)$ mit $S=\left(v_{1,1},\ldots,v_{1,d_{1}},\ldots,v_{r,1},\ldots,v_{r,d_{r}}\right)$ und $\left(v_{i,1},\ldots,v_{i,d_{i}}\right)$ Basis des Eigenraumes von $\lambda_{i}$.
• Sei $\varphi$ eine Projektion ( $\varphi\circ\varphi=\varphi$). Ist $B_{1}$ eine Basis von $\textrm{im}\left(\varphi\right)$ und $B_{2}$ eine Basis von $\textrm{ker}\left(\varphi\right)$ so ist die Matrix von $\varphi$ bezüglich $B_{1}\cup B_{2}$ eine Diagonalmatrix, auf deren Diagonalen nur Nullen und einsen stehen, also sind 0 und $1$ die einzigen Eigenwerte.
• Potenzen von Matrizen berechnet man am besten in Diagonalgestalt
  $$\left(S^{-1}AS\right)^{n}=S^{-1}A^{n}S$$

Komplexe Matrizen

Eine Matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ist diagonalisierbar über $\mathbb{C}$ genau dann wenn für jeden Eigenwert stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit überein.

Für $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ zerfällt $\chi_{A}$ immer in Linearfaktoren.

Jede komplexe Matrix hat einen Eigenwert.

Satz von Cayley Hamilton

Sei $A\in K^{n\times n}$. Dann gilt

$$\tilde{\tilde{\chi}}_{A}\left(A\right)=0$$

• Kann benutzt werden um einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen zu finden.

Minimalpolynom

Für jede Matrix $A\in K^{n\times n}$ existiert genau ein Polynom $\mu_{A}\in K\left[t\right]$ mit $\tilde{\tilde{\mu}}_{A}\left(A\right)=0$ minimalen Grades mit Leitkoeffizienten $1$. Der Leitkoeffizient eines Polynoms $p=\alpha_{0}+\alpha_{1}t+\ldots+\alpha_{n}t^{n}$ ist für $\alpha_{n}\neq0$ gleich $\textrm{lcf}\left(p\right)=\alpha_{n}$. $\mu_{A}$ heißt Minimalpolynom von $A$.

• Die Existenz annulierender Polynome (Minimalpolynom und Satz von Cayley Hamilton) ist nur in endlichdimensionalen Vektorräumen gesichert.
• Ähnliche Matrizen haben dasselbe Minimalpolynom
• zu $A\in K^{n\times n}$ haben $\chi_{A}$ und $\mu_{A}$ dieselben Nullstellen
• Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom.
• Falls das Charakteristische Polynom keine Nullstelle, bzw. jede nur mit Algebraischer Vielfachheit $1$ hat gilt:
  $$\mu_{A}=\chi_{A}$$