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Subsections

Normale Matrizen

Adjungierte

Für $ A=\left(a_{ij}\right)\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ist $ A^{*}=\left(\overline{a_{ji}}\right)=\overline{A}^{T}=\overline{A^{T}}$ die Adjungierte von $ A$.

Es gelten folgende Rechenregeln

  1. $ \left(A+B\right)^{*}=A^{*}+B^{*}$
  2. $ \left(A\cdot B\right)^{*}=B^{*}\cdot A^{*}$
  3. $ \left(\lambda A\right)^{*}=\overline{\lambda}A^{*}$ für $ \lambda\in\mathbb{C}$
  4. $ A^{**}=A$
  5. Falls $ \forall i,j:a_{ij}\in\mathbb{R}$ gilt $ A^{*}=A^{T}$

symmetrisch und hermitesch

Sei $ A\in\mathbb{K}^{n\times n}$

  1. $ A$ symmetrisch: $ \Leftrightarrow A=A^{T}$
  2. $ A$ schiefsymmetrisch: $ \Leftrightarrow A=-A^{T}$
  3. $ A$ hermitesch: $ \Leftrightarrow A=A^{*}$
  4. $ A$ schiefhermitesch: $ \Leftrightarrow A=-A^{*}$

Zerlegungen von Matrizen

Es gilt für $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$

  1. $ A=\underbrace{\frac{1}{2}\left(A+\overline{A}\right)}_{\textrm{reell}}+\underbrace{\frac{1}{2}\left(A-\overline{A}\right)}_{\textrm{imaginär}}$
  2. $ A=\underbrace{\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)}_{\textrm{symmetrisch}}+\underbrace{\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right)}_{\textrm{schiefsymmetrisch}}$
  3. $ A=\underbrace{\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right)}_{\textrm{hermitesch}}+\underbrace{\frac{1}{2}\left(A-A^{*}\right)}_{\textrm{schiefhermitesch}}$

Eigenschaften des Skalarproduktes

Sei $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ und $ v,w\in\mathbb{C}^{n}$. Es gilt

$\displaystyle \left\langle Av,w\right\rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\langle v,A^{*}w\right\rangle$  
$\displaystyle \left\langle v,Aw\right\rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\langle A^{*}v,w\right\rangle$  

Normale Matrizen

Eine Matrix $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt normal, falls gilt

$\displaystyle A\cdot A^{*}=A^{*}\cdot A$

Folgende Matrizen sind normal:

  1. unitäre Matrizen
  2. reelle orthogonale Matrizen
  3. Diagonalmatrizen
  4. hermitesche und schiefhermitesche Matrizen
  5. reelle symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen


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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005