Jordansche Normalform

Definition

Eine Matrix $A\in K^{n\times n}$ besitzt Jordansche Normalform falls sie eine Blockdiagonalmatrix aus Jordanblöcken ist, d.h.

$$A=\left(\begin{array}{ccc} J_{m_{1},\lambda_{1}} & & 0\\ & \ddots\\ 0 & & J_{m_{k},\lambda_{k}}\end{array}\right)$$

Allgemeinheit der Jordanschen Normalform

Sei $V=\mathbb{C}^{n}$ und $\varphi\in End_{\mathbb{C}}V$. Dann existiert eine Basis $\mathcal{B}$ von $V$, so dass $\left[\varphi\right]_{\mathcal{B}}$ Jordansche Normalform hat.

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Dann ist $A$ ähnlich zu einer Matrix in Jordanscher Normalform.

Ähnlichkeit von Matrizen

Zwei komplexe Matrizen sind ähnlich genau dann, wenn sie (bis auf Umordnung der Jordanblöcke) dieselbe Jordansche Normalform haben.