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Subsections

verallgemeinerter Eigenvektor

Eigenschaften einer Blockdiagonalmatrize mit Jordanblock

Sei $ V=\mathbb{C}^{n}$, $ \varphi\in End_{\mathbb{C}}V$, $ \lambda$ Eigenwert von $ \varphi$. Sei $ \mathcal{B}=\left(v_{1},\ldots,v_{m},v_{m+1},\ldots,v_{n}\right)$ eine Basis von $ V$, so dass

$\displaystyle \left[\varphi\right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cc}
J_{m,\lambda} & *\\
0 & *\end{array}\right)$

Dann gilt
$\displaystyle \varphi\left(v_{1}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda v_{1}$  
$\displaystyle \varphi\left(v_{2}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{1}+\lambda v_{2}$  
    $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle \varphi\left(v_{m}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{m-1}+\lambda v_{m}$  

was äquivalent ist zu

$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{1}$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{1}$  
    $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{m}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{m-1}$  

Jordankette

Eine Familie $ \left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)\in V$ heißt Jordankette zum Eigenwert $ \lambda$ von $ \varphi$, falls $ v_{1}\neq0$ und

$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{1}$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{1}$  
    $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)v_{m}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{m-1}$  

gilt.

verallgemeinerter Eigenvektor

Ein Vektor $ v\in V\backslash\left\{ 0\right\} $ heißt verallgemeinerter Eigenvektor (auch: Hauptvektor) von $ \varphi$ zum Eigenwert $ \lambda$, falls es ein $ k\in\mathbb{N}\backslash\left\{ 0\right\} $ gibt, so dass

$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)^{k}v=0$

gilt. Das kleinste $ k\in\mathbb{N}$, für dass diese Gleichung gilt, heißt Stufe von $ v$.

verallgemeinerter Eigenraum


$\displaystyle V^{\lambda}\left(\varphi\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\ker\left(\left(\varphi-\lambda\cdot\textrm{id}\right)^{k}\right)$  
  $\displaystyle \supseteq$ $\displaystyle \textrm{lin}\left(v_{1},\ldots,v_{m}\right)$  

heißt verallgemeinerter Eigenraum von $ \varphi$ bezüglich $ \lambda$.

Seien $ \lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$ alle paarweise verschiedene Eigenwerte von $ \varphi$. Dann gilt

$\displaystyle V=V^{\lambda_{1}}\left(\varphi\right)\oplus\ldots\oplus V^{\lambda_{k}}\left(\varphi\right)$


Lineare Unabhängigkeit von Jordankettenfamilie

Sei

$\displaystyle \mathcal{C}=\left(\underbrace{v_{1}^{1},\ldots,v_{l_{1}}^{1}}_{l_...
...\ldots,\underbrace{v_{1}^{s},\ldots,v_{l_{s}}^{s}}_{l_{s}\textrm{ stk.}}\right)$

eine Familie von $ s$ Jordanketten zum Eigenwert $ \lambda$ von $ \varphi$, d.h.
$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)v_{j+1}^{i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{j}^{i}\qquad1\le j<l_{i}$  
$\displaystyle \left(\varphi-\lambda\textrm{id}\right)v_{1}^{i}$ $\displaystyle =$ 0  

Falls $ \left(v_{1}^{1},\ldots,v_{1}^{s}\right)$ linear unabhängig ist auch $ \mathcal{C}$ linear unabhängig.


Verkürzen eines Jordan Erzeugendensystem

Sei $ \mathcal{C}$ wie in sub:Lin-Unabh-Jordanketten, aber linear abhängig. Dann existiert eine Familie $ \mathcal{C}'$ von Jordanketten mit $ \textrm{lin}\left(\mathcal{C}\right)=\textrm{lin}\left(\mathcal{C}'\right)$, aber $ \mathcal{C}'$ enthält einen Vektor weniger als $ \mathcal{C}$.

Um dieses umzuformen wie folgt vorgehen:

  1. aus sub:Lin-Unabh-Jordanketten folgt, das $ \left(v_{1}^{1},\ldots,v_{1}^{s}\right)$ linear abhängig. Das heißt, es existiert $ \left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)\in\mathbb{C}$ die nicht komplett aus Nullen besteht mit

    $\displaystyle \sum_{i=1}^{s}\alpha_{i}v_{1}^{i}=0$

  2. Sei $ j\in\left\{ 1,\ldots,s\right\} $, so dass $ l_{j}$ minimal mit $ \alpha_{j}\neq0$. Da sich die Eigenschaft der linearen Abhängikeit unter Vertauschung der Elemente in einer Familie nicht ändert, lässt sich die kürzeste Jordankette dessen erster Vektor linear abhängig ist an den Anfang der Familie tauschen. Es gilt also o.E. $ j=1$ und $ \alpha_{1}\neq0$
  3. Fallunterscheidung über die Länge der nun ersten Kette

    1. $ l_{1}=1$

      1. streiche $ v_{1}$ aus $ \mathcal{C}$, um $ \mathcal{C}'$ zu erhalten
    2. $ l_{1}\ge2$

      1. Setze

        $\displaystyle \tilde{v}_{p}^{1}=v_{p+1}^{1}+\sum_{{{\alpha_{i}\neq0\atop i\neq11}}}\frac{\alpha_{i}}{\alpha_{1}}v_{p+1}^{i}$

        für $ 1\le p\le l_{1}-1$
        Wegen der Minimalität von $ l_{1}$ existieren die Vektoren $ v_{p+1}^{i}$
      2. Nun bildet $ \left(\tilde{v}_{1}^{1},\ldots,\tilde{v}_{l_{1}-1}^{1}\right)$ eine Jordankette der Länge $ l_{1}-1$
      3. Ersetze $ \left(v_{1}^{1},\ldots,v_{l_{1}}^{1}\right)$ in $ \mathcal{C}$ durch $ \left(\tilde{v}_{1}^{1},\ldots,\tilde{v}_{l_{1}-1}^{1}\right)$ um $ \mathcal{C}'$ zu erhalten.
  4. Es gilt $ \textrm{lin}\left(\mathcal{C}'\right)=\textrm{lin}\left(\mathcal{C}\right)$

Jordanbasis

Für jeden Eigenwert $ \lambda$ von $ \varphi$ besitzt der verallgemeinerte Eigenraum $ V^{\lambda}\left(\varphi\right)$ eine Jordanbasis $ J$, das heisst eine Basis von $ V^{\lambda}\left(\varphi\right)$ mit

$\displaystyle \left[\varphi\vert _{V^{\lambda}\left(\varphi\right)}\right]_{J}^{J}$

in Jordanscher Normalform.


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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005