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Subsections
Sei
,
,
Eigenwert von . Sei
eine Basis von , so dass
Dann gilt
was äquivalent ist zu
Eine Familie
heißt Jordankette
zum Eigenwert von , falls
und
gilt.
- Eine Jordankette zum Eigenwert von ist linear
unabhängig
Ein Vektor
heißt verallgemeinerter
Eigenvektor
(auch: Hauptvektor) von zum
Eigenwert , falls es ein
gibt, so dass
gilt. Das kleinste
, für dass diese Gleichung gilt,
heißt Stufe von .
heißt verallgemeinerter Eigenraum
von bezüglich .
Seien
alle paarweise verschiedene
Eigenwerte von . Dann gilt
- Dies ist ein Untervektorraum von
Lineare Unabhängigkeit von Jordankettenfamilie
Sei
eine Familie von Jordanketten zum Eigenwert von ,
d.h.
Falls
linear unabhängig
ist auch
linear unabhängig.
- Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes enspricht der Anzahl
der Jordanketten zu diesem Eigenwert.
Verkürzen eines Jordan Erzeugendensystem
Sei
wie in sub:Lin-Unabh-Jordanketten, aber
linear abhängig. Dann existiert eine Familie
von Jordanketten
mit
,
aber
enthält einen Vektor weniger als
.
Um dieses umzuformen wie folgt vorgehen:
- aus sub:Lin-Unabh-Jordanketten folgt, das
linear abhängig. Das heißt, es existiert
die nicht komplett aus Nullen besteht mit
- Sei
, so dass minimal mit
. Da sich die Eigenschaft der linearen Abhängikeit
unter Vertauschung der Elemente in einer Familie nicht ändert, lässt
sich die kürzeste Jordankette dessen erster Vektor linear abhängig
ist an den Anfang der Familie tauschen. Es gilt also o.E. und
- Fallunterscheidung über die Länge der nun ersten Kette
-
- streiche aus
, um
zu erhalten
-
- Setze
für
Wegen der Minimalität von existieren die Vektoren
- Nun bildet
eine Jordankette der Länge
- Ersetze
in
durch
um
zu erhalten.
- Es gilt
Für jeden Eigenwert von besitzt der verallgemeinerte
Eigenraum
eine Jordanbasis
, das heisst eine Basis von
mit
in Jordanscher Normalform.
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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005