Berechnung der Jordan-Normalform

Sei $V=\mathbb{C}^{n}$ und $\varphi\in End_{\mathbb{C}}V$.

1. Bestimme die Eigenwerte von $\varphi$
   $$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$$
   mit algebraischen Vielfachheiten
   $$e_{1},\ldots,e_{k}$$
   in $\mathbb{C}$ gilt bekanntlich $e_{1}+\ldots+e_{k}=n$.
2. Für jeden Eigenwert $\lambda_{i}$:
   Bestimme ein Basis des verallgemeinerten Eigenraumes $V^{\lambda_{i}}\left(\varphi\right)$. Dazu:
   1. schrittweise Lösen der linearen Gleichungssysteme
      $$\left(\varphi-\lambda_{i}\textrm{id}\right)^{j}v=0$$
      für $j=1,2,\ldots\le e_{i}$ bis man $e_{i}$ linear unabhängige Lösungen gefunden hat. Hierbei tauchen die die Lösungen für $\left(\varphi-\lambda_{i}\textrm{id}\right)^{j}v=0$ bei $\left(\varphi-\lambda_{i}\textrm{id}\right)^{j+1}v=0$ wieder auf.
   2. Für jeden dieser $e_{i}$ Vektoren $v$ bilde seine Jordanketten durch anwenden von $\left(\varphi-\lambda_{i}\textrm{id}\right)v$ (bis man 0 erhält).
   3. Setze diese Jordanketten zu einer Familie zusammen und verkürze sie schrittweise durch Anwendung von sub:Jordanfamilie-verkuerzen, bis man eine Basis (der Länge $e_{i}$) erhält.
   4. Man hat nun also für jedes $\lambda_{i}$ eine Basis der Form
      

      $$\mathcal{C}_{i} = \left(\underbrace{v_{i1}^{1},\ldots,v_{il_{i1}}^{1}}_{l_{i1}\text... ...},\underbrace{v_{i1}^{2},\ldots,v_{il_{i2}}^{2}}_{l_{i2}\textrm{ stk.}},\right.$$

      $$\left.\ldots,\underbrace{v_{i1}^{s_{i}},\ldots,v_{il_{is_{i}}}^{s_{i}}}_{l_{is_{i}}\textrm{ stk.}}\right)$$

      
      wobei auch die $l,s,v$ von $i$ abhängig sind. Es gilt $e_{i}=l_{i1}+l_{i2}+\ldots+l_{is_{i}}$ und $s_{i}\le e_{i}$
3. Matrix des Basiswechsels (zur Jordan Normalform) besitzt als Spalten verallgemeinerte Eigenvektoren aus 2). Diese Kettenweise aufsteigend sortieren!
   

   $$\left[\varphi\right]_{\mathcal{C}} = \mathcal{C}^{-1}\left[\varphi\right]_{E}\mathcal{C}$$

   $$= \textrm{diag}\left(J_{l_{11},\lambda_{1}},\ldots,J_{l_{1s_{1}},\lambda_{1}},\right.$$

   $$\left.J_{l_{21},\lambda_{2}},\ldots,J_{l_{2s_{2}},\lambda_{2}},\ldots J_{l_{ks_{k}},\lambda_{k}}\right)$$

   
   wobei die für die Basiswechselmatrizen gilt
   $$\mathcal{C}=\left(\mathcal{C}_{1},\ldots,\mathcal{C}_{k}\right)$$