Vektorräume

Definition Vektorraum

Sei $K$ $\left(K,+.*,1,0\right)$ ein Körper. Ein $K$-Vektorraum (Vektorraum über $K$) ist ein Tripel $\left(V,+,*\right)$ bestehend aus einer Menge $V$, einer binären Verknüpfung $+:V\times V\rightarrow V$ (Addition) und einer Skalarmultiplikation: $*:K\times V\rightarrow V$, so dass gilt:

1. $\left(V,+\right)$ ist eine kommutative Gruppe
2. für alle $\lambda,\mu\in K,v,w\in V$ gilt:
   1. $\left(\lambda+\mu\right)*v=\left(\lambda*v\right)+\left(\mu*v\right)$
   2. $\lambda*\left(v+w\right)=\left(\lambda*v\right)+\left(\lambda*w\right)$
   3. $\lambda*\left(\mu*v\right)=\left(\lambda*\mu\right)*v$
   4. $1*v=v$

Es gelten folgende Rechenregeln in einem $K$-VR (Vektorraum) $\left(V,+,*\right)$, für alle $v,w\in V$ und $\lambda,\mu\in K$:

1. $0*v=0$
2. $\lambda*0=0$
3. $\lambda*v=0\Rightarrow\left(\lambda=0\vee v=0\right)$
4. $\left(-1\right)*v=-v$

Standardvektorraum

Der Standardvektorraum $K^{n}$ für $n\in\mathbb{N}$ ist wie folgt definiert:

• $K^{n}=\underbrace{K\times\ldots\times K}_{n-\textrm{mal}}=\left\{ \left(\begin... ..._{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)\vert x_{1},\ldots,x_{n}\in K\right\}$
• $\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)+\left(\begin... ...)=\left(\begin{array}{c} x_{1}+y_{1}\\ \vdots\\ x_{n}+y_{n}\end{array}\right)$
• $\lambda*\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \lambda*x_{1}\\ \vdots\\ \lambda*x_{n}\end{array}\right)$
• Nullvektor $0=\left(\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ ist das Neutralelement in $K^{n}$
• Die Standardbasisvektoren des Standardvektorraumes $K^{n}$ sind $e_{1}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),e_{2... ...ldots,e_{n}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right)$

Vektoraum von Abbildungen

Sei $M$ eine beliebige Menge und $K$ ein beliebiger Körper. Es ist $K^{M}=\left\{ f\vert f:M\rightarrow K\right\}$. Mit punktweise definierter Addition

$$\forall f,g\in K^{M}:f+g:M\rightarrow K:m\mapsto f\left(m\right)+g\left(m\right)$$

und der Skalarmultiplikation

$$\lambda*f:M\rightarrow K:m\mapsto\lambda*f\left(m\right)$$

ist $\left(K^{M},+,*\right)$ ein $K$-Vektorraum.

• ist Verallgemeinerung vom Standardvektorraum $K^{n}$. Hier kann eine beliebige Menge $M$ als Index der ``einzelnen Elemente des Vektors'' dienen. Hierfür wäre $M=\left\{ 1,\ldots,k\right\} \subseteq\mathbb{N}$

Linearkombinationen

Es sei $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ ein geordnetes $k$-Tupel von Vektoren aus einem $K$-VR $V$. Ein Vektor $v\in V$ heißt:

Linearkombination

von $\left(v_{1},\ldots v_{k}\right)$, falls

$$\exists\lambda_{1},\ldots\lambda_{k}\in K:v=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}$$

Affinkombination

von $\left(v_{1},\ldots v_{k}\right)$, falls

$$\exists\lambda_{1},\ldots\lambda_{k}\in K:\left(v=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}\right)\wedge\left(1=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}\right)$$

• Einschränkung von Linearkombination
• Erzeugen den kleinsten (geringste Anzahl möglicher Vektoren) affinen Teilraum, der $v_{1},\ldots,v_{k}$ enthält

Konvexkombination

von $\left(v_{1},\ldots v_{k}\right)$, falls

$$\exists\lambda_{1},\ldots\lambda_{k}\in K:$$

$$v=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}\wedge1=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}\wedge$$

$$\forall i\in\left\{ 1,\ldots,k\right\} :0\leq\lambda_{i}\leq1$$

• Einschränkung von Affin- und Linearkombination
• $K$ muss hierfür ein angeordneter Körper sein.

Lineare Unabhängigkeit

Das (endliche) $k$-Tupel $\left(v_{1},\ldots,v_{k}\right)$ heißt linear unabhängig, falls

$$\left(\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}=0\right)\Rightarrow\left(\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{k}=0\right)$$

andernfalls heißt $\left(v_{1},\ldots,v_{k}\right)$ linear abhängig.

Eine unendliche Familie (Tupel) von Vektoren heißt linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist.

• Für $n\geq2$ sind $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ genau dann linear abhängig, falls (mindestens) einer dieser Vektoren eine Linearkombination der übrigen ist.
• sei $\left(v_{1},\ldots,v_{k}\right)$ linear unabhängig, dann ist auch für jede Permutation $\pi\in S_{k}$ das Tupel $\left(v_{\pi\left(1\right)},\ldots,v_{\pi\left(k\right)}\right)$ linear unabhängig
• sei $\left(v_{1},\ldots,v_{k}\right)$ linear unabhängig, dann ist auch jedes Teiltupel $\left(v_{1},\ldots,v_{i}\right)$ für $i\leq k$ linear unabhängig
• Begiff der linearen Unabhängigkeit lässt sich auch für Mengen definieren.
• Die Einheitsvektoren $\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)$ des Standardvektorraumes $K^{n}$ sind linear unabhängig.
• $V$ sei ein beliebiger $k$-Vektorraum und $0\neq x\in V$
  • $\left(x\right)$ ist linear unabhängig
  • $\left(\underbrace{x,x,\ldots,x}_{k-mal}\right)$ mit $k\geq2$ ist linear abhängig.

Teilraum oder Unterraum

Sei $V$ ein VR. Eine nichtleere Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Teilraum (oder Unterraum) von $V$, falls gilt:

$$\forall u,v\in U\forall\lambda,\mu\in K:\lambda u+\mu v\in U$$

• $0\in U$ für alle $U$ die URV sind.
• Falls $U$ Unterraum (oder Teilraum) von $V,$ schreiben wir $U\leq V$
• $\left\{ 0\right\} \leq V$ und $V\leq V$ gilt für alle $V$
• Die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems bilden einen Unterraum von $K^{n}$
• Betrachte den $\mathbb{R}$-Vektorraum $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ mit punktweise definierter Addition, dann bilden
  • die stetigen Abbildungen $\mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R}\right)$ einen Teilraum von $\mathbb{R^{R}}$
  • die differenzierbaren Abb. einen Teilraum von $\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\leq\mathbb{R^{R}}$ usw.
• Seien $U,W$ Teilräume des $K$-Vektorraums $V$. Dann sind $U\cap W$ und $U+W:=\left\{ u+w\vert u\in U,w\in W\right\}$ Teilräume von $V$.

affiner Unterraum

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $U\le V$, $x\in V$. Dann heißt die Menge

$$x+U=\left\{ x+u\vert u\in U\right\}$$

affiner Unterraum von $V$

• Die Lösungen eines inhomogenen LGS sind ein affiner Unterraum

lineare Hülle

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $M\subseteq V$. Die Menge

$$\textrm{lin}\left(M\right):=\left\{ \lambda_{1}m_{1}+\ldots+\lambda_{n}m_{n}\vert\lambda_{i}\in K,m_{i}\in M\right\}$$

heißt lineare Hülle (oder linearer Aufspann) von $M$ in $V$. Für $M=\emptyset$ setze $\textrm{lin}\left(\emptyset\right)=\left\{ 0\right\}$.

• $\textrm{lin}\left(M\right)$ ist der kleinste Unterraum von $V$, der $M$ enthält.
  • $\textrm{lin}\left(M\right)\leq V$
  • kleinster Unterraum, das bedeutet
    $\forall U\leq V:U\supseteq M\Rightarrow U\geq\textrm{lin}\left(M\right)$
• Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum und $S,S'\in V$
  • $\textrm{lin}\left(S\right)\cap\textrm{lin}\left(S'\right)\supseteq\textrm{lin}\left(S\cap S'\right)$
  • $\textrm{lin}\left(S\right)\cup\textrm{lin}\left(S'\right)\subseteq\textrm{lin}\left(S\cup S'\right)$

Erzeugendensystem / Basis

Sei $v$ ein $K$-Vektorraum. Eine Menge $M\subseteq V$ heißt Erzeugendensystem von $V$, falls $\textrm{lin}\left(M\right)=V$. Eine Familie in V heißt Basis falls sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem bildet. Ein Vektorraum heißt endlich erzeugt, falls er ein endliches Erzeugendensystem besitzt.

• $\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)$ aus $K^{n}$ ist eine Basis (Standardbasis)

Sätze über Basen

Sei $V\neq\left\{ 0\right\}$ ein $K$-Vektorraum und sei $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ eine Familie von Vektoren aus $V$. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ ist eine Basis von $U$
2. $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem von $V$, d.h. $\forall J\varsubsetneqq I:\textrm{lin}\left\{ v_{i}\vert j\in J\right\} \lvertneqq V$
3. $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ ist ein unverlängerbare linear unabhängige Familie. D.h. $\forall J\varsupsetneqq I$ ist jede Familie von Vektoren $\left(v_{j}\right)_{j\in J}$ linear abhängig
4. Jeder Vektor aus $V$ lässt sich eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus $\left(v_{i}\right)_{i\in I}$ schreiben.

• In jedem endlichen Erzeugendensystem lässt sich eine Teilmenge finden, die genau eine Basis des Vektorraums ist.
• Jeder Vektorraum hat eine Basis. Bei unendlichen muss dies über das Auswahlaxiom gezeigt werden.

Basistausch

Austauschlemma: Sei $V$ ein $K$-Vektorraum der endlich erzeugt ist. Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{r}\right)$ eine Basis von $V$ und sei $w=\lambda_{1}v_{1}+\ldots\lambda_{r}v_{r}\in V$ für $\lambda_{i}\in K$. Dann folgt aus $\left(k\in\left\{ 1,\ldots,r\right\} \wedge\lambda_{k}\neq0\right)\Rightarrow\left(v_{1},\ldots,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots v_{r}\right)$ ist eine Basis von $V$.

Austauschsatz: Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{r}\right)$ eine Basis der endlich erzeugten Vektroraumes $V$, und sei $\left(w_{1},\ldots,w_{n}\right)$ eine linear unabhängige Familie in $V$. Dann gilt $n\leq r$, und es existieren Indizes $i_{1},\ldots,i_{r-n}\in\left\{ 1,\ldots,r\right\}$, so dass $\left(w_{1},\ldots,w_{n},v_{i_{1}},\ldots v_{i_{r-n}}\right)$ eine Basis von $V$ sind.

• Jede Basis eines endlich erzeugten Vektorraumes ist endlich
• Jede Basis von $V$ hat die selbe Länge (Anzahl in ihr enthaltener Vektoren)
• Jede linear unabhängige Familie in dem endlich erzeugten Vektorraum $V$ lässt sich zu einer Basis von $V$ fortsetzen.

Dimension

Ist $V$ ein $K$ Vektoraum, so heißt

$${\scriptscriptstyle \dim_{K}V}=\begin{cases} {\scriptscriptstyle ... ...\ {\scriptscriptstyle \infty} & {\scriptscriptstyle \textrm{sonst}}\end{cases}$$

die Dimension von $V$ über K.

• Sei $V$ ein $K$-VR mit $\dim V<\infty$ und $U<V$ echter Unterraum von $V$. Dann gilt $\dim_{k}U<\dim_{K}V$.