Quadrik

Sei $V=\mathbb{R}^{n}$ der euklidische Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt $\left\langle .,.\right\rangle$

Hauptachsen

Sei $\beta:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ eine symmetrische Bilinearform. Dann existiert eine Orthonormalbasis

$$\mathcal{B}=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$$

von $\mathbb{R}^{n}$, so dass

$$\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1}\\ & \ddots\\ 0 & & \lambda_{n}\end{array}\right)$$

Diagonalmatrix ist. Die eindimensionalen Teilräume

$$\textrm{lin}\left(v_{i}\right)=\mathbb{R}v_{i}$$

heißen Hauptachsen von $\beta$.

Um eine Matrix in Hauptachsenform zu bringen siehe Diagonalisierung von Matrizen unter sub:Diagonalisierung-von-Abbildung. Diese Transformation heißt Hauptachsentransformation.

• Mit $\mathbb{R}v_{i}=\left\{ \lambda v_{i}\vert\lambda\in\mathbb{R}\right\}$

Quadrik

Für eine quadratische Form $Q:V\rightarrow\mathbb{R}$ heißt

$$\left\{ v\in V\vert Q\left(v\right)=1\right\}$$

die zu $Q$ gehörige Quadrik.

In Hauptachsenform erhält gilt

$$\sum_{i}x_{i}^{2}\lambda_{i}=1$$

und man die Achsenschnittpunkte durch

$$x_{i}=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{i}}}$$

• Die Hauptachsentransformation spiegelt und dreht die Quadriken lediglich
• Im $\mathbb{R}^{2}$ gibt es folgende Fälle

  Hyperbel

  für $\lambda_{1}<0$ und $\lambda_{2}>0$ (bzw. andersrum)

  • Spezialfall Parabel

  Ellipse

  für $\lambda_{1},\lambda_{2}>0$

  • Spezialfall Kreis

  Gerade

  für $\lambda_{1}=0$ und $\lambda_{2}\neq0$ (bzw. andersrum)