Summen in Vektorräumen

Sei $V$ ein Vektorraum über belibigen Körper $K$.

Minkowskisumme

Für belibige Teilmengen $A,B\subseteq V$ heißt

$$A+B:=\left\{ a+b\vert a\in A,b\in B\right\}$$

die (Minkowski-) Summe von $A$ und $B$.

• Zomotrope sind Minkowskisummen von verschiedenen Geradenstücken
• Falls $A,B\le V$ Teilräume, so ist auch $A+B\le V$ ein Teilraum

Dimension

Seien $A,B\le V$ endlichdimensionale Teilräume

$$\dim A+B=\dim A+\dim B-\dim\left(A\cap B\right)$$

Direkte Summe

Seien $A,B\le V$ Teilräume mit $A\cap B=\left\{ 0\right\}$. Dann heißt

$$A\oplus B:=A+B$$

die (innere) direkte Summe von $A$ und $B$

• Für $v\in\left(A\oplus B\right)$ existeren eindeutige $a\in A$ und $b\in B$ mit $v=a+b$
• Falls $\dim V<\infty$ und $V=A\oplus B$ $\Rightarrow\dim V=\dim A+\dim B$