Basistransformation

Vektor bezüglich Basis

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $\dim V=n$ und $\mathcal{B}=\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)$ eine Basis von $V$. Dann lässt sich $v\in V$ eindeutig beschreiben als $v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}b_{i}$ für $\lambda_{i}\in K$.

Setze

$$\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c} \lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{n}\end{array}\right)\in K^{n}$$

Die Abbildung

$$\kappa_{\mathcal{B}}:V\rightarrow K^{n}:v\mapsto\left[v\right]_{\mathcal{B}}$$

ist linear und bijektiv.

• $\left[b_{i}\right]_{\mathcal{B}}=e_{i}$

Matrix bezüglich Basen

Seien $V,W$ $K$-Vektorräume und $f:V\rightarrow W$ linear. Zu den Basen $\mathcal{B}=\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)$ von $V$ und $\mathcal{C}=\left(c_{1},\ldots,c_{m}\right)$ von $W$ ist

$${\scriptstyle \left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=M_{\math... ...,\ldots,\left[f\left(b_{n}\right)\right]_{\mathcal{C}}\right)\in K^{m\times n}}$$

die Matrix von $f$ bezüglich $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$.

Es gilt:

$$\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\left[v\right]_{\mathcal{B}} = \left[f\left(v\right)\right]_{\mathcal{C}}$$

$$\left(\kappa_{\mathcal{C}}\circ f\right)\left(v\right) = \left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\left(\kappa_{\mathcal{B}}\left(v\right)\right)$$

$$\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = \left[\kappa_{\mathcal{C}}\circ f\circ\kappa_{\mathcal{B}}^{-1}\right]$$

Die Abbildung

$$\Phi_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}:\textrm{Hom}\left(V,W\right)\rightarrow K^{m\times n}:f\mapsto\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}$$

ist ein linearer Isomorphismus.

Produkt von Matrizen bzgl Basen

Seien $U,V,W$ $K$-Vektorräume mit Basen $\mathcal{A},\mathcal{B}$ bzw. $\mathcal{C}$. Es gelte

$$\dim U=p,\:\dim V=n,\:\dim W=m$$

Für lineare Abbildungen $g:U\rightarrow V$ und $f:V\rightarrow W$ gilt

$$\left[f\circ g\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{A}}=\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\left[g\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}$$

Als Diagramm siehe Abbildung cap:Verkettung-von-Abbildungen.

Figure 1: Verkettung von Abbildungen und Basiswechsel

Basiswechsel bei Vektoren

Seien $\mathcal{B}=\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)$ und $\mathcal{B}'=\left(b'_{1},\ldots,b'_{n}\right)$ Basen des $K$-Vektorraums $V$. Jedes $v\in V$ lässt sich bezüglich beider Basen darstellen:

$$\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c} \lambda_{1}\\... ...\left(\begin{array}{c} \lambda'_{1}\\ \vdots\\ \lambda'_{n}\end{array}\right)$$

Es gilt

$$S=\left[\textrm{id}_{V}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}=\left(\left[b'_{1}\right]_{\mathcal{B}},\ldots,\left[b'_{n}\right]_{\mathcal{B}}\right)$$

Dieses $S$ ist die Transformationsmatrix des Basiswechsels von $\mathcal{B}'$ nach $\mathcal{B}$.

• $S$ ist invertierbar und $S^{-1}=\left[\textrm{id}_{V}\right]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$

Basiswechsel von Abbildungen

Sei $f:V\rightarrow W$. Ferner seien $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ Basen von $V$ und $\mathcal{C},\mathcal{C}'$ Basen von $W$. Setze $S=\left[\textrm{id}_{V}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ und $R=\left[\textrm{id}_{W}\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}'}$. Dann gilt:

$$\left[f\right]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'} = R^{-1}\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}S$$

$$\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = R\left[f\right]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}S^{-1}$$

Falls $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ beide bezüglich der gleichen Basis z.B. $K^{n}$ und $\mathcal{C},\mathcal{C}'$ beide bezüglich der gleichen Basis z.B. $K^{m}$, können diese als Matrix mit den Basisvektoren als Spalten interpretiert werden und es gilt:

$$\left[f\right]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'} = \mathcal{C}'^{-1}\mathcal{C}\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\mathcal{B}^{-1}\mathcal{B}'$$

$$\left[f\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = \mathcal{C}^{-1}\mathcal{C}'\left[f\right]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}\mathcal{B}'^{-1}\mathcal{B}$$

• $\left[\varphi\right]_{E}^{E}=B\left[\varphi\right]_{B}^{B}B^{-1}$
• Um einen Vektor in eine Andere Basis zu bringen muss man ihn einfach von Links mit der Matrix $\left[\textrm{id}\right]_{B_{neu}}^{B_{alt}}$ multiplizieren.
• $\left[\textrm{id}\right]_{B}^{B}=I_{n}$