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Subsections

Lineare Gleichungssysteme

Definition

Ein System aus $ m$ Gleichungen und $ n$ unbekannten heißt lineares Gleichungssystem (kurz LGS) über dem Körper $ K$. Es hat folgende Gestalt:

$\displaystyle \alpha_{11}x_{1}+\ldots+\alpha_{1n}$ $\displaystyle x_{n}=$ $\displaystyle \beta_{1}$  
$\displaystyle \vdots\qquad $   $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle \alpha_{m1}x_{1}+\ldots+\alpha_{mn}$ $\displaystyle x_{n}=$ $\displaystyle \beta_{m}$  

mit $ \alpha_{ij}\in K$ und $ \beta_{i}\in K$. Die $ n$-Tupel $ \left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}\end{array}\right)\in K^{n}$ die dieses Gleichungsystem erfüllen sind die Lösungen des LGS. Für $ \beta_{1}=\ldots=\beta_{m}=0$ heißt es homogen, ansonsten inhomogen.


Zeilenoperationen

Die Lösungsmenge des LGS ändert sich nicht unter folgenden elementaren Zeilenoperationen:

  1. $ \left(E1\right)$ Addiere zu einer Gleichung das $ \lambda$-fache einer anderen Gleichung
  2. $ \left(E2\right)$ Tausche zwei Gleichungen
  3. $ \left(E3\right)$ Multipliziere eine Gleichung mit $ \lambda\in K\backslash\left\{ 0\right\} $


Das Gauß - Jordan Eliminationsverfahren

  1. Fallunterscheidung

    Nun sieht das LGS so aus:
    $\displaystyle \alpha_{11}'x_{1}+\alpha_{12}'x_{2}+ \ldots+\alpha_{1n}'x_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \beta_{1}'$  
    $\displaystyle \alpha_{22}'x_{2}+ \ldots+\alpha_{1n}'x_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \beta_{2}'$  
    $\displaystyle \vdots\qquad $   $\displaystyle \vdots$  
    $\displaystyle \alpha_{m2}'x_{2}+ \ldots+\alpha_{mn}'x_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \beta_{m}'$  

  2. Die unteren $ m-1$ Gleichungen des modifizierten LGS bilden ein LGS mit $ n-1$ Unbekannten. Behandle diese wie in Schritt 1. mache dies $ m-1$ mal.
  3. Nun hat das System die folgende Zeilenstufenform:


    $\displaystyle \gamma_{1j_{1}}x_{j_{1}}+\ldots+\gamma_{1n}x_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \delta_{1}$  
    $\displaystyle \gamma_{2j_{2}}x_{j_{2}}+\ldots+\gamma_{2n}x_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \delta_{2}$  
    $\displaystyle \vdots$   $\displaystyle \vdots$  
    $\displaystyle \gamma_{rj_{r}}x_{j_{r}}+\ldots+\gamma_{rn}x_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \delta_{r}$  
    0 $\displaystyle =$ $\displaystyle \delta_{r+1}$  
    $\displaystyle \vdots$   $\displaystyle \vdots$  
    0 $\displaystyle =$ $\displaystyle \delta_{m}$  

    Dabei ist $ 0\le r\le\min\left\{ m,n\right\} $ und $ 1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots<j_{r}\leq n$ sowie $ \forall k\in\left\{ 1,\ldots,r\right\} :\gamma_{k,j_{k}}\in K\backslash\left\{ 0\right\} $ Die Zahl $ r$ heißt Rang von dem System in Zeilenstufenform. Es gilt für alle $ i\in\left\{ 1,\ldots,r\right\} $ $ \gamma_{ij_{i}}\neq0$. Die Variablen $ x_{j_{1}},\ldots x_{j_{r}}$ werden Pivotvariablen genannt.

  4. Fallunterscheidung


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Marco Möller 20:09:10 02.12.2005