%% LyX 1.3 created this file. 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Achim Richter an der Technischen Universität Darmstadt im Wintersemester 2004/05. Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} \section{Einheiten und Vorsatzzeichen} \subsection{Einheiten\index{Einheiten}} Alle Einheiten lassen sich auf die 7 SI-Basiseinheiten\index{Si-Basiseinheiten}\index{Basiseinheiten}\index{Einheiten!SI-B.} (System International) zurückführen. Dies sind Länge~(m), Masse~(kg), Zeit~(s), Stromstärke~(A), Temperatur~(K), Stoffmenge~(Mol) und die Lichtstärke~(cd). Eine ausführliche Auflistung finden sie in Tabelle \vref{cap:Einheiten}. % \begin{table*} \caption{\label{cap:Einheiten}Einheiten} \hfill{}\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Größe\index{Grössen}& Formel-Buchstabe& Einheit& Einheit-Name\tabularnewline \hline \hline Länge& l& m& Meter\tabularnewline \hline Masse& m& kg& KiloGramm\tabularnewline \hline Zeit& t& s& Sekunde\tabularnewline \hline Stromstärke& I, i(t)& A& Ampere\tabularnewline \hline Temperatur& T, $\vartheta$& °C& Grad-Celsius\tabularnewline & & K& Grad-Kelvin\tabularnewline \hline Stoffmenge& m& Mol& mol\tabularnewline \hline Lichtstärke& & cd& Candela\tabularnewline \hline \hline el. Ladung& Q& $C=As$& Coulomb\tabularnewline \hline el. Spannung& U, u(i)& $V=\frac{J}{C}=\frac{m^{2}kg}{s^{3}A}$& Volt\tabularnewline \hline el. Widerstand& R& $\Omega=\frac{1}{S}=\frac{V}{A}=\frac{m^{2}kg}{s^{3}A^{2}}$& Ohm\tabularnewline \hline el. Leitwert& G& $S=\frac{1}{\Omega}=\frac{A}{V}=\frac{s^{3}A^{2}}{m^{2}kg}$& Siemens\tabularnewline \hline mag. Fluß& $\phi$& $W_{b}=Vs=\frac{m^{2}kg}{s^{2}A}$& Weber\tabularnewline \hline mag. Flußdichte& B& $T=\frac{Vs}{m^{2}}=\frac{kg}{s^{2}A}$& Tesler\tabularnewline \hline mag. Feldstärke& H& $\frac{A}{m}$& \tabularnewline \hline Induktivität& L& $H=\frac{Vs}{A}=\frac{m^{2}kg}{s^{2}A}$& Henry\tabularnewline \hline Leistung& P& $W=VA=\frac{m^{2}kg}{s^{3}}$& Watt\tabularnewline \hline Energie& W& $J=Ws=Nm=\frac{m^{2}kg}{s^{2}}$& Joule\tabularnewline \hline el. Kapazität& C& $F=\frac{C}{V}=\frac{As}{V}=\frac{A^{2}s^{4}}{m^{2}kg}$& Farrad\tabularnewline \hline Geschwindigkeit& v& $\frac{m}{s}$& \tabularnewline \hline Beschleunigung& a& $\frac{m}{s^{2}}$& \tabularnewline \hline Kraft& F& $N=\frac{mkg}{s^{2}}$& Newton\tabularnewline \hline \end{tabular}\hfill{} \end{table*} \subsubsection{Länge\index{Länge}} $1$m ist die Stecke die das Licht im Vakuum während der Zeit $\frac{1}{c_{0}}s$ durchläuft, mit $c_{0}=299798458\frac{m}{s}$. \subsubsection{Winkel\index{Winkel}} \paragraph{Ebener Winkel\index{ebener Winkel}} \[ \alpha=\frac{l}{r}=\frac{\textrm{Laenge auf Kreis}}{\textrm{Radius}}\] \[ \left[\alpha\right]=1rad=\frac{360°}{2\pi}=57,295°\] \begin{itemize} \item $1°=60'$(Bogenminuten\index{Bogenminuten}) \item $1'=60''$(Bogensekunden\index{Bogensekunden}) \end{itemize} \paragraph{Raumwinkel\index{Raumwinkel}} \[ \Omega=\frac{F}{r^{2}}=\frac{\textrm{Kugelflaeche}}{\textrm{Radius}^{2}}\] \begin{eqnarray*} \left[\Omega\right] & = & 1sr\\ & = & 1Steradiant\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item $\Omega_{max}=4\pi$ \end{itemize} \subsubsection{Zeit\index{Zeit}} Jedes Phänomen, dass sich selbst wiederholt, d.h. jeder periodische Vorgang, kann als Maß für die Zeit benutzt werden.\[ 1s=9192631770\textrm{Schwingungen von }^{133}Cs\] \begin{description} \item [Frequenz\index{Frequenz}]$\nu=\frac{n}{t}=\frac{\textrm{Ereignisse}}{\textrm{Zeit}}$ \item [Kreisfrequenz\index{Kreisfrequenz}]$\omega=2\pi\nu$ \item [Periodendauer\index{Periodendauer}]$T=\frac{1}{\nu}=\frac{2\pi}{\omega}$ \item [Wellenlänge\index{Wellenlänge}]$\lambda_{vakuum}=\frac{c_{0}}{\nu}$ \end{description} \begin{itemize} \item $c_{0}=299798458\frac{m}{s}$ Lichtgeschwindigkeit im Vakuum \end{itemize} \begin{description} \item [Wellenzahl\index{Wellenzahl}]$\tilde{\nu}=\frac{\nu}{c}=\frac{1}{\lambda_{vakuum}}$ \end{description} \subsubsection{Masse\index{Masse}} Genauer Schwere Masse\index{Schwere Masse} (laut Einstein Äquivalent zur Trägen Masse\index{trägen Masse})\begin{eqnarray*} \left[m\right] & = & 1kg\\ & = & \frac{1}{1,9925*10^{-26}}\textrm{Atome von }^{12}C\\ & = & 5,0188*10^{25}\textrm{Atome von }^{12}C\end{eqnarray*} \begin{description} \item [Unit\index{Unit}]$1u=1unit=\frac{1}{12}\textrm{Masse von }^{12}C=1,6604*10^{-27}kg$ \item [Isotope\index{Isotope}]Elemente mit gleicher Kernladungs-, aber unterschiedlicher Neutronen Anzahl \end{description} \begin{itemize} \item Offt auch Nuklide\index{Nuklide} genannt \end{itemize} \begin{description} \item [Mittleres~Atomgewicht\index{mittleres Atomgewicht}\index{Atomgewicht}]$A_{r}=\frac{\bar{m}_{a}}{\frac{1}{12}m\left(^{12}C\right)}$ \end{description} \begin{itemize} \item Durchschnittliches Atomgewicht über alle Isotope hinweg bezogen auf $^{12}C$ \end{itemize} \begin{description} \item [Mol]$1mol=$diejenige Stoffmenge, die genausoviele Teilchen enthält wie $12,000g$ Kohlenstoff $^{12}C$ \end{description} \begin{itemize} \item Avogadro'sche Zahl\index{Avogadro'sche Zahl} $N_{A}=\left(6,022045\pm5*10^{-6}\right)*10^{23}\frac{1}{mol}$ \item $1mol$ enthält $N_{A}$ Teilchen \end{itemize} \begin{description} \item [Elektron\index{Elektron}]$m_{e}=9,1*10^{-31}kg$ \end{description} \subsection{Vorsatzzeichen\index{Vorsatzzeichen}} Siehe Tabelle \vref{cap:Forsatzzeichen-und-Abk=FCrzungen}. % \begin{table}[h] \caption{\label{cap:Forsatzzeichen-und-Abk=FCrzungen}Vorsatzzeichen und Abkürzungen\index{Abkürzungen}} \begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|} \hline da& Deka& $10^{1}$& d& Dezi& $10^{-1}$\tabularnewline \hline h& Hekto& $10^{2}$& c& Zenti& $10^{-2}$\tabularnewline \hline k& Kilo& $10^{3}$& m& Milli& $10^{-3}$\tabularnewline \hline M& Mega& $10^{6}$& $\mu$& Mikro& $10^{-6}$\tabularnewline \hline G& Giga& $10^{9}$& n& Nano& $10^{-9}$\tabularnewline \hline T& Tera& $10^{12}$& p& Piko& $10^{-12}$\tabularnewline \hline P& Peta& $10^{15}$& f& Femto& $10^{-15}$\tabularnewline \hline E& Exa& $10^{18}$& a& Atto& $10^{-18}$\tabularnewline \hline Z& Zetta& $10^{21}$& z& Zepto& $10^{-21}$\tabularnewline \hline Y& Yotta& $10^{24}$& y& Yocto& $10^{-24}$\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \subsection{Gleichungen\index{Gleichungen}} \begin{itemize} \item Größengleichungen\index{Größengleichungen}\index{Gleichungen!Größen}\begin{eqnarray*} \underbrace{a}= & \underbrace{\left\{ a\right\} } & \underbrace{\left[a\right]}\\ \mathrm{Formelzeichen} & \mathrm{Zahl} & \mathrm{Einheit}\end{eqnarray*} \index{Formelzeichen}\index{Zahl}\index{Einheit} \begin{itemize} \item Jeder Wert beseht aus Zahl und Einheit \item Die Einheit setzt sich aus den $7$SI-Basiseinheiten zusammen welche jeweils einen Exponenten aus $\mathbb{Z}$ haben \item Sicherer da man Fehler an falschen Einheiten erkennen kann \item z.B. $P=UI=220V\cdot15A=3300VA=3300W$ \end{itemize} \item Zahlenwertgleichungen\index{Zahlenwertgleichungen}\index{Gleichgunen!Zahlenwert} \begin{itemize} \item z.B. $W=4,186\cdot c\cdot m\cdot\Delta\vartheta$ wenn $C$ in $\frac{cal}{g\cdot k}$, $m$ in $kg$, $\Delta\vartheta$ in $K$ \item nicht benutzt, da Probleme mit Einheiten / in richtiger Dimension (mm,cm,m,km,...) \end{itemize} \item Zugeschnittene Größengleichungen\index{Zugeschnittene Größengleichungen}\index{Gleichungen!Zugeschnittene Größen} \begin{itemize} \item z.B. $\frac{W}{Ws}=\frac{4,186\cdot c\cdot m\cdot\Delta\vartheta}{cal}$ \item selten benutzt, aber sicherer als Zahlenwertgleichungen, da Einheiten mit benutzt werden \end{itemize} \end{itemize} \section{Radioaktiver Zerfall} \begin{description} \item [Zerfallsgesetz\index{Zerfallsgesetz}]$N\left(t\right)=N_{0}e^{-\lambda t}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\dot{N}=-\lambda N$ \end{itemize} \begin{description} \item [Halbwertszeit\index{Halbwertszeit}]$T_{1/2}$ mit $\frac{N_{0}}{2}=N_{0}e^{-\lambda T_{1/2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $T_{1/2}=\frac{\ln\left(2\right)}{\lambda}$ \item $\lambda=\frac{\ln\left(2\right)}{T_{1/2}}=\frac{1}{\tau}$ \item $\tau$ mittlere Lebensdauer\index{Lebensdauer} \end{itemize} \begin{description} \item [$C_{14}$~Datierung\index{Datierung}\index{C14 Datierung}]Ausnutzten, das in aller lebenden Materie das $\frac{C_{14}}{C_{12}}$ Verhältniss konstant ist, und erst ab dem Absterben abnimmt. \item [Uranium~Datierung]Ausnutzen, das beim Verfall von einem $U_{238}$ Atom genau ein $Pb_{206}$und 8 $He_{4}$ Atome entstehen \end{description} \section{Kinematik eines Massenpunktes} \begin{description} \item [Kinematik\index{Kinematik}]ist die Lehre von der Bewegung \item [Dynamik\index{Dynamik}]Verbindung zwischen Bewegung und deren Ursachen \item [Massenpunkt\index{Massenpunkt}]Masse die keine Räumliche Ausdehnung besitzt \end{description} \subsection{Bahn\index{Bahn}} Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die Beschreibung einfach wird. \begin{description} \item [Ort\index{Ort}]von $m$ lässt sich durch einen Vektor $\vec{r}=\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\end{array}\right)$ festlegen \item [Bahn\index{Bahn}]von $m$ ist der Ort als Funktion der Zeit $\vec{r}\left(t\right)$ \item [Bewegung\index{Bewegung}]von $m$ ist eine Ortsveränderung $\Delta\vec{r}$ im Zeitraum $\Delta t$ \item [Bahnkurve\index{Bahnkurve}]$x\left(t\right)=\frac{a\left(t\right)}{2}t^{2}+v_{0}t+x_{0}$ \item [Translation\index{Translation}]gradlinige Bewegung \item [Rotation\index{Rotation}]Kreisbewegung\index{Kreisbewegung} \end{description} \subsection{Geschwindigkeit} \begin{description} \item [Geschwindigkeit]$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot{\vec{r}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{v}$ Zeigt in Richtung der Tangente von der Bahn $\vec{v}=v\vec{e}_{t}$ \item $\left[v\right]=\frac{m}{s}$ \item $\vec{r}\left(t\right)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{v}\left(t\right)dt$ \end{itemize} \subsubsection{Kreisbewegung\index{Kreisbewegung}} \begin{description} \item [Winkelgeschwindigkeit]$\vec{\omega}\left(t\right)=$zurückgelegte $rad$ pro $s$ \end{description} \begin{itemize} \item Liegt in der Drehachse / Senkrecht zur Drehbewegung \end{itemize} \begin{description} \item [Geschwindigkeit]$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$ \end{description} \subsection{Beschleunigung} \begin{description} \item [Mittlere~Beschleunigung\index{mittlere Beschleunigung}]$\overline{a}=\frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\overline{\dot{v}}$ \item [Beschleunigung\index{Beschleunigung}]$\vec{a}=\vec{\dot{v}}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{\ddot{r}}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[v\right]=\frac{m}{s^{2}}$ \item $\vec{a}=\dot{v}\vec{e}_{t}+v\dot{e}_{t}=\dot{v}\vec{e}_{t}+ve_{n}=\dot{v}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{\rho}\dot{e}_{t}$\\ Beschleunigung lässt sich zerlegen in Tangentiale und Normale Komponente. $\rho$ ist der Krümmungsradius der Bahn. \end{itemize} \begin{description} \item [Erdbeschleunigung\index{Erdbeschleunigung}]$a=g=9,81\frac{m}{s^{2}}$ \end{description} \subsubsection{Kreisbewegung} \begin{description} \item [Zentripetalschleunigung\index{Zentripetalschleunigung}]$\vec{a}_{z}=\vec{\omega}\times\vec{v}$ \end{description} \begin{itemize} \item nach Innen gerichtet \item bei gleichmäßiger Bewegung $a_{z}=\frac{v^{2}}{r}$ \item Frequenz\index{Frequenz} $f$ \item Kreisfrequenz\index{Kreisfrequenz} $\omega=2\pi f$ \item Periodendauer\index{Periodendauer} $T=\frac{1}{f}$ \end{itemize} \section{Dynamik eines Massenpunktes - Kraft} \begin{description} \item [Dynamik\index{Dynamik}]Beschreibung von Bewegungen durch Kräfte \end{description} \subsection{Begriff der Kraft} \begin{description} \item [Impuls\index{Impuls}]$\vec{p}=m\vec{v}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[p\right]=\frac{mkg}{s}$ \item Ist eine Erhaltungsgröße\index{Erhaltungsgröße} $\Rightarrow$ bleibt über die Zeit gesehen in der Summe konstant \end{itemize} \begin{description} \item [Kraft\index{Kraft}]$\vec{F}=m\vec{a}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[F\right]=\frac{mkg}{s^{2}}=1Newton=1N$ \item hier geht die Träge Masse\index{Träge Masse} ein (Äquivalent der Schweren Masse) \item Lässt sich auf Ihrer \emph{Wirklinie\index{Wirklinie}} belibig verschieben. \item Kräftegleichgewicht\index{Kräftegleichgewicht} ($\sum\vec{F_{i}}=0$): Beschleunigung verschwindet. \end{itemize} \subsection{Newton'sche Axiome\index{Newton'sche Axiome}} \begin{description} \item [Trägheisprinzip\index{Trägheisprinzip}]$\left(N_{1}\right)$\index{N1} Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder in gleichförmig geradliniger Bewegung, falls er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu verlassen.\[ \vec{v}=const\quad\vec{a}=\vec{0}\] \item [Aktionsprinzip\index{Aktionsprinzip}]$\left(N_{2}\right)$\index{N2} Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich einer Kraft.\[ \vec{F}=\dot{\vec{p}}\] \item [Reaktionsprinzip\index{Reaktionsprinzip}]$\left(N_{3}\right)$\index{N3} Die Summe aller Kräfte in einem abgeschlossenen System sind $0$. Aktion = Reaktion\[ \sum\vec{F}=\vec{0}\] \end{description} \begin{itemize} \item Innere Kräfte\index{Innere Kräfte} (Wechselwirkungskräfte\index{Wechselwirkungskräfte}) treten immer Paarweise auf, und sind in der Summe $0$. \end{itemize} \subsection{Gravitation, Gewicht und schwere Masse} \begin{description} \item [Gravitationskraft\index{Gravitationskraft}]$\vec{F}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}$ \end{description} \begin{itemize} \item $r$ ist der Abstand zwischen den Massen \item $\vec{e}_{r}=\frac{\vec{r}}{r}$ ist der Radiale Einheitsvektor \item $G=6,67890*10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}$ ist die \emph{Gravitationskonstante\index{Gravitationskonstante}} (auch manchmal $\gamma$) \item $g=G\frac{M_{E}}{R_{E}^{2}}$ Erdbeschleunigung\index{Erdbeschleunigung} \begin{itemize} \item Abhängig von der Höhe und vom Breitengrad, da Erde nicht ideal Kugelförmig \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [Gewicht\index{Gewicht}]Die Kraft die der Ausschlag der Federwaage anzeigt, ist gleich dem Gewicht $G$ des Körpers, d.h.: Gewicht~=~Kraft \end{description} \begin{itemize} \item $\left[Gewicht\right]=N$ \item $1kg\hat{=}9,81N$ \end{itemize} \begin{description} \item [Schwere~Masse\index{schwere Masse}\index{Masse}]$m_{schwer}=m_{s}=\frac{Gewicht}{g}$ hat nichts zu tun mit der Trägen Masse $\left(m_{t}\right)$, die wir über Beschleunigung definiert haben. \end{description} \begin{itemize} \item es lässt sich zeigen, dass $m_{s}=m_{t}$ gilt \end{itemize} \subsection{Planetenbewegung\index{Planetenbewegung}} \begin{description} \item [Kepplerschen~Gesetze\index{Kepplersche Gesetze}]~ \begin{description} \item [(K1)]Bahnen der Planeten um die Sonne sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne liegt \item [(K2)]Radiusvektor von der Sonne zum Planeten (Fahrstrahl\index{Fahrstrahl}) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. \end{description} \begin{itemize} \item Beschleunigung / Kräfte ist immer Radial zur Sonne gerichtet. Eine solche Kraft nennt sich \emph{Zentralkraft\index{Zentralkraft}} - Immer radial auf / von Zentrum gerrichtet. \end{itemize} \begin{description} \item [(K3)]Das Verhältniss aus der Umlaufzeit zur $3$.ten Potenz und dem Quadrat der Umlaufzeit ist für alle Planetenbahnen gleich. $\frac{a^{3}}{T^{2}}=3,354*10^{18}\frac{m^{3}}{s^{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item Hieraus lässt sich die Sonnenmasse bestimmen \item Gilt innerhalb eines Sonnensystems (bzw. Planet mit Monden oder so) \end{itemize} \item [Satellitenbahn\index{Satellitenbahn}]$v=\sqrt{G\frac{m_{E}}{r}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $v$ auf Kreisbahn \item $r$ Bahnradius \item $G$ Gravitationskonstante \item Umlaufperiode $T=2\pi r\sqrt{\frac{r}{Gm_{E}}}$ \item Unabhängig von Satellitenmasse \end{itemize} \begin{description} \item [Fluchtgeschwindigkeit\index{Fluchtgeschwindigkeit}]$v_{0}=\sqrt{2gr_{E}}$ \end{description} \begin{itemize} \item Abschussgeschwindigkeit die Nötig ist, einen Körper ins Unendliche zu befördern. D.h. er wird niemals auf die Erde zurückfallen. \end{itemize} \subsection{Reibung\index{Reibung}} \begin{description} \item [Feste~Körper]$\left|\vec{F}_{r}\right|_{max}=\mu F_{n}$ \end{description} \begin{itemize} \item Die Reibung wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung, ist aber niemals größer als die Beschleunigende Kraft. \item $F_{n}$ ist die Normalkomponente der Kraft, die den Körper auf die Oberfläche Presst \item $\mu$ Ist eine Materialkonstante (anhängig von beiden Materialien) \begin{itemize} \item $\mu_{H}$ Haftreibung\index{Haftreibung} \item $\mu_{G}$ Gleitreibung\index{Gleitreibung} \item $\mu_{R}$ Rollreibung\index{Rollreibung} \item $\mu_{R}<\mu_{G}<\mu_{R}$ \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [Flüssigkeiten~/~Gase]$F_{R}=\gamma v$ \end{description} \begin{itemize} \item Wirkrichtung entgegengesetzt zu $\vec{v}$ \item so nur für kleine Körper. Bei großen Körpern $F_{R}\sim v^{2}$. \item $\gamma=k\eta$ Materialkonstante \begin{itemize} \item $\eta$ Eigenschafft der Flüssigkeit / des Gases. Zähigkeit / Viskosität\index{Viskosität} \begin{itemize} \item $\left[\eta\right]=1\frac{g}{s*cm}=1\textrm{Poise}=1P$\index{Poise} \end{itemize} \item $k$ Gestalt des Körpers \end{itemize} \item Spezialfall: Kugel vom Radius $R$ - Stokesches Gesetz\index{Stokesches Gesetz}\\ $\vec{F}_{R}=-6\pi\eta R\vec{v}$ \item Auftrieb\index{Auftrieb} in Flüssigkeiten/Gasen $F=m_{verdr}g$ \begin{itemize} \item $m_{verd}$ Masse der Verdrängten Flüssigkeit / Gas \end{itemize} \item Endgeschwindigkeit $v_{e}=\frac{m-m_{verdr}}{k*\eta}g$ \end{itemize} \subsection{Elastizität\index{Elastizität} von Materialien} \begin{description} \item [Spannung\index{Spannung}]$\sigma=\frac{F}{A}$ \end{description} \begin{itemize} \item Kraft die Pro Querschnittsfläche in einem Material wirkt \end{itemize} \begin{description} \item [Dehnung\index{Dehnung}]$\epsilon=\frac{\Delta l}{l}$ \item [Elastizitätsmodul\index{Elastizitätsmodul}]$\sigma=E\epsilon$ \end{description} \begin{itemize} \item Nur für $\epsilon<1\%$ so, darüber beginnt das plastische Fließen was nichtlinear und vorallem irreversibel ist. \item hängt nicht nur von Material, sondern auch von dessen innerer Struktur und damit der Vorgeschichte des Materials ab. \end{itemize} \subsection{Mathematisches Pendel (Fadenpendel\index{Fadenpendel})} \begin{description} \item [Mathematisches~Pendel\index{Mathematisches Pendel}]hat folgende Idealisierungen: \end{description} \begin{itemize} \item Punktförmige Masse \item gewichtsloser Faden \item nur kleine Ausschläge des Pendels \end{itemize} \begin{description} \item [Schwingfrequenz\index{Schwingfrequenz}]$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$ \end{description} \begin{itemize} \item Bewegungsgleichung $\varphi\left(t\right)=A*\cos\left(\omega t\right)$ \end{itemize} \subsection{Harmonischer Oszillator\index{harmonischer Oszillator}\index{Oszillator}} \begin{description} \item [Allgemein]$m\ddot{x}=-Dx\Leftrightarrow\ddot{x}=-\omega_{0}^{2}x$ \item [Lineare~harmonische~Schwingung\index{Schwingung}\index{harmonische Schwingung}]mit Kreisfrequenz $\omega$. Heißt harmonisch, da nur sinus und cosinus Therme auftreten\begin{eqnarray*} x\left(t\right) & = & A\cos\left(\omega_{0}t\right)+B\sin\left(\omega_{0}t\right)\\ & = & X\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right)\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $X$ Amplitude\index{Amplitude} \item $\varphi$ Phasenlage\index{Phasenlage} \end{itemize} \begin{description} \item [Feder-Masse~Schwinger\index{Feder-Masse Schwinger}]$\omega_{o}=\sqrt{\frac{D}{m}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $D=\frac{F}{s}$ Federkonstante\index{Federkonstante} ($s=DF$ Hook'sches Gesetz\index{Hook'sches Gesetz})\label{sub:Hook} \item $x\left(t\right)=x_{0}\cos\left(\omega_{0}t\right)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin\left(\omega_{0}t\right)$ \begin{itemize} \item $x_{0}$ Anfangsauslekung \item $v_{0}$ Anfangsgeschwindigkeit \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Gedämpfter\index{Gedämpfter harmonischer Oszillator} harmonischer Oszillator\index{Oszillator}} \begin{description} \item [Allgemein]$\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x+2\varrho\dot{x}=0$ \end{description} \begin{itemize} \item Bei Feder $\omega_{0}^{2}=\frac{D}{m}$ und $2\varrho=\frac{\gamma}{m}$ wobei $\gamma$ Reibungskonstante \end{itemize} \begin{description} \item [Ansatz]$x=Ae^{\lambda t}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\lambda_{1/2}=-\varrho\pm\sqrt{\varrho^{2}-\omega_{0}^{2}}$ \item $x=C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}$ \item $\left[\lambda\right]=\frac{1}{s}$ \end{itemize} \begin{description} \item [kritische~Dämpfung\index{Dämpfung}\index{kritische Dämpfung}]$\varrho^{2}=\omega_{0}^{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item $x\left(t\right)=x_{0}\left(1+\varrho t\right)e^{-\varrho t}$ \item Ruhelage für $t=\infty$ erreicht \end{itemize} \begin{description} \item [Überkritische~Dämpfung\index{Überkritische Dämpfung}]$\varrho^{2}>\omega_{0}^{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item Krichfall\index{Krichfall} \item aperiodischer Fall\index{aperiodischer Fall} \item abklingende Schwingung\index{abklingende Schwingung} \item $C_{1}=\frac{\lambda_{2}x_{0}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\quad C_{2}=\frac{\lambda_{1}x_{0}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}$ \item $x\left(t\right)=x_{0}\left(\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}e^{\lambda_{1}t}+\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}e^{\lambda_{2}t}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Schwach~gedämpftes~System\index{schwach gedämpftes System}]$\varrho^{2}<\omega_{0}^{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\omega=\omega_{0}\sqrt{1-\frac{\varrho^{2}}{\omega_{0}^{2}}}$ \item $x\left(t\right)=x_{0}e^{-\varrho t}\left(\cos\left(\omega t\right)+\frac{\varrho}{\omega}\sin\left(\omega t\right)\right)$ \item $\varphi=\arctan\left(-\frac{\varrho}{\omega}\right)$ \item $C=\frac{1}{\arccos\left(\varphi\right)}$ \item $x\left(t\right)=x_{0}e^{-\varrho t}C\cos\left(\omega t+\varphi\right)$ \item $T=\frac{2\pi}{\omega}$ \item exponentiell gedämpfte Schwingung \item Dämpfungsverhältniss\index{Dämpfungsverhältniss} $k=\frac{x\left(t\right)}{x\left(t+T\right)}=e^{\varrho T}$ \end{itemize} \subsection{Linear gekoppelte harmonische Oszillatoren} Zwei Wagen $x_{1}$ und $x_{2}$ werden mit einem Gummiband gekoppelt (Federkonstante $d$), jeweils an den Rändern mit einer Feder $D$ befestigt und in Schwingung versetzt. Dabei gibt es zwei charakteristische Schwingungstypen - \emph{Normalmoden}\index{Normalmoden}. Beide Pendel schwingen gegenphasig (gegeneinander) mit $\omega_{-}$ bzw. sie schwingen gemeinsam $\omega_{+}$. Beobachtung $\omega_{+}<\omega_{-}$. \paragraph{Allgemein} \begin{eqnarray*} \ddot{x}_{1} & = & -\omega_{0}^{2}x_{1}-\frac{d}{m}\left(x_{1}-x_{2}\right)\\ \ddot{x}_{2} & = & -\omega_{0}^{2}x_{2}-\frac{d}{m}\left(x_{2}-x_{1}\right)\end{eqnarray*} \paragraph{Lösung} \begin{eqnarray*} X & = & A_{+}\cos\left(\omega_{+}t+\varphi_{+}\right)\\ Y & = & A_{-}\cos\left(\omega_{-}t+\varphi_{-}\right)\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item erhalten durch Additon und Subtraktion der oberen Gleichungen \item $X=x_{1}+x_{2}$ \item $Y=x_{1}-x_{2}$ \item $\omega_{+}=\omega_{0}$ \item $\omega_{-}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+\frac{2d}{m}}$ \item Diese Normalmoden sind sozusagen Standardbasisvektoren und alle anderen Schwingungen lassen sich aus ihnen kombinieren \end{itemize} \begin{eqnarray*} x_{1} & = & \frac{A_{+}}{2}\cos\left(\omega_{+}t+\varphi_{+}\right)+\frac{A_{-}}{2}\cos\left(\omega_{-}t+\varphi_{-}\right)\\ x_{2} & = & \frac{A_{+}}{2}\cos\left(\omega_{+}t+\varphi_{+}\right)-\frac{A_{-}}{2}\cos\left(\omega_{-}t+\varphi_{-}\right)\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Es findet kein Energieaustausch zwischen den Schwingungnen in Normalmoden statt \end{itemize} \paragraph{Spezialfall - Schwebung\index{Schwebung}} \begin{eqnarray*} x_{1} & = & A\cos\left(\omega_{t}t\right)\cos\left(\Delta\omega t\right)\\ x_{2} & = & A\sin\left(\omega_{t}t\right)\sin\left(\Delta\omega t\right)\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item $\varphi_{+}=\varphi_{-}=0$ \item $A_{+}=A_{-}=A$ \item $\Delta\omega=\frac{\omega_{-}-\omega_{+}}{2}$Schwebungsfrequenz\index{Schwebungsfrequenz} \item $\omega_{t}=\frac{\omega_{-}+\omega_{+}}{2}$ Trägerfrequenz\index{Trägerfrequenz} \item Energie schwingt zwischen $x_{1}$ und $x_{2}$ hin und her \end{itemize} \subsection{Erzwungene Schwingungen\index{Erzwungene Schwingungen}} Anregung eines gedämpft schwingenden Systems durch eine von Außen wirkende periodische Kraft (sinusförmig). \begin{description} \item [Allgemein]$\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x+2\varrho\dot{x}=\alpha_{0}\cos\left(w_{1}t\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item Bei Feder $\omega_{0}^{2}=\frac{D}{m}$ und $2\varrho=\frac{\gamma}{m}$ wobei $\gamma$ Reibungskonstante \item $\alpha_{0}=\frac{F_{0}}{m}$ von außen wirkende Kraft geteilt durch die Schwingmasse \end{itemize} \begin{description} \item [Lösung]$x\left(t\right)=\epsilon\cos\left(\omega_{1}t+\varphi\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $\varphi=\arctan\left(-\frac{2\varrho\omega_{1}}{\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2}}\right)$ \item $\epsilon=\frac{\alpha_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)^{2}+\left(2\varrho\omega_{1}\right)^{2}}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Verhalten]~ \end{description} \begin{itemize} \item Amplitude der Schwingung ist um so größer, je größer $\alpha_{0}$ ist \item Amplitude der Schwingung ist um so größer, je geringer der Unterschied zwischen $\omega_{0}$ und $\omega_{1}$ ist. \item Amplitude der Schwingung ist um so größer, je geringer die Dämpfung $\varrho$ ist. \item $\epsilon_{max}$ bei $\omega_{m}$ knapp unter $\omega_{0}$ bzw bei $\omega_{m}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\varrho^{2}}$ \item $\epsilon\left(\omega_{0}\right)\approx\epsilon\left(\omega_{m}\right)$ \item Phase bleibt im Resonanzfall um $\frac{\pi}{2}$ zurück. \begin{description} \item [Gütefaktor\index{Gütefaktor}]$Q=\omega_{0}\tau=\frac{\epsilon\left(\omega_{m}\right)}{\epsilon_{0}\left(\omega_{1}=0\right)}\approx\frac{\epsilon\left(\omega_{0}\right)}{\epsilon_{0}\left(\omega_{1}=0\right)}=\frac{\alpha_{0}}{2\varrho\omega_{0}}$ \end{description} \begin{itemize} \item mit $\tau=\frac{1}{2\varrho}=\frac{m}{\gamma}$ \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Lissajous Figuren} \emph{Lissajous Figuren\index{Lissajous Figuren}} entsprehen, durch die harmonische Auslenkung eines Punktes in der $x$ und $y$ Ebene als Bahnkurve dieses Punktes.\begin{eqnarray*} s_{x}\left(t\right) & = & s_{x0}\cos\left(\omega_{x}t\right)\\ s_{y}\left(t\right) & = & s_{y0}\cos\left(\omega_{y}t+\varphi\right)\end{eqnarray*} \begin{description} \item [Kreis]$\varphi=\frac{\pi}{2}\quad\omega_{x}=\omega_{y}\quad s_{x0}=s_{yo}$ \end{description} \begin{itemize} \item $s_{x0}^{2}=s_{x}^{2}+s_{y}^{2}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Gerade]$\varphi=0\quad\omega_{x}=\omega_{y}$ \end{description} \begin{itemize} \item Vom Punkt $\left(-s_{x0},-s_{y0}\right)$ bis $\left(s_{x0},s_{y0}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Ellipse]$\varphi=\frac{\pi}{2}\quad\omega_{x}=\omega_{y}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left(\frac{s_{x}}{s_{x0}}\right)^{2}+\left(\frac{s_{x}}{s_{x0}}\right)^{2}=1$ \end{itemize} \begin{description} \item [Acht]$\varphi=\frac{\pi}{2}\quad n\omega_{x}=\omega_{y}\quad n>1$ \end{description} \subsection{Nichtlineare Schwingungen\index{nichtlineare Schwingungen}\index{Schwingungen!Nichtlineare}} Das Gesetz $F=-Dx$ ist nur eine Näherung für kleine $x$. \begin{description} \item [Näherung]$F=-Dx-D_{3}x^{3}$ \item [DGL]$\ddot{x}+2\varrho\dot{x}+\omega_{0}^{2}x+\delta x^{3}=\alpha\cos\left(\omega t\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $\delta=\frac{D_{3}}{m}$ \end{itemize} \paragraph{Effekte} \begin{itemize} \item Analytisch nicht mehr lösbar $\Rightarrow$ numerische Simulation \item Überhängen der Resonanzkurve. Es gibt eine Hysterese zwischen hin und Rücklaufendem $\omega$ \item Es entstehen zusätzliche (kleinere) Resonanzen bei ganzzahligen Vielfachen / Brüchen von $\omega_{0}$ \item Ein nichtlinearer Oszillator braucht nicht mit der Anregungsfrequenz schwingen. \item Es tritt Periodenverdoplung\index{Periodenverdoplung} auf \item Dies kann zu einer Periodenverdopplungskaskade führen \begin{itemize} \item $2^{\infty}$Verdopplungen: aperiodische Schwingung\index{Schwingung!aperiodische} / chaotische Schwingung\index{Schwingung!chaotische+} \end{itemize} \end{itemize} \section{Arbeit, Leistung, Energie und Energieerhaltung} \subsection{Arbeit und Leistung} \begin{description} \item [Arbeit\index{Arbeit}]$W=\vec{F}\vec{r}=Fr\cos\left(\vec{F},\vec{r}\right)=\int\vec{F}\left(\vec{r}\right)\, d\vec{r}=\int N\, dt=\int p\, dv$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[F\right]=1Nm=1Ws=1Jule=1J$ \item $W$ hat ein neegatives Vorzeichen, falls Arbeit verrichtet werden muss (Konvention) \end{itemize} \begin{description} \item [Leistung\index{Leistung}]$N=\frac{dW}{dt}=\dot{W}$ \end{description} \begin{itemize} \item oben ist die momentane Leistung angegeben. Die mittlere Leistung ist: $\overline{N}=\frac{W}{t}$ \item $\left[N\right]=1\frac{Nm}{s}=1\frac{J}{s}=1Watt=1W$ \end{itemize} \subsection{Verschiedene Formen der Arbeit} \begin{description} \item [Hubarbeit\index{Hubarbeit}]$W=mgh$ \item [Federarbeit\index{Federarbeit}]$W=\frac{1}{2}Dx^{2}$ \item [Beschleunigungsarbeit\index{Beschleunigungsarbeit}]$W_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item auch kinetische Energie\index{kinetische Energie} genannt. \end{itemize} \subsection{Energie} \begin{description} \item [Energie\index{Energie}]Arbeitsfähigkeit des Systems, d.h. der Aufwand von Arbeit gibt dem System selbst wieder die Möglichkeit Arbeit zu leisten.\[ \Delta E+\Delta W=0\] \item [Potentielle~Energie\index{Potentielle Energie}]Arbeitsfähigkeit der Lage des Systems \end{description} \begin{itemize} \item $W_{pot}=-\int_{1}^{2}\vec{F}\, d\vec{r}=U\left(\vec{r}_{1}\right)-U\left(\vec{r}_{2}\right)$ \item Die Kräfte des Potentialfeldes lassen sich ermittel mit $\vec{F}=-\vec{\nabla}U\left(\vec{r}\right)$ \item Im Potentialfelder erzeugen konservative Kräfte \end{itemize} \begin{description} \item [konservative~Kräfte\index{Koservative Kräft}]$\oint\vec{F}\, d\vec{r}=0$ \end{description} \begin{itemize} \item Die ist Heis $\vec{F}$ ist rotationsfrei \item Kräfte die dies nicht erfüllen heißen nicht konservative Kräfte \end{itemize} \begin{description} \item [Kinetische~Energie\index{kinetische Energie}]Arbeitsfähigkeit eines Systems, die aus dem Bewegungszustand folgt. \end{description} \begin{itemize} \item $W_{kin}=\frac{1}{2}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)$ \end{itemize} \subsection{Energieerhaltung} \begin{description} \item [Energieerhaltung\index{Energieerhaltung}]$W_{kin}+W_{pot}=$ konstant \end{description} \begin{itemize} \item gilt nur in Systemen wo keine anderen Energieformen mit hineinspielen \item unter vernachlässigung der Reibung \end{itemize} \begin{description} \item [Bewegung]$t-t_{0}=\int_{r_{0}}^{r}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(W-W_{pot}\right)}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $W$ = Gesamtenergie des Systems \item $r_{0},t_{0}$ Anfangspositionen \end{itemize} \subsection{Bahnimpuls\index{Bahnimpuls}} \begin{description} \item [Impulserhaltungssatz\index{Impulserhaltungssatz}]$\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}=\textrm{konst}$ \end{description} \begin{itemize} \item ohne äußere Einwirkung bleibt in einem abgeschlossenen System die Summe aller Impulse konstant. \end{itemize} \begin{description} \item [Stoßprozess\index{Stoßprozess}]$\sum_{i}\frac{\vec{p'}_{i}^{2}}{2m_{i}}=Q+\sum_{i}\frac{\vec{p'}_{i}^{2}}{2m_{i}}$ \begin{description} \item [Energieverlust]$Q$ \item [Elsastischer~Stoß\index{Stoß!Elsastisch}]$Q=0$ \item [Unelastischer~Stoß\index{Stoß!unelastisch}]$Q\neq0$ \end{description} \begin{itemize} \item Größen ohne $'$ vor dem Stoß, mit $'$ nach dem Stoß \end{itemize} \item [zentraler~elastischer~Stoß\index{Zentraler Stoß}\index{Stoß}]$\frac{\vec{p}_{1}^{2}}{2m_{1}}=\frac{\vec{p'}_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{\vec{p'}_{2}^{2}}{2m_{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item zweite Kugel in Ruhe $p_{2}=0$ \item $p'_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}p_{1}$\\ $p'_{2}=\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}p_{1}$ \item $v_{1}'=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$\\ $v_{2}'=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$ \end{itemize} \begin{description} \item [zentraler~unelastischer~Stroß]$v_{1}'=v_{2}'$ \end{description} \begin{itemize} \item zweite Kugel in Ruhe $p_{2}=0$ \item $p_{1}'=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}p_{1}$\\ $p_{2}'$=$\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}p_{2}$ \item $v_{1}'=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$\\ $v_{2}'=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$ \item $Q>0$ \item $\frac{Q}{W_{kin}^{vorher}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ \begin{description} \item [Wirkungsgrad\index{Wirkungsgrad}]$\eta=1-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ \end{description} \end{itemize} \begin{description} \item [Nicht~zentraler~elastischer~Stoß]$Q=0,p_{2}=0$ \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{p}_{1}=\vec{p}_{1}'+\vec{p}_{2}'$ \item Die Vektoren $p_{1}'$ und $p_{2}'$ gehorchen folgender Kreisgleichung \begin{itemize} \item $\vec{p}_{1}'=\left(x,y\right)$ \item $\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=R^{2}$ \item $x_{m}=R=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$ \item $y_{m}=0$ \end{itemize} \item Sonderfall $m_{1}=m_{2}$ \begin{itemize} \item $\vec{p}_{1}'\perp\vec{p}_{2}'$ \item beim zentralen Stoß erfolgt \emph{Geschwindigkeitsaustausch}\index{Geschwindigkeitsaustausch}, d.h. $\vec{p}_{1}'=0$ \end{itemize} \item Sonderfall $m_{1}\ll m_{2}$ \begin{itemize} \item Impuls $\vec{p}_{1}'$ kann nach dem Stoß alle Richtungen haben, sein Betrag bleibt praktisch erhalten \item beim zentralen Stoß wird $m_{1}$ \emph{reflektiert\index{reflektiert}} \item $v_{2}\approx2\frac{m_{1}}{m_{2}}v_{1}$ \item Energieübertragung $W_{kin,2}\approx4\frac{m_{1}}{m_{2}}W_{kin,1}$ \item Energieübertrag umso Größer, je kleiner der Massenunterschied \end{itemize} \item Sonderfall $m_{1}\gg m_{2}$ \begin{itemize} \item Der stossende Körper $m_{1}$ behält praktisch seine Geschwindigkeit und Richtung bei \item $\vec{p_{1}}\approx\vec{p}_{1}'$ \item der Körper stößt den anderen vor sich her. \end{itemize} \end{itemize} \section{Systeme von Massenpunkten} \subsection{Schwerpunkt} Allgemein ein solches System mit $i$ Massen, zu jeder Masse deren Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Zwischen diesen Kräfen herschen (paarweise identische) innere\index{innere Kraft} Kräfte, die im folgenden vorläufig nicht Berrücksichtigt werden, sondern nur die \emph{äußeren\index{äußeren Kraft} Kräfte} (alle übrigen). \begin{description} \item [Massenmittelpunkt\index{Massenmittelpunkt}~/~Schwerpunkt\index{Schwerpunkt}]$\vec{R}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i=1}^{n}m_{i}}=\frac{\int\vec{r}\, dm}{\int dm}=\frac{\int\vec{r}\varrho\, dV}{\int\varrho\, dV}$ \end{description} \begin{itemize} \item Wenn die Gesamtmasse mit $M=\sum_{i=1}^{n}m_{i}$ gegeben ist, gilt: $\vec{R}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{r}_{i}}{M}$ \item Impuls $M\dot{\vec{R}}=\vec{P}$ \item Äußere Kraft $\vec{F}_{a}=\dot{\vec{P}}=M\ddot{\vec{R}}$ \item Dichte\index{Dichte} $\varrho=\frac{dm}{dV}$ \item Lage relativ zu dem Massen ist unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems \end{itemize} \begin{description} \item [Impulserhaltung\index{Impulserhaltung}]$\vec{P}=$ konstant \end{description} \begin{itemize} \item $\Rightarrow\dot{\vec{P}}=0$ \item $\Rightarrow\dot{\vec{R}}=$ konstant \end{itemize} \subsection{Stossprozesse im Schwerpunktsystem} \begin{description} \item [Vorteil]leichter zu rechen \item [Nachteil]vom / zum messbaren im Laborsystem muss erst Transformiert werden \item [Stoss~zweier~Massen]$\vec{P}_{1}=-\vec{P}_{2}$ und $\left|\vec{P}_{1}\right|=\left|\vec{P}_{1}'\right|=\left|\vec{P}_{2}\right|=\left|\vec{P}_{2}'\right|$ \end{description} \begin{itemize} \item Diese Beziehung gilt sowohl vor, als auch nach dem Stoß. $\vec{P}_{i}$ ist dabei der Impuls relativ (des Geschw. Vektors) zum Massenschwerpunkt (der In Bewegung sein kann):\\ $\vec{p}_{i}=\vec{P}+\vec{P}_{i}$ \item bei zwei Massen, findet der Stoß im Schwerpunkt statt. \item Wenn die Massen identisch sind, gilt obrige Gleichheit auch für die Geschwindigkeiten \item Falls eine Masse in Ruhe vor dem Stoß und Massen identisch gilt zudem $\left|\vec{P}\right|=\left|\vec{P}_{1}\right|=\ldots$ \end{itemize} \begin{description} \item [Rakete\index{Rakete}]$v_{e}=v_{a}+v_{0}\ln\left(\frac{M_{a}}{M_{e}}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $v_{e}$ Endgeschwindigkeit der Rakete \item $v_{a}$ Anfangsgeschwindigkeit der Rakete \item $M_{e}$ Endmasse der Rakete \item $M_{a}$ Anfangsmasse der Rakete \item $v_{o}$ Austrittsgeschwindigkeit des Treibstoffes aus der Rakete \end{itemize} \subsection{Reduzierte Masse} \begin{description} \item [Reduzierte~Masse\index{reduzierte Masse}]$\mu=\frac{1}{\sum_{i}\frac{1}{m_{i}}}=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}=\frac{m_{2}}{1+\frac{m_{2}}{m_{1}}}$ \item [Bewegung]$\mu\vec{a}_{12}=\vec{F}_{12}$ \end{description} \begin{itemize} \item Für ein Zweikörperproblem, bei dem nur innere Kräfte wirken \item $\vec{a}_{12}$, $\vec{F}_{12}$ sind die Werte relativ zwischen den beiden Körpern $m_{1}$ und $m_{2}$ \item Überlagert mit der Bewegung des Schwerpunktes ergibt dies die Einzelbewegungen \end{itemize} \section{Drehbewegung starrer Körper} \subsection{Starre Körper} \begin{description} \item [Starre~Körper\index{starre Körper}]ausgedehnetes, kontinuierliches System von starr verbundenen Massenelementen, d.h der Abstand $\left|\vec{r}_{ij}\right|=\left|\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right|=$ konstant, auch wenn äußere Kraft aufgewendet wird \end{description} \begin{itemize} \item Idealisierung, da Körper innere Freiheitsgerade besitzen. D.h. Verformt werden können durch Einfluss von Druck, Temperatur usw. \end{itemize} \begin{description} \item [mittlere~Dichte\index{Dichte}]$\varrho=\frac{m}{V}=\frac{dm}{dV}$ \end{description} \subsection{Drehmoment und Trägheitsmoment} \begin{description} \item [Zurückgelegter~Winkel]$\varphi=\frac{1}{2}\dot{\omega}t+\omega_{0}t+\varphi_{0}$ \end{description} \begin{itemize} \item entspricht Weg $s$ bei Translation \end{itemize} \begin{description} \item [Winkelgeschwindigkeit\index{Winkelgeschwindigkeit}]$\omega=\dot{\varphi}$ \end{description} \begin{itemize} \item entspricht Geschwindigkeit $v$ bei Translation \end{itemize} \begin{description} \item [Winkelbeschleunigung\index{Winkelbeschleunigung}]$\dot{\omega}=\ddot{\varphi}$ \end{description} \begin{itemize} \item entspricht Beschleunigung $a$ bei Translation \end{itemize} \begin{description} \item [Umlaufgeschwindigkeit\index{Umlaufgeschwindigkeit}]$\vec{v}_{i}=\vec{\omega}\times\vec{r}_{i}$ \item [Drehmoment\index{Drehmoment}]$\vec{T}=\sum_{i=1}^{N}\vec{r}_{i}\times\vec{F}_{i}=I\vec{\dot{\omega}}=\dot{\vec{L}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{r}$ beüglich der Drehachse / Drehpunkt gemessen (kürzester Abstand zu dieser) \item $\left[T\right]=1Nm$ \item entspricht Kraft $F$ bei Translation \item Hier gilt in etwa $\left(N2\right)$, das heißt für gleichmäßige bewegung gilt $\sum_{i}\vec{T}_{i}=\vec{0}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Trägheitsmoment\index{Trägheitsmoment}]$I=\sum_{i}r_{i}^{2}dm=\int r^{2}dm=\int r^{2}\varrho dV$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[I\right]=kg\, m^{2}$ \item entspricht Masse $m$ bei Translation \begin{description} \item [Holzylinder\index{Holzylinder}]$I=\frac{m}{2}\left(r_{a}^{2}+r_{i}^{2}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item bei Drehung um Zylinderachse \end{itemize} \begin{description} \item [Kreisscheibe\index{Kreisscheibe}]$I=\frac{m}{2}R^{2}$ \end{description} \end{itemize} \begin{description} \item [Trägheitsradius\index{Trägheitsradius}]$A=\sqrt{\frac{I}{m}}$ \end{description} \begin{itemize} \item entsprich einem Radius $A$ so, dass $I=mA^{2}$ gilt. \item $\left[A\right]=m$ \end{itemize} \begin{description} \item [Drehimpuls\index{Drehimpuls}]$\vec{L}=I\vec{\omega}$ \item [Rotations\index{Rotations Energie}~Energie]$W_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^{2}$ \item [Drehpendel\index{Drehpendel}]$\varphi\left(t\right)=\varphi_{0}\cos\left(\omega t\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $\omega=\sqrt{\frac{D}{I}}$ \item Periodendauer $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Steinerscher~Satz\index{Steinerscher Satz}]$I_{A}=I_{S}+ml^{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item $I_{S}$ Trägheitsmoment im Schwerpunkt bzgl. der gleichen (nur parallelverschobenen) Drechachse \item $l$ Abtand des neuen Drehpunkt $A$ vom Schwerpunkt $S$ \item $I_{A}$ Trägheitsmoment im Punkt $A$ \end{itemize} \begin{description} \item [Energieerhaltung\index{Energieerhaltung}]$W_{kin}+W_{pot}+W_{rot}=konst$ \end{description} \begin{itemize} \item erweiterte Energieerhaltung \item Bietet lösungsanstatz, durch Ableiten und Nullsetzen mit anschließendem lösen der Differentialgleichung. \end{itemize} \subsection{Physikalisches Pendel\index{Pendel!Physikalisches}\index{Pendel}} Unter einem physikalischen Pendel versteht man ein Pendel, bei dem die Masse nicht auf einem Punkt konzentriert ist, wie beim mathematischen Pendel, sondern Räumlich verteilt \begin{description} \item [Bewegung]$\varphi\left(t\right)=\varphi_{0}\cos\left(\omega t\right)$ \item [Kreisfrequenz]$\omega=\sqrt{\frac{smg}{I_{A}}}=\sqrt{\frac{smg}{I_{S}+ms^{2}}}=\sqrt{\frac{T_{max}}{I}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $m$ Masse des Pendels \item $I_{s}$ Trägheitsmoment im Schwerpunkt \item $s$ Anstand des Aufhängepunkts vom Schwerpunkt \end{itemize} \begin{description} \item [reduzierte~Pendellänge\index{reduzierte Pendellänge}]$l_{r}=\frac{I_{A}}{ms}=\frac{I_{S}+ms^{2}}{ms}$ \end{description} \begin{itemize} \item entspricht Länge eines mathematischen Pendels mit der selben Schingungsdauer \item Wenn ein Pendel anstatt in $A$ um $l_{r}$ verschoben aufgehangen wird, so ergibt sich die selbe Kreisfrequenz. $\Rightarrow$ \emph{Reversionspendel\index{Reversionspendel}} \item $\omega=\sqrt{\frac{g}{l_{r}}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Doppelpendel\index{Doppelpendel}~/~Chaotisches\index{Chaotisches Pendel}~Pendel]hier werden zwei aneinander gekoppelte Rotoren in Bewegung gesetzt. Deren Bewegungsablauf extrem stark von den Anfangsbedingungen abhängt. Hier ist es also nicht mehr möglich seine Bahn vorrauszuberrechnen. \end{description} \subsection{Vergleich von Linearer- und Rotationsbewegung} Siehe Tabelle \vref{Tab:BewVergleich}. % \begin{table*} \caption{\label{Tab:BewVergleich}Vergleich von Linearer- und Rotationsbewegung} \hfill{}\begin{tabular}{|r|c|c||c|c|l|} \hline & Linear& Einheit& Rotation& Einheit& \tabularnewline \hline \hline Ort& $x$& $m$& $\varphi$& $\textrm{rad}$& Winkel\tabularnewline \hline Geschw.& $v=\dot{x}$& $\frac{m}{s}$& $\omega=\dot{\varphi}$& $\frac{\textrm{rad}}{s}$& Winkelgeschw.\tabularnewline \hline Beschl.& $a=\dot{v}=\ddot{x}$& $\frac{m}{s^{2}}$& $\dot{\omega}=\ddot{\varphi}$& $\frac{\textrm{rad}}{s^{2}}$& Winkelbesch.\tabularnewline \hline Masse& $m$& $kg$& $I=\int r^{2}dm$& $m^{2}kg$& Trägheitsmom.\tabularnewline \hline Kraft& $F=ma=\dot{P}$& $N=\frac{kgm}{s^{2}}$& $T=I\dot{\omega}=\dot{L}=\vec{r}\times\vec{F}$& $J=Nm$& Drehmoment\tabularnewline \hline Impuls& $P=mv$& $Ns=\frac{kgm}{s}$& $L=I\omega=\vec{r}\times\vec{p}$& $\frac{kgm^{2}}{s}$& Drehimpuls\tabularnewline \hline Kin. En.& $W_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}$& $J=Nm$& $W_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^{2}$& $J=Nm$& Rot. En.\tabularnewline \hline \end{tabular}\hfill{} \end{table*} \section{Drehimpuls} \begin{description} \item [Drehimpuls\index{Drehimpuls}]$\vec{L}=m\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)=\vec{r}\times\vec{p}=I\vec{\omega}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[\vec{L}\right]=1\frac{m^{2}kg}{s}=1Ws^{2}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Erhaltung\index{Drehimpulserhaltung}]$\vec{L}=$ konstant \end{description} \begin{itemize} \item Wenn von außen kein Drehmoment auf das System wirkt. $\frac{d\vec{L}}{dt}$=$\vec{T}=0$ \end{itemize} \begin{description} \item [System]$\vec{L}=\sum_{i}\vec{L}_{i}$ \end{description} \begin{itemize} \item Gesamtdrehimpuls des Systems \item Gesamtdrehimpuls wird von inneren Kräften \emph{nicht} verändert \end{itemize} \begin{description} \item [System~beinflusst]$\frac{d\vec{L}}{dt}=\dot{\vec{L}}=\sum_{i}\vec{\dot{L}}_{i}=\sum_{i}\vec{T}_{i}=\vec{T}_{a}$ \end{description} \begin{itemize} \item Die änderung des Drehimpulses eines Gesamtsystems ist gleich dem äußeren Drehmoment \item Im kräftefreien Fall gilt auch hier $\vec{L}=\sum_{i}\vec{L}_{i}=$ konstant. \end{itemize} \section{Verhalten eines freien Körpers und Kreisel} \subsection{Hauptträgheitsachsen\index{Hauptträgheitsachsen}} \begin{description} \item [Freie~Achsen\index{freie Achsen}]Drehachsen mit dem größten und kleinsten Trägheitsmoment \end{description} \begin{itemize} \item und diese Achsen ist die Bewegung stabil \end{itemize} \begin{description} \item [Trägheitsellipsolid\index{Trägheitsellipsolid}]Misst man $I_{s}$ des Körpers um verschiedene Achsen und trägt die Größe $\frac{1}{\sqrt{I_{s}}}$ als fkt. der Achsenrichtung vom Schwerpunkt $SP$ aus auf, dann erhält man den sogenannten Trägheitsellipsoid des Köpers. \item [Hauptträgheitsachesen\index{Hauptträgheitsachesen}]Die Achsen des Trägheitsellipsoids heißen Hauptträgheitsachsen \item [Drehimpuls\index{Drehimpuls}]$\vec{L}=I\vec{\omega}$ \end{description} \begin{itemize} \item $I$ ist ein Tensor, d. h. das der Drehimpuls in eine Andere Richtung als $\vec{\omega}$ zeigen kann. \end{itemize} \begin{description} \item [Rotationsellipsoid\index{Rotationsellipsoid}]Rotationssymetrsischer Ellipsoid \end{description} \subsection{Kreiselbewegung\index{Kreiselbewegung}} \begin{description} \item [Figurenachse\index{Figurenachse}]$C$ geometrisch ausgezeichnete Symmetrieachse (gleichzeitig Achse mit größtem $I$) \item [Momenteane~Drehachse]$\vec{\omega}$ \item [Drehimpulsachse\index{Drehimpulsachse}]Richtung von $\vec{L}$ im Raum \item [Stoß~eines~Kreisels]$\vec{\omega}$ und $C$ Achsen bewegen sich mit festem Winkelabstand um raumfeste Drehachse $\vec{L}$ \item [Nutation\index{Nutation}]tritt beim Kräftefreien Kreisel auf, wenn Drehachse und Figurenachse \emph{nicht} zusammenfallen. Drehachse und Figurenachse rotieren um $\vec{L}$. Der Drehimpuls bleibt erhalten. \end{description} \begin{itemize} \item Torkelbewegung\index{Torkelbewegung}. Wenn $\vec{\omega}$ und $C$ nicht zusammenfallen, machten $\vec{\omega}$ und $C$ Bewegungen auch Kegelmantel mit $\vec{L}$ als Mittelachse \item Da $\vec{\omega}$ Achse nun veschoben ist, und $\vec{L}$ aber gleich bleibt, muss es noch eine weitere Rotation geben, die sich mit $\vec{\omega}$ überlagert, damit $\vec{L}$ erhalten bleibt. \end{itemize} \begin{description} \item [Präzession\index{Präzession}]tritt auf, wenn bei beweglicher Drehachse ein Drehmoment angreift. Der Kreisel weicht dann in senkrechter Richtung aus. Der Drehimpuls bleibt \emph{nicht}~erhalten. Der Betrag von $\vec{L}$ bleibt zwar erhalten, aber seine Richtung ändert sich. \end{description} \begin{itemize} \item Es wird ein Kreisel auf eine Balkenwaage quer aufgesteckt, das ganze ausbalanciert, und in Rotation versetzt. Wenn diese Wage nun mit einem Gewicht belastet wird, beginnt die Wage sich nur ein wenig zu neigen, und das Ganze Rechtwinklig zur Gewichtskraft und Rotationsachse sich zu drehen. Dieses nennt man Präzession \end{itemize} \begin{description} \item [Präzessionsfrequenz\index{Präzessionsfrequenz}]$\dot{\varphi}=\omega_{p}=\frac{T}{L\sin\alpha}=\frac{T}{I\cdot\omega\cdot\sin\alpha}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\alpha$ Winkel zwischen $\vec{T}$ und $\vec{L}$ \item Der Betrag von $\vec{T}$ senkrecht zu $\vec{L}$ ändert nur dessen Richtung, aber nicht den Betrag von $\vec{L}$ \item Der Betrag von $\vec{T}$ parallel zu $\vec{L}$ ändert nur Betrag von $\vec{L}$, aber nicht dessen Richtung \item Die Drehbewegung erfolgt in Richtung $\vec{T}$ \item Beim Kinderkreisel\index{Kinderkreisel} gilt $\omega=\frac{rmg}{L}$ \begin{itemize} \item unabhängig vom Neigungswinkel $\alpha$ \item $r$ höhe des Schwerpunks über dem Boden \end{itemize} \end{itemize} \section{Scheinkräfte in rotierenden Bezugssystemen} \begin{description} \item [Scheinkräfte\index{Scheinkräfte}]In beschleunigten Bezugssystemen haben wir zusätzliche Kräfte: Scheinkräfte \end{description} \subsection{Zentrifugalkraft\index{Zentrifugalkraft}} Wir beobachten einen Gegenstand $m$ der kreisförmig mit $\vec{\omega}$ im Abstand $r$ vom Drehzentrum rotiert. Als ruhender Beobachter sehen wir $F_{z}=m\omega^{2}r$ hält $m$ auf Kreisbahn. Ein mitrotierender Beobachter $m$ ruht im rotierenden Koordinatensystem, aber es zieht eine nach außen gerichtete Kraft $F_{z}=m\omega^{2}r$ an ihm, die Zentrifugalkraft. \[ \vec{F}_{z}=m\left[\vec{\omega}\times\left[\vec{\omega}\times\vec{r}\right]\right]\] \begin{itemize} \item $F_{z}$ wirkt immer so, dass das Trägheitsmoment maximal ist. \item Wirkt zusätzlich zu der Correoliskraft \end{itemize} \subsection{Coreoliskraft\index{Coreoliskraft}} \begin{description} \item [Problem]Wie bewegt sich ein wagen auf einem Rotierenden Plattenteller, wenn er sich (durch ein nachlassendes Seil) weiter vom Zentrum entfernt. $L=mr^{2}\omega$ bleibt bei Zentralkraft erhalten. $r$ kleiner $\Rightarrow\omega>\omega_{0}$ \end{description} \[ F_{c}=2m\omega_{0}v_{r}\] \[ \vec{F}_{c}=-2m\left[\vec{\omega}\times\vec{v}\right]\] \begin{itemize} \item $v_{r}$ Radialgeschwindigkeit von $m$ auf dem Teller \item Wirkt \emph{zusätzlich} zu der Zentrifugalkraft \item In Vektorgleichung wird das komplette $\vec{v}$ genommen, und nicht nur dessen Radialkomponente! Die Tangentialkomponente ist zusammen mit der Zentrifugalkraft (von $\vec{\omega}$) und zu $\vec{v}$ zugehörigen Zentripetalkraft die Gesamt auf die Masse wirkende Radialkraft. \item Wirkung von $\vec{F}_{c}$: {}``gerade'' radiale Bewegung auf einer rotierenden Kreisscheibe (externer Beobachter) ist in Wirklichkeit eine gekrümmte Kurve (Beobachter auf Kreisscheibe). \end{itemize} \subsection{Foucaultsches\index{Foucaultsches Pendel} Pendel} Pendel auf Erdoberfläche aufgehangen. Wenn sich die Erde unter dem Pendel wegdreht, versucht es seine Pendelachse beizubehalten. d.h. es es hat eine Rotatiosgeschwindigkeit der achse von $\omega_{0}=\frac{2\pi}{24h}\cdot\sin\left(\alpha\right)$ ($\alpha$ ist Breitengrad der Erde). \printindex{} \end{document}