Linear gekoppelte harmonische Oszillatoren

Zwei Wagen $x_{1}$ und $x_{2}$ werden mit einem Gummiband gekoppelt (Federkonstante $d$), jeweils an den Rändern mit einer Feder $D$ befestigt und in Schwingung versetzt. Dabei gibt es zwei charakteristische Schwingungstypen - Normalmoden. Beide Pendel schwingen gegenphasig (gegeneinander) mit $\omega_{-}$ bzw. sie schwingen gemeinsam $\omega_{+}$. Beobachtung $\omega_{+}<\omega_{-}$.

Allgemein

$$\ddot{x}_{1} = -\omega_{0}^{2}x_{1}-\frac{d}{m}\left(x_{1}-x_{2}\right)$$

$$\ddot{x}_{2} = -\omega_{0}^{2}x_{2}-\frac{d}{m}\left(x_{2}-x_{1}\right)$$

Lösung

$$X = A_{+}\cos\left(\omega_{+}t+\varphi_{+}\right)$$

$$Y = A_{-}\cos\left(\omega_{-}t+\varphi_{-}\right)$$

• erhalten durch Additon und Subtraktion der oberen Gleichungen
• $X=x_{1}+x_{2}$
• $Y=x_{1}-x_{2}$
• $\omega_{+}=\omega_{0}$
• $\omega_{-}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+\frac{2d}{m}}$
• Diese Normalmoden sind sozusagen Standardbasisvektoren und alle anderen Schwingungen lassen sich aus ihnen kombinieren

$$x_{1} = \frac{A_{+}}{2}\cos\left(\omega_{+}t+\varphi_{+}\right)+\frac{A_{-}}{2}\cos\left(\omega_{-}t+\varphi_{-}\right)$$

$$x_{2} = \frac{A_{+}}{2}\cos\left(\omega_{+}t+\varphi_{+}\right)-\frac{A_{-}}{2}\cos\left(\omega_{-}t+\varphi_{-}\right)$$

• Es findet kein Energieaustausch zwischen den Schwingungnen in Normalmoden statt

Spezialfall - Schwebung

$$x_{1} = A\cos\left(\omega_{t}t\right)\cos\left(\Delta\omega t\right)$$

$$x_{2} = A\sin\left(\omega_{t}t\right)\sin\left(\Delta\omega t\right)$$

• $\varphi_{+}=\varphi_{-}=0$
• $A_{+}=A_{-}=A$
• $\Delta\omega=\frac{\omega_{-}-\omega_{+}}{2}$Schwebungsfrequenz
• $\omega_{t}=\frac{\omega_{-}+\omega_{+}}{2}$ Trägerfrequenz
• Energie schwingt zwischen $x_{1}$ und $x_{2}$ hin und her