Nichtlineare Schwingungen

Das Gesetz $F=-Dx$ ist nur eine Näherung für kleine $x$.

Näherung

$F=-Dx-D_{3}x^{3}$

DGL

$\ddot{x}+2\varrho\dot{x}+\omega_{0}^{2}x+\delta x^{3}=\alpha\cos\left(\omega t\right)$

• $\delta=\frac{D_{3}}{m}$

Effekte

• Analytisch nicht mehr lösbar $\Rightarrow$ numerische Simulation
• Überhängen der Resonanzkurve. Es gibt eine Hysterese zwischen hin und Rücklaufendem $\omega$
• Es entstehen zusätzliche (kleinere) Resonanzen bei ganzzahligen Vielfachen / Brüchen von $\omega_{0}$
• Ein nichtlinearer Oszillator braucht nicht mit der Anregungsfrequenz schwingen.
• Es tritt Periodenverdoplung auf
• Dies kann zu einer Periodenverdopplungskaskade führen
  • $2^{\infty}$Verdopplungen: aperiodische Schwingung / chaotische Schwingung