Bahnimpuls

Impulserhaltungssatz

$\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}=\textrm{konst}$

• ohne äußere Einwirkung bleibt in einem abgeschlossenen System die Summe aller Impulse konstant.

Stoßprozess

$\sum_{i}\frac{\vec{p'}_{i}^{2}}{2m_{i}}=Q+\sum_{i}\frac{\vec{p'}_{i}^{2}}{2m_{i}}$

Energieverlust

$Q$

Elsastischer Stoß

$Q=0$

Unelastischer Stoß

$Q\neq0$

• Größen ohne $'$ vor dem Stoß, mit $'$ nach dem Stoß

zentraler elastischer Stoß

$\frac{\vec{p}_{1}^{2}}{2m_{1}}=\frac{\vec{p'}_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{\vec{p'}_{2}^{2}}{2m_{2}}$

• zweite Kugel in Ruhe $p_{2}=0$
• $p'_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}p_{1}$
  $p'_{2}=\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}p_{1}$
• $v_{1}'=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$
  $v_{2}'=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$

zentraler unelastischer Stroß

$v_{1}'=v_{2}'$

• zweite Kugel in Ruhe $p_{2}=0$
• $p_{1}'=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}p_{1}$
  $p_{2}'$= $\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}p_{2}$
• $v_{1}'=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$
  $v_{2}'=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$
• $Q>0$
• $\frac{Q}{W_{kin}^{vorher}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

  Wirkungsgrad

  $\eta=1-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

Nicht zentraler elastischer Stoß

$Q=0,p_{2}=0$

• $\vec{p}_{1}=\vec{p}_{1}'+\vec{p}_{2}'$
• Die Vektoren $p_{1}'$ und $p_{2}'$ gehorchen folgender Kreisgleichung
  • $\vec{p}_{1}'=\left(x,y\right)$
  • $\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=R^{2}$
  • $x_{m}=R=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$
  • $y_{m}=0$
• Sonderfall $m_{1}=m_{2}$
  • $\vec{p}_{1}'\perp\vec{p}_{2}'$
  • beim zentralen Stoß erfolgt Geschwindigkeitsaustausch, d.h. $\vec{p}_{1}'=0$
• Sonderfall $m_{1}\ll m_{2}$
  • Impuls $\vec{p}_{1}'$ kann nach dem Stoß alle Richtungen haben, sein Betrag bleibt praktisch erhalten
  • beim zentralen Stoß wird $m_{1}$ reflektiert
  • $v_{2}\approx2\frac{m_{1}}{m_{2}}v_{1}$
  • Energieübertragung $W_{kin,2}\approx4\frac{m_{1}}{m_{2}}W_{kin,1}$
  • Energieübertrag umso Größer, je kleiner der Massenunterschied
• Sonderfall $m_{1}\gg m_{2}$
  • Der stossende Körper $m_{1}$ behält praktisch seine Geschwindigkeit und Richtung bei
  • $\vec{p_{1}}\approx\vec{p}_{1}'$
  • der Körper stößt den anderen vor sich her.