%% LyX 1.3 created this file. 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Achim Richter an der Technischen Universität Darmstadt im Sommersemester 2005. Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} \section{Flüssigkeiten\index{Flüssigkeiten}} \subsection{Aggregatzustände\index{Aggregatzustände} } \begin{description} \item [Fester~Aggregatszustand\index{Fester Aggregatszustand}]Atomare Bausteine des Körpers haben feste Lagebeziehung zueinander (Gleichgewichtslage\index{Gleichgewichtslage}). Veränderung der Gleichgewichtslage ist durch Verformung möglich. (Hook'sches Gesetz\index{Hook'sches Gesetz}, siehe Physik I Skript) \item [Flüssiger\index{Flüssiger Aggregatszustand}~Aggregatszustand]Atomare Bausteine nehmen keine Gleichgewichtslage ein, sie sind gegeneinander verschiebbar. \end{description} \begin{itemize} \item Oberfläche der Flüssigkeit ist immer Senkrecht zur an ihr angreifenden Kraft (strebt diesen Zustand an) \item Wasser in Rotierendem Becherglas gibt Höhenkruve (Parabel) $z\left(r\right)=\frac{\omega^{2}}{2g}r^{2}+z_{0}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Gaßförmiger\index{Gaßförmiger Aggregatszustand}~Aggregatszustand]entspricht in etwa einem {}``verdünnten'' flüssigen Aggregarszustand \end{description} \begin{itemize} \item Wechselwirkungskräfte zwischen Molekülen sind so gering, dass ein Gaß jedes Volumen ausfüllt. \item Gase sind wesentlich leichter komprimierbar als Flüssigkeiten und Festkörper \end{itemize} \begin{description} \item [Dichte\index{Dichte}]$\varrho_{fest}\gtrapprox\varrho_{flüssig}\gg\varrho_{gas}$ \end{description} \subsection{Flüssigkeiten unter Druck\index{Druck}} \begin{description} \item [Druck\index{Druck}]$p=\frac{F}{A}$ \end{description} \begin{itemize} \item Kraft die senkrecht auf der Begrenzungsfläche steht (pro Fläche) \item $\left[p\right]=1\frac{N}{m^{2}}=1$Pascal $=1$ Pa \item $1\textrm{bar}=10\frac{N}{cm^{2}}=10^{5}\frac{N}{m^{2}}$ \item Spezielle (noch gebräuchliche Druckeinheiten): \begin{itemize} \item $1$atm $\hat{=}$Druck am unteren Ende einer Hg (Quecksilber)-Säule, die 760mm lang ist. \item $1\textrm{atm}=1,01325\cdot10^{5}\frac{N}{m^{2}}$ \item $1\textrm{Torr}\hat{=}\frac{1}{760}\textrm{atm}\hat{=}$Druck von 1mm HG-Säule \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [Kompressionsmodul\index{Kompressionsmodul}]$\kappa=-\frac{1}{V}\frac{\Delta V}{\Delta p}$ \end{description} \begin{itemize} \item ist wegen $\Delta V<0$ immer positiv \item Flüssigkeiten und Feste Stoffe sind praktisch inkompressible \end{itemize} \begin{description} \item [Zerreisfestigkeit\index{Zerreisfestigkeit}]Kraft die Aufgewandt werden muss, bis Flüssigkeit / fester Stoff zerreist. Ist bestimmt durch die inneren Wechselwirkungskräfte \item [Allseitiger~Druck\index{Allseitiger Druck}]Auf einer Äquipotentialebene ist der Druck auf die Wände überall gleich \begin{description} \item [Hydraulik\index{Hydraulik}]$F_{2}=\frac{A_{2}}{A_{1}}F_{1}$ \end{description} \begin{itemize} \item Abgesehen von (etwaiigen) Gewichtskräften der Flüssigkeit stimmt diese Gleichung. \end{itemize} \item [Schweredruck\index{Schweredruck}]$p=\varrho gh$ \end{description} \begin{itemize} \item ist nicht abhängig von der Form des Gefäßes, sondern nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule über dem Körper \item Ist immer senkrecht zur Gefäßwand gerichtet. \end{itemize} \begin{description} \item [Auftrieb\index{Auftrieb}]$F_{A}=\varrho_{Fl}\cdot g\cdot V_{\textrm{Körper}}=m_{Fl}\cdot g$ \end{description} \begin{itemize} \item Es muss noch die Gewichtskraft des Körpers berücksichtigt werden \item $\varrho_{Fl}$ Dichte der verdrängten Flüssigkeit \item $m_{Fl}$ Masse der verdrängten Flüssigkeit \item $V_{\textrm{Körper}}$ Volumen des eingetauchten Körpers \end{itemize} \subsection{Grenzflächen\index{Grenzflächen}} \begin{description} \item [Speziefische~Oberflächenenergie\index{Oberflächenenergie}]$\gamma=\frac{\textrm{Arbeit }\Delta W_{A}\textrm{ zur Bildung von }\Delta A}{\textrm{Fläche }\Delta A}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[\gamma\right]=1\frac{N}{m}$ \item Ist von Material und Themperatur auf beiden seiten der Grenzfläche Abhängig \end{itemize} \begin{description} \item [Oberflächenspannung\index{Oberflächenspannung}]$\gamma=\frac{F}{2d}$ \end{description} \begin{itemize} \item Die $2$ steht dort, da die Fläche doppelt (auf beiden Seiten) entsteht \item $d$ Länge, über die die Fläche gezogen wird \item Ist von Material und Themperatur auf beiden seiten der Grenzfläche Abhängig \end{itemize} \begin{description} \item [Oberflächendruck\index{Oberflächendruck}]$p=\frac{4\pi\gamma}{r}$ \end{description} \begin{itemize} \item Druck durch eine Kugelförmige Oberfläche auf den Inhalt \end{itemize} \begin{description} \item [Grenzflächenspannung\index{Grenzflächenspannung}]$\gamma_{12}=\gamma_{23}+\gamma_{13}\cos\alpha$ \end{description} \begin{itemize} \item Fläche 2 Ist hier die Unterlage \item $\alpha$ ist der Winkel Zwischen Unterlage und der Kante zwischen 1 und 3, aber auf der Seite von 3 gemessen \item Grenzflälle: \begin{itemize} \item $\cos\alpha\rightarrow+1\Leftrightarrow$ Tropfen zerfließt, Benetzung\index{Benetzung} \item $\cos\alpha\rightarrow-1\Leftrightarrow$ (vollständige) nichtbenetzung \item für $\left|\gamma_{12}-\gamma_{23}\right|>\gamma_{13}$ vollständiges zerfließen der Flüssigkeit \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [Kapillaraszension\index{Kapillaraszension}]Flüssigkeit benetzt gut, und steigt in schmalen spalten auf \end{description} \begin{itemize} \item Maximale Steighöhe $h=\frac{2\gamma}{r\varrho g}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Kapillardepression\index{Kapillardepression}]Füssigkeit benetzt schlecht, und wird aus schmalen Ritzen verdrängt. \end{description} \subsection{Bewegung von Flüssigkeiten} \begin{description} \item [Strömung\index{Strömung}]geordnete Bewegung von Flüssigkeits- oder Gasmolekühlen \item [ideale~Flüssigkeit\index{ideale Flüssigkeit}\index{Flüssigkeit}]ist inkompressibel (lässt sich nicht zusammendrücken) und besitzt keine innnere Reibung \item [Kontinuitätsgleichung\index{Kontinuitätsgleichung}]$\vec{A}_{1}\vec{v}_{1}=\vec{A}_{2}\vec{v}_{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item Es geht keine Flüssigkeit verloren, alles was hineinfließt, kommt auch wieder heraus \item mit einbeziehung der Masse gilt dies auch für kompressible Gase \item bei Verengungen muss dafür die Strömungsgeschwindigkeit steigen \end{itemize} \begin{description} \item [Stromlinien\index{Stromlinien}]Verbindung von Teilchenvektoren; Darstellung der Geschwindigkeitsvektoren zu verschiedenen Zeitpunkten \end{description} \begin{itemize} \item schneiden sich nicht! \end{itemize} \begin{description} \item [Stempeldruck\index{Stempeldruck}]Strömung verursacht durch Druckunterschied \item [Schweredruck\index{o}]druch Äußeres Kraftfeld verursachte Strömung \item [Staudruck\index{Staudruck}]Dynamisch durch Rückstauung verursachter Druck \item [Bernoulli'sche~Gleichung\index{Bernoulli'sche Gleichung}]$\frac{1}{2}\varrho v^{2}+p+\varrho gh=c=\textrm{konstant}$ \end{description} \begin{itemize} \item hieraus folgt, dass bei höheren Strömungsgeschwindigkeiten der Druck abnimmt. \item Die Druckdifferenz einer Flüssigkeitssäule ist nur durch ihre Höhe bestimmt \end{itemize} \begin{description} \item [Ausströmgeschwindigkeit\index{Ausströmgeschwindigkeit}]$v\approx\sqrt{\frac{2\left(p_{1}-p_{2}\right)}{\varrho}}$ \end{description} \begin{itemize} \item genauere Formel folgt aus der Bernoilli'schen Gleichung, bzw. für akt. Situation \item Ausströmzeit ist Proportional zu $\frac{1}{\textrm{Ausströmgeschwindigkeit}}$ \item Ausströmzeit zweier unterschiedlicher Gase gleichen Volumens bei gleichen Überdruck aus der selben Öffnung $\frac{t_{1}}{t_{2}}=\sqrt{\frac{\varrho_{1}}{\varrho_{2}}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Prantl-Rohr\index{Prantl-Rohr}]$v=\sqrt{\frac{2\left(p_{1}-p_{2}\right)}{\varrho_{gas}}}=\sqrt{\frac{2\varrho_{fl}gh}{\varrho_{gas}}}$ \end{description} \begin{itemize} \item Misst mit Hilfe eines U-Rohrs mit Flüssigkeit, die Geschwindigkeit von Vorbeiströmender Luft, mit Hilfe der Druckdifferenz zwischen bewegter und stehender Luft \end{itemize} \begin{description} \item [Flugzeug\index{Flugzeug}]$F=A\varrho v\left(v_{1}-v_{2}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $A$ Flügelfläche \item $\varrho$ Dichte der Luft \item $v_{1}$ Geschw. über dem Flügel \item $v_{2}$ Geschw. unter dem Flügel \item $v$ Geschw. des Flugzeuges \end{itemize} \subsection{Viskosität} \begin{description} \item [Viskosität\index{Viskosität}]$\eta$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[\eta\right]=1\frac{kg}{ms}=1$Pa$\cdot$s \item Alte Einheit $1Pa\cdot s=1Poise$ \item $F=\eta A\frac{dv_{x}}{dz}$ \begin{itemize} \item Zwei Platten mit Flüssigkeitspuffer werden aneinander mit der Geschwindigkeit $v_{x}$ vorbeigezogen \item $z$ ist der Normalabstand von der unteren Platte \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [Stokessches\index{Stokessches Gesetz}~Gesetz]$F_{R}=6\pi\eta Rv$ \end{description} \begin{itemize} \item Flüssigkeitsreibung\index{Flüssigkeitsreibung} einer Kugel mit dem Radius $R$ und der Geschwindigkeit $v$. \item Gilt nur für kleine $v$ \end{itemize} \begin{description} \item [Hagen-Poiseuille~Gesetz\index{Hagen-Poiseuille-Gesetz}]$Q=\frac{\Delta P\pi R^{4}}{8\eta L}$ \end{description} \begin{itemize} \item $Q$ Flüssigkeitsvolumen pro Sekunde \item Überduck $\Delta P$ \item $R$ Rohrdurchmesser \item $\eta$ innere Reibung \end{itemize} \section{Wärmelehre} \subsection{Empirische Gasgesetze} \begin{description} \item [Ideales~Gas\index{Gas}\index{ideales Gas}]Gase, die $p=\frac{const}{V}$ bei $T=const$ genügen heißen \emph{ideale} Gase (z.B. $H_{2},He,N_{2}$(Luft)), dabei haben Gasteilchen kein eigenes Volumen (in sehr guter Näherung). Außerdem wirken keine Abstossenden Kräfte (WW-Kräfte) zwischen ihnen. \item [reale~Gase\index{reale Gase}]sind Gase, die $p<\frac{const}{V}$ bei $T=const$ genügen (z.B. $C=_{2}$). Das heisst, das der Druck kleiner ist als bei einem idelaen Gas, wegen der WW-Kräfte der Gasmoleküle untereinander \item [Boyle-Mariotte'sches~Gesetz\index{Boyle-Mariotte'sches Gesetz}]$pV=p_{0}V_{0}=const$ bei Temperatur $T=const$ \end{description} \begin{itemize} \item Über Dichte Ausgedrückt\\ $\frac{p}{\varrho}=const$ \item $\left(p+\underbrace{\frac{a}{V^{2}}}_{\textrm{Binnendruck}}\right)\left(v-\underbrace{b}_{\textrm{Eigenvolumen}}\right)=konst$ bei $T=const$\\ $a,b$ van der Waalsche Konstanten \end{itemize} \begin{description} \item [Gay-Lussare'sche~Gesetz\index{Gay-Lussare'sche Gesetz}]$\frac{p}{T}=const$ bei $V=const$ \item [Zustandsgleichung~des~idealen~Gases]$\frac{pV}{T}=\frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}=const$ \item [Zustandsdiagramme\index{Zustandsdiagramme}]es gibt 3 Schnittlinien der Zustandsfläche mit der Ebene \begin{description} \item [Isotherme\index{Isotherme}]für $T=const$. Ergibt im $p-V$ Diagramm Hyperbeln, die für Größere $T$ weiter von den Achsen entfernt sind \item [Isobare\index{Isobare}]für $p=const$. Ergibt Ursprungsgraden im $V-T$ Diagramm, mit größerer Steigung für kleinere $p$ \item [Isochore\index{Isochore}]für $V=const$. Ergibt Ursprungsgraden im $p-T$ Diagramm, mit größerer Steigung für kleinere $V$ \end{description} \item [Grad\index{Grad Celsius}~Celsius\index{Celsius}]Temperatureinteilung, mit $0°C$ bei Gefrierpunkt von Wasser und $100°C$ bei Siedepunkt von Wasser unter Normalbedingungen von $760$ Torr. \item [Kelvin\index{Kelvin}]Gleiche Abstufung wie bei Grad Celsius, aber $0K\hat{=}273,15K$ \end{description} \begin{itemize} \item $0K$ ist die \emph{absolute Temperatur\index{absolute Temperatur}}, das heist, dass es keine kältere Temperaturen geben kann. \item bei $0K$ befinden sich die Molekühle in absoluter Ruhe \end{itemize} \begin{description} \item [Trippelpunkt\index{Trippelpunkt}]des Wassers. Bei $T=273,16K$ und $p=4,6$Torr kommt Wasser in allen 3 Phasen (fest, flüssig, gasförmig) gleichzeitig vor. In diesem Punkt schneiden sich die 3 Übergangslinien zwischen jeweils zwei Agregatszuständen. \item [Temperaturabhängiger~Widerstand]für nicht sehr kalte Temperaturen gilt: $\frac{R}{R_{0}}=\frac{T}{T_{0}}$ \end{description} \subsection{Verallgemeinerung der Zustandsgleichung der Gase} \begin{description} \item [Mol\index{Mol}]$1mol$ ist diejenige \emph{Substanzmenge}\index{Substanzmenge}, die die gleiche Anzahl von Teilchen (Atomen, Molekülen, Ionen, Elektronen) enthält wie $12,000\ldots g$ von $^{12}C$. \item [Stoffmenge\index{Stoffmenge}]$\left[\nu\right]=1mol$ \item [Avogadro'sche~Zahl\index{Avogadro'sche Zahl}]$N_{A}\left(=N_{L}\right)=6,022045\cdot10^{23}\frac{1}{mol}$ \end{description} \begin{itemize} \item Anzahl von Teilchen pro Mol \item Auch \emph{Loschmidt'sche\index{Loschmidt'sche Zahl} Zahl} genannt \item Anzahl der Molekühle $N=N_{a}\nu$ \item $\nu$ Anzahl der Mole \end{itemize} \begin{description} \item [Molmasse\index{Molmasse}]$M_{mol}=\frac{m}{\nu}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[M_{mol}\right]=\frac{g}{mol}$ \begin{description} \item [Relative~Molmasse]$\left[A_{r}\right]=1$ \end{description} \begin{itemize} \item entspricht $\frac{1}{12}$ der Molmasse von $^{12}C$ \item $M_{mol}=A_{r}\frac{g}{mol}$ \item $\approx$ Anzahl Protonen + Anzahl Neutronen \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [Molvolumen\index{Molvolumen}]$V_{mol}=\frac{V}{\nu}=V_{m}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[V_{m}\right]=1\frac{cm^{3}}{mol}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Normalvolumen\index{Normalvolumen}]$V_{m}=22413,6\frac{cm^{3}}{mol}$ \end{description} \begin{itemize} \item Unter Normalbedingungen haben alle üblichen Gase ein Volumen von $22,4$l pro $mol$ \end{itemize} \begin{description} \item [Moldichte\index{Moldichte}]$n=\frac{N}{V}=\frac{N_{a}}{V_{mol}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[n\right]=\frac{mol}{m^{3}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [allgemeine~Gaskonstante\index{Gaskonstante!allgemeine}]$R=\frac{p_{o}V_{m}}{T_{0}}=8,3143\frac{J}{mol\cdot K}=kN_{A}$ \item [Zustandsgleichung\index{Zustandsgleichung}]~ \begin{description} \item [ideales~Gas]$pV=\nu RT$ \item [reelles~Gas]$\left(p+\frac{a\nu^{2}}{V^{2}}\right)\left(V-\nu b\right)=\nu RT$ \end{description} \end{description} \section{Mikroskopische Analyse des Gasdrucks} \subsection{Gastheorie} \paragraph{Annahmen} \begin{itemize} \item Gase enthalten große Teilchenanzahl (Atome, ...) verhalten sich wie starre Kugeln \item Regellose Translationsbewegung (keine Rotation) \item Mittlere Teilchenbewegung sei gross gegen ihren Durchmesser \item Kräfte der Teilchen mögen nur beim Stoß wirken \item Alle Stöße (Teilche-Teilchen bzw. Teilchen-Wand) seien vollkommen elastisch \end{itemize} \begin{description} \item [Druck\index{Druck}]$p=\frac{1}{3}nm\overline{v^{2}}=\frac{1}{3}\varrho\overline{v^{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $n=\frac{N}{V}$ Moldichte \item gilt unter obrigen Annahmen \item ist eine fluktuierende Größe \item $m$ Masse pro Teilchen \end{itemize} \subsection{Energiebetrachtungen und Freiheitsgerade} \begin{description} \item [Innere~Energie\index{Innere Energie}]$U=Nm\frac{\overline{v^{2}}}{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item $pV=\frac{2}{3}U$ \end{itemize} \begin{description} \item [kin.~Energie]$\overline{E_{kin}}=\frac{1}{2}m\overline{v^{2}}=\frac{f}{2}kT$ \end{description} \begin{itemize} \item gilt für einatomige Gase \item $\overline{E_{kin}}\sim T$ \item $k=1,3806505\cdot10^{-23}\frac{J}{K}=\frac{R}{N_{a}}$ \item Temperatur lässt sich nicht für ein einzelnes Teilche definieren, sondern nur für eine Menge \item $E_{ges}=N_{a}\nu\overline{E}_{kin}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Gleichverteilungssatz\index{Gleichverteilungssatz}]$\frac{\overline{E_{kin}}}{\textrm{Freiheitsgerade}}=\frac{1}{2}kT$ \item [Geschwindigkeit\index{Geschwindigkeit}]$v_{rms}=\sqrt{\left(\overline{v^{2}}\right)}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$ \end{description} \begin{itemize} \item mittlere quadrartische Geschwindigkeit \item root mean square Velocity \end{itemize} \begin{description} \item [Geschwindigkeitsverteilung]~\begin{eqnarray*} \frac{dN\left(v\right)}{dv} & = & 4\pi v^{2}N\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item ist unsymetrisch zum maximum \item nennt sich auch \emph{Maxwellverteilung\index{Maxwellverteilung}} \item Maximum bei: $\tilde{v}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$ \item Mittlel bei $\overline{v}=\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\approx1,13\tilde{v}$ \item $\tilde{v}<\overline{v}0$ Kompression, wir leisten Arbeit \item $W<0$ Expansion, das expandierende Gas leistet Arbeit \end{itemize} \begin{description} \item [Isotherm\index{Isotherm}]$T=$konstant \end{description} \begin{itemize} \item $W=-\nu RT\ln\left(\frac{V_{1}}{V_{0}}\right)$ \item $W=-p_{0}V_{0}\ln\left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)$ \item $W=-p_{0}V_{0}\ln\left(\frac{V_{1}}{V_{0}}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Isobare\index{Isobare}]$p=$konstant \end{description} \begin{itemize} \item $W=-p\left(V_{2}-V_{1}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Isochore\index{Isochore}]$V=$konstant \end{description} \begin{itemize} \item $W=0$ \end{itemize} \begin{description} \item [Abiabatisch\index{Abiabatisch}]$Q=$konstant \end{description} \begin{itemize} \item $W=\nu C_{v}\left(T_{1}-T_{2}\right)$ \item $T\cdot V^{\kappa-1}=$konstant \item $p\cdot V^{\kappa}=$konstant \item $\frac{T^{\kappa}}{p^{\kappa-1}}=$konstant \end{itemize} \section{Reale Gase\index{Reale Gase}\index{Gase}} \subsection{Zustandsgleichung} \begin{description} \item [Van~der~Waals~Gleichung\index{Van der Waals Gleichung}]$\left(p+\frac{a}{V_{m}^{2}}\right)\left(V_{m}-b\right)=RT$ \end{description} \begin{itemize} \item $\frac{a}{v_{m}^{2}}$ Binnendruck\index{Binnendruck} \item $b$ Eigenvolumen\index{Eigenvolumen} \item $v_{m}$ Molvolumen\index{Molvolumen} \end{itemize} \begin{description} \item [Verhalten~des~idealen~Gases]$p=\frac{RT}{V_{m}-b}-\frac{a}{v_{m}^{2}}$ \end{description} % \begin{figure}[h] \caption{\label{cap:Reelles Gas}Druck in Abhängigkeit vom Volumen für verschiedene Temperaturen bei einem reellen Gas} \hfill{}\includegraphics[% scale=0.6]{VanWaal.eps}\hfill{} \end{figure} \begin{itemize} \item Siehe Abbildung \vref{cap:Reelles Gas} \item In Wirklichkeit gibt es diese Knicke nach unten in den Kurven nicht, sondern der Druck geht linear entlang der Fettgedruckten Linien auf die andere Seite. \begin{description} \item [\emph{Maxwell-Konstruktion\index{Maxwell-Konstruktion}}]Die Querbalken haben die Charakteristik, das der Flächeninhalt zwischen orginalkurve und ihnen ober und unterhalb gleich Null ist. \item [\emph{Phasenkoexistenzgebiet\index{Phasenkoexistenzgebiet}}]Die Verbindungskurve aller Schnittpunkte der Querbalken mit den dazugehörigen Kurven bildet den im Bild unten markierten Bereich. In diesem \item [Bereich]Koexistieren Gas und Flüssige Phase. Links des Bereichs ist der Stoff flüssig, rechts Gasförmig. \item [Kritischer~Punkt\index{Kritischer Punkt}]ist das Maximum der Hüllkurve des Phasenkoexistenzbereichs, und zugleich der Sattelpunkt der Zustandsgeraden. \end{description} \begin{itemize} \item $V_{mol\; kritisch}=3b$ \item $T_{k}=\frac{8a}{27Rb}$ \item $p_{k}=\frac{a}{27b^{2}}$ \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [Entalpie\index{Entalpie}]$H=U+pV=$ konstant für $dQ=0$ \end{description} \begin{itemize} \item $dH=C_{V}dT+\frac{2a}{V^{2}}dV+\frac{RT}{V-b}dV-\frac{RVT}{\left(V-b\right)^{2}}dV+\frac{RV}{V-b}dT$ \item $dT\approx\frac{dV}{V^{2}C_{p}}\left(RTb-2a\right)=\frac{dp}{C_{p}}\left(\frac{2a}{RT}-b\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Inversionstemperatur\index{Inversionstemperatur}]$T_{inv}=\frac{2a}{Rb}=\frac{27}{4}T_{k}$ \end{description} \begin{itemize} \item reale Gase kühlen sich bei gedrosselter Entspannung ab, wenn ihre Temperatur $T$ unterhalb von $T_{inv}$ liegt. Oberhalb $T_{inv}$ gibt es Erwärmung. \end{itemize} \subsection{Phasenumwandlungen} \begin{description} \item [Dampfdurckkurve]Geht vom Trippelpunkt bis zum Kritischen Punkt. Flüsssige und gasförmige Phase existieren gleichzeitig. Oberhalb flüssig, unterhalb Gasförmig \item [Schmelzkurve]Beginnt im Trippelpunkt, hat aber nach oben hin kein Ende. Feste und flüssige Phase existieren gleichzeitig. Links Fest, rechts flüssig. \item [Sublimationskurve]feste und Gasförmige Phasen existieren gleichzeitig. Endet im Tripelpuntk und beginnt in der Nähe des Ursprungs. Oben fest, Rechts flüssig \item [Dampfdruck]Druck des Gases, der sich im Raum über einer Flüssigkeit einstellt. Ebensoviele Molekühle verlassen die Flüssigkeit wie in Sie zurückkehren. \item [Latente~Wärme](gespeicherte Wärme) Übergang einer Stoffmenge von der Phase $i$ in die Phase $k$.\\ Wärmemenge $Q_{ik}=-Q_{ki}$. Ist $Q_{ik}>0$ muss sie dem System zugeführt werden, für $<0$ gibt das System sie ab. \item [spezifische~Phasenübergangswärme]$\lambda_{ik}=\frac{Q_{ik}}{m}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[\lambda\right]=\frac{Ws}{kg}$ \item spez. Schmelzwärme $\lambda_{F,Fl}$ \item spez. Verdampfungswärme $\lambda_{Fl,G}$ \item spez. Sublimationswärme $\lambda_{F,G}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Phasenübergang~1.~Ordnung]heißen Phasenübergange, bei denen sich $V$ (bei $p=$ konst) und $p$ (bei $V=$ konst) eines Systems bei einer Übergangstemperatur $T_{\textrm{Ü}}$ ändert. D.h. $V\left(T_{\textrm{Ü}}\right)$ und $p\left(T_{\textrm{Ü}}\right)$ verhalten sich unstetig. \item [Phasenübergang~2.~Ordnung]heißen Phasenübergange, bei denen sich $V$ und $p$ stetig an $T_{\textrm{Ü}}$ verhalten, aber $\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{T_{\textrm{Ü}}}$ und $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{T_{\textrm{Ü}}}$ unstetig verhalten. Hier gibt es also keine Änderung der potentiellen Energie des Systems, d.h. es gibt keine latenten Wärmen. Phasenumwandlungen erfolgen also ohne Energiezufuhr, $Q_{ik}=0$ \end{description} \begin{itemize} \item $\frac{\Delta Q_{ik}}{\Delta T}=C$ ist also abgeknickt beim Übergang. \end{itemize} \section{2. HS der Wärmelehre} \subsection{Verschiedene Formulierungen} \begin{itemize} \item Die Konstruktion einer periodisch arbeitenden Maschine, die weiter nichts bewirkt, als die Erzeugung mechanischer Arbeit und Abkühlung eines Wärmespeichers (Perpetuum mobile 2. Art) ist unmöglich \item $\eta_{C}$ ist der grösstmögliche theoretische Wirkungsgrad \item In einem abgeschlossenen System nimmt die Entropie stets zu: $\Delta S\ge0$ \end{itemize} \subsection{Kreisprozesse\index{Kreisprozesse}} \begin{description} \item [Wirkungsgrad\index{Wirkungsgrad}]$\eta=\frac{\textrm{geleistete Arbeit}}{\textrm{aufgenommenen Wärme}}$ \end{description} \begin{itemize} \item Die Abwärme bleibt unberücksichtig, da der Wirkungsgrad sonst zwangsläufig $1$ sein müsste \end{itemize} \subsubsection{Carnot'sche\index{Carnot'sche Kreisprozess} Kreisprozess} \begin{description} \item [Kurve]im PV-Diagramm zusammengesetzt aus zwei Abiabaten und zwei Isothermen \end{description} \begin{itemize} \item Kurveninhalt ist die geleistete mechanische Arbeit \item $Q_{1}$ ist die aus dem wärmeren Reservoir mit der Temperatur $T_{1}$ aufgenommene Wärmemenge \item $Q_{2}$ ist die an das kältere Reservoir mit der Temperatur $T_{2}$ abgegebene Wärmemenge \end{itemize} \begin{description} \item [Wirkungsgrad]$\eta_{C}=\eta_{C}^{WK}=\frac{W_{total}}{Q_{1}}=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$ \end{description} \begin{itemize} \item entspricht dem Wikrungsgrad der Wärmekraftmaschine \end{itemize} \begin{description} \item [Wärmepumpe\index{Wärmepumpe}]$\eta_{C}^{WP}=\frac{\left|Q_{1}\right|}{W}=\frac{T_{1}}{T_{1}-T_{2}}=\frac{1}{\eta_{C}^{WK}}$ \item [Kältemaschine\index{Kältemaschine}]$\eta_{C}^{KM}=\frac{\left|Q_{2}\right|}{W}=\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}}$ \end{description} \subsubsection{Verbrennungskraftmaschine\index{Verbrennungskraftmaschine}} \begin{itemize} \item z.B. Ottomotor / Dieselmotor \end{itemize} \begin{description} \item [Kurve]im PV Diagramm besteht aus zwei Abiabaten und zwei Isochoren (konstantes Volumen) \item [Wirkungsgrad]$\eta=1-\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\kappa-1}<\eta_{C}$ \end{description} \subsubsection{Stirlingmotor\index{Stirlingmotor}} \begin{description} \item [Kurve]im PV-Diagramm besteht aus zwei Isothermen und zwei Isochoren (konstantes Volumen) \item [Wirkungsgrad]$\eta_{st}=\eta_{C}\frac{1}{1+\eta_{C}\frac{C_{V}}{R\cdot\ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)}}<\eta_{C}$ \end{description} \subsection{Entropie} \begin{description} \item [Entropie\index{Entropie}]$S\left(T,V\right)=\int\frac{1}{T}dQ$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left[S\right]=1\frac{J}{K}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Ideales~Gas]$S=\nu C_{v}\ln\left(T\right)+\nu R\ln\left(V\right)+S_{0}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\Delta S=\nu\left(C_{v}\ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)+R\ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\right)$ \item Anzahl der Mole \item Abiabate $\Delta S=0$ \end{itemize} \begin{description} \item [Eigenschaften]In der Natur laufen nur solche Vorgänge ab, dei denen die Entropie zunimmt. \end{description} \begin{itemize} \item $dS\ge0$ \end{itemize} \begin{description} \item [Irreversible~Prozesse]Die Entropie nimmt stets zu. \end{description} \begin{itemize} \item Prozessen, die nur mit Energiezufuhr ablaufen können sind Irreversible. \end{itemize} \section{Wellenbewegung in elastischen Medien} \subsection{Zeitliche und örtliche Ausbreitung einer Störung - Wellengleichung} \begin{description} \item [Schwingung\index{Schwingung}]ein periodisch in der Zeit ablaufender Vorgang \item [Welle\index{Welle}]Zeit- und raumperiodischer Vorgang mit der Geschwindigkeit $v$ \\ $y=y\left(\vec{r},t\right)$ \item [Zugspannung\index{Zugspannung}]$\sigma=\frac{\textrm{Kraft }F}{\textrm{Querschnittsfläche }A}$ \item [Wellengleichung\index{Wellengleichung}]$\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=\left(\frac{\sigma}{\varrho}\right)\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\varrho$ steht für die Materialdichte \end{itemize} \begin{description} \item [Lösung~Wellengleichung]$y=f\left(\underbrace{x\mp vt}_{=c}\right)=f\left(c\right)$ für welle in positive $x$-Richtung steht dort ein $-$ (Minus)!! \end{description} \begin{itemize} \item $v=\sqrt{\frac{\sigma}{\varrho}}=\sqrt{\frac{F\cdot l}{m}}$ \item bedeutet, dass an allen Stellen $x-vt$ $f$ den gleichen Wert hat. Da $v\cdot t$ mit der Zeit wächst, rutsch der Ort, an dem $y$ den gleichen Wert hat in $x$-Richtung davon. \end{itemize} \begin{description} \item [Phase~der~Welle]$\left(x-vt\right)$ \item [Phasengeschwindigkeit\index{Phasengeschwindigkeit}]Falls $x-vt=$konstant wird $\dot{x}=v$ die Phasengeschwindigkeit genannt. \end{description} \subsection{Harmonische\index{Harmonische Wellen} Wellen} \begin{description} \item [Ansatz]$y\left(x,t\right)=a\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}\left(vt-x\right)\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item Sinusförmige Störung, die sich nach rechts mit der Geschwindigkeit $v$ ausbreitet \item In einer Momentaufnahme ist $\lambda$ der Abstand weiter Wellenberge (Täler) \end{itemize} \begin{description} \item [Wellenlänge\index{Wellenlänge}]$\lambda$ aus der vorherigen Formel \item [Wellenzahl\index{Wellenzahl}]$k=\frac{2\pi}{\lambda}$ \item [Frequenz\index{Frequenz}]$f=\frac{v}{\lambda}$ \item [Kreisfrequenz\index{Kreisfrequenz}]$\omega=2\pi f=kv$ \item [Phasengeschwindigkeit\index{Phasengeschwindigkeit}]$v=\lambda f$ \item [Amplitude\index{Amplitude}]$a$ \item [Harmonische~Welle]$y=a\cdot\sin\left(\omega t-kx\right)$ \end{description} \subsection{Reflexion der Seilwelle und stehende Wellen} \begin{description} \item [festes~Ende\index{festes Ende}]Reflexion am Ende, das fest ist \end{description} \begin{itemize} \item Grenzbedingung $y=0$ am festen Ende führt zu einer Reflexion der Störung mit negativem Vorzeichen (\emph{Phasensprung}\index{Phasensprung}) \end{itemize} \begin{description} \item [offenes~Ende\index{offenes Ende}]Reflexion am Ende, das offen ist \item [stehende~Wellen\index{stehende Wellen}]Reflexion an zwei festen Enden, so dass die Welle zu stehen scheint. Sie entstehen aus der Überlagerung von der hinlaufenden und der Reflektierten Welle\begin{eqnarray*} y & = & \sin\left(\omega t-kx\right)-\sin\left(\omega t+kx\right)\\ & = & -2\cos\left(\omega t\right)\sin\left(kx\right)\end{eqnarray*} \item [Grundschwingung\index{Grundschwingung}]Auf ein Seil der länge $l$ passt genau eine Schwingung mit der Wellenlänge $\lambda=2l$. Die Schwinung mit dieser Wellenlänge wird Grundschwingung genannt. \item [Oberschwingung\index{Oberschwingung}]Auf einem Seil der Länge $l$ können nur stehende Wellen der Wellenlänge $\lambda=n\cdot2l$ mit $n\in\mathbb{N}$ entstehen. $n=1$ ist die Grundschwingung, alle weiteren sind die $n$.te Oberschwingung \end{description} \subsection{Polarisation einer Welle} \begin{description} \item [Transversalwelle\index{Transversalwelle}]Schwingung der Masse erfolgt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung \item [Longithudinalwelle\index{Longithudinalwelle}]Schwingung der Masse erfolgt in Ausbreitungsrichtung. Man kann hier auch von Dichteschwankungen im Medium sprechen. \item [Lineare~Polarisation\index{Polarisation}\index{Lineare Polarisation}]liegt bei einer Transversalwelle vor, wenn die Schwingungsebene konstant ist. \item [Zirkuläre~Polarisation\index{Zirkuläre Polarisation}]liegt bei einer Transversalwelle vor, wenn sich die Schwinungsamplitude über die Zeit nicht ändert, sondern nur ihre Richtung. Der Amplitudenvektor rotiert sozusagen um die Ausbreitungsrichtung. \end{description} \subsection{Torsionswelle} \begin{description} \item [Torsionmodul]$G$ \end{description} \begin{itemize} \item auch Schub- oder Schermodul \item $\left[G\right]=\frac{N}{m^{2}}$ \item $\gamma=\frac{F_{t}}{G\cdot A}$ Drehwinkel ist Proportional zu angreifender Kraft und Querschnittsfläche des Materials \end{itemize} \begin{description} \item [Torsionsschwingung]$T=I\ddot{\varphi}=\frac{\gamma}{l}\varphi$ \end{description} \subsubsection{Torsionspendelkette} \begin{description} \item [Ansatz]$T_{n}=-\frac{\gamma}{a}\left(\varphi_{n}-\varphi_{n-1}\right)-\frac{\gamma}{a}\left(\varphi_{n}-\varphi_{n+1}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $a$ Abstand der Pendel \item $I_{n}\ddot{\varphi}_{n}=\frac{\gamma}{a}\left(\varphi_{n+1}-\varphi_{n}+\varphi_{n+1}\right)$ \item Randpunkte Fixiert $\varphi_{0}=\varphi_{N}=0$ \item $\varphi_{n}=A_{n}e^{i\omega t}$ mit $A_{n}=Ae^{\pm i\cdot k\cdot a\cdot n}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Kreisfrequenz]$\omega^{2}=\frac{4\gamma}{Ia}\sin^{2}\left(\frac{ka}{2}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item da $\omega$ eine Funktion von $k$ ist läuft die Welle auseinander. \end{itemize} \begin{description} \item [Lösung]$\varphi_{n,\mu}=E\cdot e^{-\omega_{\mu}t}\sin\left(\frac{n\mu\pi}{N+1}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item Eigenfrequenzen $\omega_{\mu}=2\sqrt{\frac{\mu}{Ia}}\sin\left(\frac{\mu\pi}{2\left(N+1\right)}\right)$ \item Amplitzuden $A_{n\mu}=E\sin\left(\frac{n\mu\pi}{N}\right)$ \end{itemize} \subsection{Schallwellen} \begin{description} \item [Ausbeitung]in allen elastischen Medien. Entspricht einer Dichteschwankung im Medium \item [Dichtegradient]$\frac{\partial\varrho}{\partial x}=-\varrho\frac{\partial^{2}\xi^{2}}{\partial x^{2}}$ \item [Druckgradient]$\frac{\partial p}{\partial x}=-\left(\frac{dp}{d\varrho}\right)_{\varrho_{0}}\varrho\frac{d^{2}\xi}{dx^{2}}$ \item [Wellengleichung]$\frac{\partial^{2}\xi}{dt^{2}}=\left(\frac{dp}{d\varrho}\right)_{\varrho_{0}}\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x^{2}}$ \item [Lösung]$\xi=\xi_{0}\sin\left(\omega t-kx\right)$ \item [Ausbreitungsgeschwindigkeit]$v^{2}=\left(\frac{dp}{d\varrho}\right)_{\varrho_{0}}$ \item [Schallwellen\index{Schallwellen}]Longitudinalwellen in Luft \item [Schallwellendruck\index{Schallwellendruck}]$p=\frac{\textrm{Kraft}}{\textrm{Fläche}}$ \item [Energietransport\index{Energietransport}]$P_{v}=\frac{\textrm{Kraft}}{\textrm{Fläche}}\cdot\frac{\textrm{Weg}}{\textrm{Zeit}}=\frac{\textrm{Leistung}}{\textrm{Fläche}}$ \item [Schallintensität\index{Schallintensität}]$\frac{\textrm{Energie}}{\textrm{Zeit}\cdot\textrm{Fläche}}$ \item [Standardintensität\index{Standardintensität}]$J_{o}=10^{-6}\frac{W}{cm^{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item Schmerzgrenze $J_{max}\approx10^{13}J_{0}$ \item Wahrnehmungsschwelle $J_{min}\approx10^{-10}J_{0}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Lautstärke\index{Lautstärke}]$L\sim\textrm{konst}\cdot\log J$ \end{description} \begin{itemize} \item Alte Einheit Phon:\\ $L$ in Phon $=10\cdot\log_{10}\left(\frac{J}{J_{0}}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Tonhöhe\index{Tonhöhe}]$\sim$ Frequenz \end{description} \subsubsection{Schallwellen in Gasen} \begin{description} \item [Polarisation]Nur Longitudinal möglich, da Gase keine Schersteifigkeit besitzen. \item [Ideales~Gas]entspicht einem Abiabaten Prozess, da er schnell abläuft \item [Ausbreitunggeschwindigkeit\index{Ausbreitunggeschwindigkeit}]$v_{schall}=\sqrt{\kappa\frac{kT}{m}}$ \end{description} \begin{itemize} \item nur für ideales Gas \item $m$ Molmasse \item $v_{therm}^{2}=\frac{3}{\kappa}v_{schall}^{2}$ also ähnliche Größe \item $c_{schall}=340\frac{m}{s}$ bei Norm Bedingungen \end{itemize} \subsubsection{Akustik\index{Akustik}} \begin{description} \item [Ton\index{Ton}]Schallempfindung, die durch harmonische Schwingung des Schallgeber erzeugt wird \item [Klang\index{Klang}]Schallempfindung regelmäßiger harmonischer Schwingungsvorgänge mit rationalem Frequenzspektrum \item [Geräusch\index{Geräusch}]kein rationales Frequenzspektrum \item [Schwebung\index{Schwebung}]Überlagerung zweier Töne mit annähern gleichen Frequenzen \end{description} \begin{itemize} \item $x_{1}=x_{0}\sin\left(\omega_{1}t\right)$\\ $x_{2}=x_{0}\sin\left(\omega_{2}t\right)$ \item $\omega_{1}\approx\omega_{2}$ \item $x=x_{1}+x_{2}=x_{0}\left(\sin\left(\omega_{1}t\right)+\sin\left(\omega_{2}t\right)\right)$ \item $x=2\cdot x_{0}\cdot\sin\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}t\right)\cdot\cos\left(\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}t\right)$ \item $x=2\cdot x_{0}\cdot\sin\left(\omega_{m}t\right)\cdot\cos\left(\omega_{s}t\right)$ \item Mittenfrequenz\index{Mittenfrequenz} $\omega_{m}=\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}$ \item Schwebungsfreqzenz\index{Schwebungsfreqzenz} $\omega_{s}=\left|\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}\right|$ \item Hat Phasensprünge an stellen wo der Sinus und der Cosinus gleich $0$ werden \end{itemize} \subsubsection{Dispersion} \begin{description} \item [Phasengeschwindigkeit\index{Phasengeschwindigkeit}]$\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}=v_{phase}$ \end{description} \begin{itemize} \item wegen $\omega t-kx=\textrm{konstant}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Gruppengeschwindigkeit\index{Gruppengeschwindigkeit}]ist die Geschwindigkeit mit der bei Überlagerung von mehreren Harmonischen Wellen sich die Umhüllende Kurve Vortbewegt. \end{description} \begin{itemize} \item im Medien mit $v_{phase}=v\left(\lambda\right)$ \item $v_{gr}=v_{phase}-\lambda\frac{dv_{phase}}{d\lambda}=\frac{d\omega}{dk}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Dispersion\index{Dispersion}]die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen von ihrer Wellenlänge bzw. von der Frequenz \begin{description} \item [linear]$v_{gruppe}=v_{phase}=\textrm{konst}$ \item [nichtlinear]$v_{phase}\neq\textrm{konst}$ \end{description} \begin{itemize} \item $v_{gruppe}=\frac{\partial\omega}{\partial k}\neq v_{phase}$ \item Signal behält seine Form bei der Ausbreitung nicht bei, dies führt zu einer Deformation (Dispersion) des Signals \end{itemize} \end{description} \begin{itemize} \item Wasserwelle $p_{ph}=v=\sqrt{\frac{\lambda g}{2\pi}}=v\left(\lambda\right)$ \begin{itemize} \item Im Fernfeld des Erregers überholen die langen Wellen die Kürzeren \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Dopplereffekt} \begin{description} \item [Ursache]bewegte Schwingungserreger bewegen sich relativ zum Übertragungsmedium. Ebenso kann sich der Beobachter relativ zum Medium bewegen. \item [Bewegte~Quelle]und ruhender Beobachter (relativ zum Medium)\\ $\lambda'=\lambda\left(1-\frac{v}{c}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $v$ Geschwindigkeit der Quelle \item $c$ Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium \item $f'=\frac{f}{1-\frac{v}{c}}$ \item für $v\ll c$ gilt: beide Transforamtionen sind identisch \end{itemize} \begin{description} \item [Bewegter~Beobachter]und ruhende Quelle (relativ zum Medium)\\ $\lambda'=\lambda\frac{1}{1+\frac{v}{c}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $f'=f\left(1+\frac{v}{c}\right)$ \item für $v\ll c$ gilt: beide Transforamtionen sind identisch \end{itemize} \subsection{Masse Energieäquivalenz} Es gilt\[ E=mc^{2}\] \section{Energie und Energiedichte einer Welle} \begin{description} \item [Hooksches~Gesetz]$\frac{F}{A}=E\frac{\Delta l}{l}=\frac{\partial\xi}{\partial x}$ \end{description} \begin{itemize} \item Mit $E$ dem \emph{Elastizitätsmodul\index{Elastizitätsmodul}} einer Materialkonstanten \end{itemize} \begin{description} \item [Wellengleichung\index{Wellengleichung}]$\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x^{2}}\frac{E}{\varrho}$ \item [Energietransport\index{Energietransport}]$\frac{\partial W}{\partial t}=-F\frac{\partial\xi}{\partial t}$ \end{description} \begin{itemize} \item $F$ ist die Zugkraft in dem Seil \end{itemize} \begin{description} \item [Harmonisch]$\xi=\xi_{0}\sin\left(kx-\omega t\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $\frac{\partial W}{\partial t}=vA\varrho\omega^{2}\xi_{0}^{2}\cos^{2}\left(kx-\omega t\right)$ \item $\frac{\partial W}{\partial t}\ge0$ gilt stets \item Mittelwert $\left\langle \frac{\partial W}{\partial t}\right\rangle =vA\:\frac{1}{2}\varrho\omega^{2}\xi_{0}^{2}=vA\epsilon$ \item $\epsilon=\frac{1}{2}\varrho\omega^{2}\xi_{0}^{2}$ \item $A$ Querschnittsfläche des Wellendurchdringung \item $\varrho_{Luft}=1,29\frac{kg}{m^{3}}$ \item $v_{schall}=340\frac{m}{s}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Energiedichte\index{Energiedichte}]$\epsilon=\frac{\textrm{Engergie}}{\textrm{Volumen}}$ \end{description} \section{Wellenausbreitung in mehreren Dimensionen} \subsection{Ebene Wellen und Kugelwellen} \begin{description} \item [Wellenvektor\index{Wellenvektor}]$\vec{k}$ mit $\left|\vec{k}\right|=\frac{2\pi}{\lambda}$ und in Richtung der Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten \item [Harmonische~eben~Welle\index{ebene Welle}]$\xi\left(\vec{r}\right)=\xi_{0}\sin\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)$ \item [Kugelwelle\index{Kugelwelle}]$\xi\left(\vec{r}\right)=\frac{\xi_{0}}{r}\sin\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)=\Im\left(\frac{\xi_{0}}{r}e^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}\right)$ \item [Energiedichte\index{Energiedichte}]das Integral über der Energiedichte muss auf einer geschlossenen Oberfläche konstant sein. Da die Amplitude quadratisch in die Energiedichte eingeht, muss bei der Kugel mit $\frac{1}{r}$ multipliziert werden, und nicht mit $\frac{1}{r^{2}}$ \end{description} \subsection{Interferenz} \begin{description} \item [Interferenz\index{Interferenz}]bezeichnet die Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz (mit annähernd gleicher Ausbreitungsrichtung) \item [Gangunterschied\index{Gangunterschied}]bezeichnet die Strecke $\Delta r$, die eine Welle von ihrer Quelle mehr zurücklegen musste als die andere (Wegdifferenz) \begin{description} \item [Verstärkung\index{Verstärkung}]für $\Delta r=\pm0,\pm\lambda,\pm2\lambda,\ldots,\pm n\lambda,\ldots$ \item [Auslöschung\index{Auslöschung}]für $\Delta r=\pm\frac{\lambda}{2},\pm3\frac{\lambda}{2},\pm5\frac{\lambda}{2},\ldots,\pm\frac{2n+1}{2}\lambda,\ldots$ \end{description} \item [Phasendifferenz\index{Phasendifferenz}]Bezeichnet den Unterschied in der Phase zwischen den Interferierenden Wellen am betrachteten Ort \begin{description} \item [Verstärkung\index{Verstärkung}]für $\Delta\varphi=0,2\pi,4\pi,\ldots$ \item [Auslöschung\index{Auslöschung}]für $\Delta\varphi=\pi,3\pi,5\pi,\ldots$ \end{description} \item [Kohärenz\index{Kohärenz}]Interferenz ist nur bei \emph{kohärenten} Wellen möglich! \end{description} \begin{itemize} \item Wellen gleicher Frequenz \item Wellen haben feste Phasenbeziehung \end{itemize} \subsection{Beugung und Huygens'sches Prinzip} \paragraph{Huygens'sches\index{Huygens'sches Prinzip}~Prinzip} \begin{itemize} \item Jeder erregte Punkt im Wellenfeld ist Ausgangspunkt einer elementaren Kugelwelle \item Die nachfolgende Wellenfront ergibt sich durch Überlagerung dieser elementaren Kugelwellen \end{itemize} \begin{description} \item [Beugung\index{Beugung}]Abweichen von der geradlinigen Ausbreitung einer Welle, wenn dies durch eine enge Öffnung tritt oder auf ein Hindernis trifft. \item [Beugung~am~Spalt]mit der Breite $a$. In der Richtung $\alpha$ von der Spaltnormale aus betrachtet hat man \begin{description} \item [Maxima]bei $\sin\alpha=\frac{\left(2n+1\right)}{2}\frac{\lambda}{a}$ \item [Auslöschung]bei $\sin\alpha=\frac{n\lambda}{a}$ \end{description} \item [Beugung~am~Doppelspalt]mit der vernachlässigbarer Breiten und Spaltabstand $d$. In der Richtung $\alpha$ von der Spaltnormale aus betrachtet hat man \begin{description} \item [Maxima]bei $\sin\alpha=\frac{n\lambda}{d}$ \item [Auslöschung]bei $\sin\alpha=\frac{\left(2n+1\right)}{2}\frac{\lambda}{d}$ \end{description} \end{description} \begin{itemize} \item In Wirklichkeit überlagern (Modulieren) sich noch die Spaltbeugungseffekte der beiden einzelnen Spalten. \item Im Vergleich zum Einzelspalt sind die Formeln genau vertauscht \end{itemize} \begin{description} \item [Reflexion]Einfallswinkel $=$ Ausfallswinkel für unendlichen Reflektor \end{description} \subsection{Brechung} \begin{description} \item [Brechung\index{Brechung}]entspreht beim Übertritt einer Welle von einem Medium in ein anderes mit unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten. \item [Brechungsindex\index{Brechungsindex}]$n=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_{1}}{v_{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\alpha$ Winkel zwischen dem Wellenstrahl und dem Lot in Medium $1$ \item $\beta$ Winkel zwischen dem Wellenstrahl und dem Lot in Medium $2$ \item $v_{1}$ Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in Medium $1$ \item $v_{2}$ Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in Medium $2$ \item auch \emph{Snellius'sches\index{Snellius'sches Brechungsgesetz} Brechungsgesetz} genannt \end{itemize} \begin{description} \item [Totalreflexion\index{Totalreflexion}]$\sin\alpha_{gr}=\frac{v_{1}}{v_{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item ab diesem Winkel wird nicht mehr gebrochen (da dafür $\sin\beta>1$ sein müsste) sondern ausschließlich reflektiert \end{itemize} \subsection{Doppelereffekt und Machkegel} \begin{description} \item [Doppelereffekt\index{Doppelereffekt}]falls sich die Quelle im Ausbreitungsmedium bewegt, kommt es je nach Richtung zu Verzerrungen in der Frequenz der Wellen. \item [Machkegel\index{Machkegel}]$\sin\alpha=\frac{v_{medium}}{v_{Flugzeug}}$ \end{description} \begin{itemize} \item Halber Öffnungswinkel des Schallkegels hinter dem Überschallflieger \end{itemize} \begin{description} \item [Machzahl\index{Machzahl}]$=\frac{1}{\sin\alpha}$ \end{description} \printindex{} \end{document}