Energiebetrachtungen und Freiheitsgerade

Innere Energie

$U=Nm\frac{\overline{v^{2}}}{2}$

• $pV=\frac{2}{3}U$

kin. Energie

$\overline{E_{kin}}=\frac{1}{2}m\overline{v^{2}}=\frac{f}{2}kT$

• gilt für einatomige Gase
• $\overline{E_{kin}}\sim T$
• $k=1,3806505\cdot10^{-23}\frac{J}{K}=\frac{R}{N_{a}}$
• Temperatur lässt sich nicht für ein einzelnes Teilche definieren, sondern nur für eine Menge
• $E_{ges}=N_{a}\nu\overline{E}_{kin}$

Gleichverteilungssatz

$\frac{\overline{E_{kin}}}{\textrm{Freiheitsgerade}}=\frac{1}{2}kT$

Geschwindigkeit

$v_{rms}=\sqrt{\left(\overline{v^{2}}\right)}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$

• mittlere quadrartische Geschwindigkeit
• root mean square Velocity

Geschwindigkeitsverteilung

 

$$\frac{dN\left(v\right)}{dv} = 4\pi v^{2}N\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}$$

• ist unsymetrisch zum maximum
• nennt sich auch Maxwellverteilung
• Maximum bei: $\tilde{v}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$
• Mittlel bei $\overline{v}=\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\approx1,13\tilde{v}$
• $\tilde{v}<\overline{v}<v_{rms}$
• Mittleres Geschw. Quadrat $v_{rms}\approx1,22\tilde{v}$

Barometrische Höhenformel

$n\left(h\right)=n\left(0\right)e^{-\frac{mgh}{kT}}$

• $m$ ist masse Pro Teilchen
• $n=\frac{N}{V}$ ist die Dichte
• $p\left(h\right)=p_{0}e^{-\frac{\varrho_{0}gh}{p_{0}}}$
• unter vernachlässigung von vertikalen Temperaturdifferenzen