Elektrischer Strom und Widerstand

Leitfähigkeit und Widerstand

Feld

in einem Draht $E=\frac{U}{l}$

Strom

$I=nA\overline{v}q$

• $n=\frac{N}{V}$ Anzahl der $e^{-}$ pro Volumen
• $A$ Querschnittsfläche
• $\overline{v}$ mittlere Geschwindigkeit der $e^{-}$
• $q$ Ladung eines $e^{-}$

mittlere Driftgeschwindigkeit

$\overline{v}=-\frac{e}{2m}E\tau$

• $\tau$ mittlere Stoßzeit der $e^{-}$ in Metallen
• $\overline{v}\sim E\sim\frac{U}{l}$
• $I\sim U$

Stromdichte

$j=\frac{I}{A}=n\overline{v}q=nq\mu E$

• $\mu$ Beweglichkeit der $e^{-}$, die sich durch ein ``zähes'' Medium bewegen

Ohm'sches Gesetz

$\vec{j}=\sigma_{0}\vec{E}$

elektrische Leitfähigkeit

$\sigma_{0}$

• Stoffkonstante

spezifischer Widerstand

$\varrho_{0}=\frac{1}{\sigma_{0}}$

• Stoffkonstante

Draht

$U=\frac{\varrho_{0}l}{A}I$

• Widerstand des Drahtes
  $R=\frac{\varrho_{0}l}{A}$

Widerstand

$R=\frac{U}{I}$

• $\left[R\right]=1\frac{V}{A}=1\Omega=1Ohm$
• ist bei den meisten Materalien für konstante Temperatur konstant

Temperaturabhängigkeit von $R$

kleiner Temperaturbereich

$R_{t}=R_{0}\left(1+\beta t\right)$

• $\beta$ Temperaturkoeffizient
• für reine Metalle ist $\beta$ positiv; $\beta\approx\frac{1}{273}\textrm{ grad}$
• für reine Metalle gilt außerdem
  $$\frac{R}{R_{0}}=\frac{T}{T_{0}}$$

• Bei Metallen gilt
  $$\frac{\textrm{Wärmeleitfähigkeit}}{\textrm{el. Leitfähigkeit}}=const$$

• Halbleiter haben einen negativen Temperaturkoeffizient
  $$R\left(T\right)\sim e^{\frac{c}{T}}$$

Supraleiter

verlieren ab einer gewissen Temperatur $T_{c}$ sogut wie ihren ganzen Ohm'schen Widerstand

• Metalle: $T_{C}\approx8K$
• Hochtemperatursupraleiter: $T_{c}\approx90K$

Ionenleitung in Elektrolyten

in einem Lösungsmittel mit einer hohen Dielektrizitätskonstante reicht die thermische Beweungsenergie aus, um die Dissoziation (Trennung der Ionen aus ihrer Verbindung) herbeizuführen.

• $W=\frac{1}{\varepsilon_{r}}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r_{0}^{2}}$
  $r_{0}$ Ionendurchmesser
• Leitfähigkeit
  

  $$\sigma_{0} = nNe\left(\mu^{+}-\mu^{-}\right)$$

  $$= nNe\left(\left\vert\mu^{+}\right\vert+\left\vert\mu^{-}\right\vert\right)$$

  
  

• $n$ Wertigkeit der Ionen
• $N$ Ionenkonzentration
• $\mu^{+},\mu^{-}$ Beweglichkeit der jeweiligen Ionen
• Bei einer Ladungsmenge $q=96,487C$ wird genau $1mol$ einer einwertigen Substanz abgeschieden.