Materie im $\vec{E}$-Feld

Dielektrizitätskonstante, Polarisierbarkeit und Suszeptibilität

Dielektrizitätskonstante

$\varepsilon_{r}=\frac{C_{\textrm{mit Materie}}}{C_{\textrm{ohne Materie}}}=1+\frac{P}{\varepsilon_{o}E}=1+\chi$

• Die beiden Kapazitäten beziehen sich auf den selben Kondensator, einmal mit Vakuum ziwschen den Platten, einmal mit einem Stoff gefüllt.
• $\varepsilon_{\textrm{Luft}}\approx1$

relative Dielektrizitätskonstante

$\varepsilon_{r}=\frac{E_{0}}{E}$

• Ingenieure rechnen nach dieser Methode.
• Damit ergibt sich die Dielektrizitätskonstante
  $$\varepsilon=\varepsilon_{r}\cdot\varepsilon_{0}$$

Polarisation

$P=\frac{q_{P}}{A}=\frac{\textrm{el. Dipolmoment}}{\textrm{Volumen}}$

• $q_{p}$ Polarisationsladung
• $A$ Plattenfläche des Kondensators
• $\left[P\right]=\frac{As}{m^{2}}$

el. Suszeptibilität

$\chi=\varepsilon_{r}-1$

• Maß für die el. Polarisierbarkeit eines Stoffes

Dielektrische Verschiebbarkeit

$\vec{D}=\varepsilon_{0}\vec{E}+\vec{P}$

• der Unterschied zwischen $\varepsilon_{0}\vec{E}$ und $\vec{D}$ sind die Polarisationsladungen
• Im Kristall haben $\vec{E}$ und $\vec{D}$ oftmals nicht dieselbe Richtung (anisotrope Medien)
  $$\vec{D}=\varepsilon_{0}A\vec{E}$$
  wobei $A$ ein passende Matrix ist.

Ladungsdichte

$\rho=\textrm{div}\vec{D}=\vec{\nabla}\vec{D}$

Polarisierungsladungdichte

$\rho_{P}=\textrm{div}\left(\varepsilon_{0}\vec{E}-\vec{D}\right)$

Mikroskopische Beschreibung der Polarisation

Dipolmoment

$\vec{P}=\frac{N}{V}\vec{p}=n\vec{p}$

• $\vec{p}$ Dipolmoment eines Molekühls
• $n$ Zahl der Molekühle pro Volumen

Moleküle ohne permanentes Dipolmoment

• $1<\varepsilon_{r}<10$
• z.B. $C_{6}H_{6}$, $CO_{2}$, $N_{2}$, $H_{2}$
• $\vec{p}=\varepsilon_{0}\alpha\vec{E}$ induziertes Dipolmoment
• $\vec{P}=n\vec{p}=n\varepsilon_{0}\alpha\vec{E}$
• $\chi=n\alpha$
• $\alpha$ wird durch Molekülvolumen bestimmt
• für Flüssigkeiten gilt
  $$\chi=\frac{n\alpha}{1-\frac{n\alpha}{3}}$$

• wenn $\frac{n\alpha}{3}\ll1$ (für dünne Gase) gilt $\chi\approx n\alpha$
• $\alpha$ ist unabhängig vom Aggregatzustand eines Stoffes

Moleküle mit permanentem Dipolmoment

• $\varepsilon_{r}>20$
• z.B. $HCN$, $H_{2}O$, $HCl$, $CO$
• es liegt eine Ausrichung der Dipole bereits ohne äußeres Feld $\vec{E}$ vor
• $\vec{E}$-Feld $\Rightarrow$ Drehmoment auf Dipole
  $\vec{F}=\vec{p}_{k}\times\vec{E}$
• $W_{pot}=-p\vec{E}\cos\varphi$
• Anzahl der Moleküle mit diesem $\varphi$ relativ zum äußeren Feld
  $$n\left(\varphi\right)=\frac{n}{a\pi}e^{-\frac{W_{pot}}{kT}}$$

• bei hinreichend hohen Temperaturen gilt
  $e^{-\frac{W_{pot}}{kT}}\approx1-\frac{W_{pot}}{kT}=1+\frac{p_{k}E\cos\varphi}{kT}$
• $\vec{P}=\int n\left(\varphi\right)p\vec{e}_{r}\left(\varphi\right)d\varphi$
  $P=\frac{np_{k}^{2}E}{3kT}$
• paraelektrische Suszeptiblität
  $\chi=\varepsilon_{r}-1=\frac{P}{\varepsilon_{0}E}=\frac{np_{k}^{2}}{\varepsilon_{0}3kT}$

Curie-Verhalten

gilt bei $\chi\sim\frac{1}{T}$

Para- oder ferromagnetische Stoffe

haben eine Hysteresekurve im $B$ über $E$ Diagramm

• $\varepsilon_{r}$ sehr groß ($10^{4}$)
• starke Temperaturabhängigkeit von $P$. Sinkt mit steigender Temperatur bis es bei der kritischen Temperatur $T_{c}$ schließlich ganz zusammenbricht.