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\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Physik IV}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 27.04.2006 - Version: 0.0.3\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Physik IV'' von
Prof. Dr. Thomas Walther an der Technischen Universität Darmstadt
im Sommersemester 2006.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Relativitätstheorie\index{Relativitätstheorie}}


\subsection{Zeitdilatation\index{Zeitdilatation}}

\[
t=t_{r}\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}\]



\subsection{Kineamtik}


\subsubsection{Gallileotransformation}

\begin{description}
\item [ruhendes~Bezugssystem]$t,x,y,z$
\item [bewegtes~Bezugssystem]$v_{x}$ $t',x',y',z'$
\item [transformation]\begin{eqnarray*}
t' & = & t\\
x' & = & x-vt\\
y' & = & y\\
z' & = & z\end{eqnarray*}

\end{description}

\subsubsection{Minkowsky\index{Minkowsky Diagramm} Diagramm}

Ist ein $x,t$ Diagramm in dem Orte und Zeiten eines Objektes eingetragen
werden.

\begin{description}
\item [Transformation]wir durch Neigung der Achsen um den Winkel $\tan\theta=\frac{v}{c}$.
Auf diese Neuen Achsen wird dann entsprechend (schief) projeziert
\end{description}

\subsubsection{Lorenztransformation\index{Lorenztransformation}}

\begin{eqnarray*}
t' & = & k\left(t-\frac{v}{c^{2}}x\right)\\
x' & = & k\left(x-vt\right)\\
y' & = & y\\
z' & = & z\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item mit $k=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}$
\item ruhendes~Bezugssystem $t,x,y,z$
\item bewegtes~Bezugssystem $t',x',y',z'$
\item bei Bewegung in $x$ Richtung mit Geschwindigkeit $v$
\end{itemize}

\subsubsection{Längenkontraktion\index{Längenkontraktion}}

\[
l=l_{0}\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}\]



\subsubsection{Lichtkegel\index{Lichtkegel}, Zukunft\index{Zukunft}, Gegenwart\index{Gegenwart},
Vergangenheit\index{Vergangenheit}}

\begin{itemize}
\item Ein Signal kann ein anderes nur dann beeinflussen, wenn es in dessen
Lichtkegel liegt.
\item Signale können sich nur mit $v<c$ bewegen, sonst: Problem mit der
Kausalität
\end{itemize}

\subsection{Doppler Effekt\index{Doppler Effekt}}


\subsubsection{Bewegte Quelle / Empfänger}

$T'=T\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$

\begin{itemize}
\item ist durch Berücksichtigung der Zeitdilatation für Bewegte Quelle /
Empfänge gleich!!
\end{itemize}

\subsubsection{Geschwindigkeitsaddition\index{Geschwindigkeitsaddition}}

\begin{itemize}
\item System $I'$ $x$-Richtung $u'$
\item System $I'$ $y$-Richtung $w'$
\item System $I'$ relativ zu $I$: $v$ (in $x$-Richtung)
\item in $I$: \begin{eqnarray*}
u & = & \frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^{2}}}\\
w & = & \frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}{1+\frac{u'v}{c^{2}}}\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\subsection{Dynamik\index{Dynamik}}


\subsubsection{nicht relativistisch}

\begin{itemize}
\item $dl=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$
\item $l$ ist invariant gegen die Wahl des Koordinatensystems
\end{itemize}

\subsubsection{Weltlinien\index{Weltlinien}}

\begin{itemize}
\item mitbewegte Uhr auf Objekt misst Eigenzeit\index{Eigenzeit} $dt'$
\item $ds=dt'$ $\Rightarrow$ Länge der Weltlinie
\item $ds=dt\sqrt{1-\left(\frac{v'}{c}\right)^{2}}$
\item $s=\int ds=\int dt\sqrt{1-\left(\frac{v'}{c}\right)^{2}}$
\item $ds^{2}=dt^{2}-\frac{d\vec{x}^{2}}{c^{2}}$
\item $ds$: Eigenzeit, Zeit für das Objekt während es von $a\rightarrow b$
auf einer Weltlinie ist
\end{itemize}

\subsubsection{Vierervektoren\index{Vierervektoren}}

\begin{itemize}
\item $\vec{X}=\left(\begin{array}{c}
ct\\
x\\
y\\
z\end{array}\right)$
\item Besonderes Skalarproduckt\[
\vec{X}_{1}\vec{X}_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}\]

\item Hiermit\[
ds^{2}=\frac{d\vec{X}^{2}}{c^{2}}\]

\item Geschwindigkeit\index{Geschwindigkeit} $\vec{V}=\frac{d}{ds}\vec{X}$\\
Beschleunigung \index{Beschleunigung}$\vec{A}=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\vec{X}$
\item Für $v\ll c$\\
$\vec{V}=\left(c,\vec{v}\right)$\\
$\vec{A}=\left(0,\vec{a}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Masse\index{Masse}}

\[
m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\]



\subsubsection{Energie\index{Energie}}

\begin{itemize}
\item $E=mc^{2}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}c^{2}$
\item Ruheenergie\index{Ruheenergie}\\
$E_{ruhe}=m_{0}c^{2}$
\item für $v\ll c$ gilt $E-E_{ruhe}=\frac{1}{2}m_{0}v^{2}$
\end{itemize}

\subsubsection{Impuls\index{Impuls}}

\begin{eqnarray*}
\vec{P} & = & m\frac{d}{ds}\vec{X}\\
 & = & \left(\frac{E}{c},m\vec{v}\right)\end{eqnarray*}



\subsection{Transformation elektrischer und magnetischer Felder}

\begin{itemize}
\item Elektromagnetische\index{Elektromagnetische Kraft} Kraft\\
$\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{u}\times\vec{B}\right)$
\item $\vec{u}$ Bewegung (3-dim) des Teilchens im System $I$
\item $q$ sind Lorenzinvariant
\end{itemize}
\begin{eqnarray*}
E_{x}' & = & E_{x}\\
E_{y}' & = & k\left(E_{y}-vB_{z}\right)\\
E_{z}' & = & k\left(E_{z}+vB_{y}\right)\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B_{x}' & = & B_{x}\\
B_{y}' & = & k\left(B_{y}+\frac{v}{c^{2}}E_{z}\right)\\
B_{z}' & = & k\left(B_{z}-\frac{v}{c^{2}}E_{y}\right)\end{eqnarray*}


\printindex{}
\end{document}