Dynamik

nicht relativistisch

• $dl=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$
• $l$ ist invariant gegen die Wahl des Koordinatensystems

Weltlinien

• mitbewegte Uhr auf Objekt misst Eigenzeit $dt'$
• $ds=dt'$ $\Rightarrow$ Länge der Weltlinie
• $ds=dt\sqrt{1-\left(\frac{v'}{c}\right)^{2}}$
• $s=\int ds=\int dt\sqrt{1-\left(\frac{v'}{c}\right)^{2}}$
• $ds^{2}=dt^{2}-\frac{d\vec{x}^{2}}{c^{2}}$
• $ds$: Eigenzeit, Zeit für das Objekt während es von $a\rightarrow b$ auf einer Weltlinie ist

Vierervektoren

• $\vec{X}=\left(\begin{array}{c} ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)$
• Besonderes Skalarproduckt
  $$\vec{X}_{1}\vec{X}_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}$$

• Hiermit
  $$ds^{2}=\frac{d\vec{X}^{2}}{c^{2}}$$

• Geschwindigkeit $\vec{V}=\frac{d}{ds}\vec{X}$
  Beschleunigung $\vec{A}=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\vec{X}$
• Für $v\ll c$
  $\vec{V}=\left(c,\vec{v}\right)$
  $\vec{A}=\left(0,\vec{a}\right)$

Masse

$$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}$$

Energie

• $E=mc^{2}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}c^{2}$
• Ruheenergie
  $E_{ruhe}=m_{0}c^{2}$
• für $v\ll c$ gilt $E-E_{ruhe}=\frac{1}{2}m_{0}v^{2}$

Impuls

$$\vec{P} = m\frac{d}{ds}\vec{X}$$

$$= \left(\frac{E}{c},m\vec{v}\right)$$