%% LyX 1.3 created this file. 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Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} \section{Vektoren und Felder im Raum} \subsection{Definitionen} \begin{description} \item [Einsteinsche~Summenkonvention\index{Einsteinsche Summenkonvention}\index{Summenkonvention}]Wenn ein Indize mehr als einmal vorkommt, ist darüber zu Summieren \item [Kronnecker~Symbol\index{Kronnecker Symbol}]$\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}$ \begin{itemize} \item Wenn in einer Summe mehrere verschiedene Inizes auftauchen, und ein $\delta$ Symbol, so kann man diese Indizes gleichsetzen, und das Symbol streichen \end{itemize} \item [Epsilon-Tensor\index{Epsilon-Tensor}\index{E-Tensor}]~ \end{description} \[ \varepsilon_{i,j,k}=\begin{cases} 1 & {\scriptstyle \textrm{falls}\left(i,j,k\right)\textrm{eine zykl. Vertausch. von }\left(1,2,3\right)}\\ -1 & {\scriptstyle \textrm{falls}\left(i,j,k\right)\textrm{eine zykl. Vertausch. von }\left(3,2,1\right)}\\ 0 & {\scriptstyle \textrm{sonst}}\end{cases}\] \begin{itemize} \item $\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{kij}=\varepsilon_{jki}=-\varepsilon_{ikj}=-\varepsilon_{jik}=-\varepsilon_{kji}$ \item $\delta_{ij}\varepsilon_{ijk}=0$ \item $\sum_{ij}a_{i}a_{j}\varepsilon_{ijk}=0$ \item $\sum_{k}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}$ \item $\sum_{ij}\varepsilon_{ijm}\varepsilon_{ijn}=\delta_{mn}$ \item $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6$ \item $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijm}=\delta_{km}$ \end{itemize} \subsection{Vektoren im Raum} Einen Punkt im Raum kann man definieren durch den zu ihm vom Koordinaten Ursprung zeigenden Vektor $\vec{r}$. Dieser ist definiert über seine Komponenten $\vec{r}=\left(\begin{array}{c} r_{x}\\ r_{y}\\ r_{z}\end{array}\right)$. Er lässt sich allerdings auch zerlegen in seine Länge $\left|\vec{r}\right|=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}}$ und in seine Richtung $\vec{e}_{r}=\frac{1}{\left|\vec{r}\right|}\vec{r}$ (Ein Vektor der Ränge $1$ der in die gleiche Richtung zeigt). Er lässt sich auch bezüglich der Einheitsvektoren angeben: $\vec{r}=r_{i}\vec{e}_{i}=r_{x}\vec{e}_{x}+r_{z}\vec{e}_{z}+r_{z}\vec{e}_{z}$ \begin{itemize} \item Addition von Vektoren:\\ ist Kommutativ (Vertauschbarkeit der beteiligten Vektoren)\\ $\left(\begin{array}{c} a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} b_{x}\\ b_{y}\\ b_{z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{x}+b_{x}\\ a_{y}+b_{y}\\ a_{z}+b_{z}\end{array}\right)$ \item Multiplikation mit einem Skalar:\\ $\lambda\vec{r}=\left(\begin{array}{c} \lambda r_{x}\\ \lambda r_{y}\\ \lambda r_{z}\end{array}\right)$ \item Länge\index{Länge} (Norm\index{Norm}) eines Vektors\\ $\left|\vec{r}\right|=\sqrt{\sum r_{i}^{2}}=\sqrt{\vec{r}\vec{r}}$ \begin{itemize} \item $\left|-\vec{r}\right|=\left|\vec{r}\right|$ \item Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}\\ $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|\leq\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|$ \item Vektoren der Länge $1$ werden als Einheitsvektoren\index{Einheitsvektoren} bezeichnet, man erhält sie durch Renormierung\index{Renormierung} von belibigen Vektoren: $\vec{e}_{r}=\frac{\vec{r}}{\left|\vec{r}\right|}$ \end{itemize} \item Nullvektor\\ $\vec{0}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Skalarmultiplikation\index{Skalarmultiplikation}} \[ \vec{a}\vec{b}=a_{i}b_{i}\] \begin{itemize} \item $\vec{a}\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\varphi$ \begin{itemize} \item wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht zueinander stehen gilt: $\vec{a}\vec{b}=0$ \item $\vec{e}_{i}\vec{e_{j}}=\delta_{ij}$ \item ist Kommutativ\\ $\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}$ \item ist Distributiv\\ $\vec{a}\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\vec{a}\vec{b}+\vec{a}\vec{c}$ \item $\left(+,\lambda,\vec{a}\vec{b}\right)$ bildet Körper \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Vektorprodukt\index{Vektorprodukt}} Auch Kreuzprodukt\index{Kreuzprodukt} genannt.\[ \vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}=a_{i}b_{j}\varepsilon_{ijk}\vec{e}_{k}=\left(\begin{array}{c} a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3}\\ a_{3}b_{1}-b_{3}a_{1}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{array}\right)\] \begin{itemize} \item $\vec{c}$ steht senkrecht auf der Ebene die von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird\\ $\vec{c}\vec{a}=0$\\ $\vec{c}\vec{b}=0$ \item Länge von $\left|\vec{c}\right|$ist so groß wie der Flächeninhalt des Parallelogrammes zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$\\ $\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\varphi$ \item Richtung von $\vec{c}$ mit Hilfe der Rechten Hand Regel ($\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ bilden ein Rechtssystem\index{Rechtssystem}) \item $\vec{e}_{i}\times\vec{e}_{j}=\varepsilon_{ijk}\vec{e}_{k}$ \item so nur im $3$-dim Raum definiert \item $\vec{a}||\vec{b}\Rightarrow\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ \item Vektorprodukt ist Antikommutativ\\ $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ \item Distributivgesetz\\ $\vec{a}\times\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$ \item Ist \emph{nicht} Assoziativ\\ $\left(\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{b}\right)\neq\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\times\vec{c}\right)$ \item Verhalten zur Skalaren Multiplikation\\ $\lambda\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=\left(\lambda\vec{a}\right)\times\vec{b}=\vec{a}\times\left(\lambda\vec{b}\right)$ \item {}``bac-cab'' Regel\\ $\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\vec{b}\left(\vec{a}\vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a}\vec{b}\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Spatprodukt\index{Spatprodukt}} \begin{eqnarray*} \left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right] & = & \vec{a}\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{c}\\ & = & \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\left|\vec{c}\right|\sin\alpha\left(\vec{b},\vec{c}\right)\cos\beta\left(\vec{a},\vec{b}\times\vec{c}\right)\\ & = & \varepsilon_{ijk}a_{k}b_{i}c_{j}\\ & = & a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}\\ & & -a_{3}b_{2}c_{1}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item berechnet das Volumen des Spats das von $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ aufgespannt wird \item ist $\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=0$ sind $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ linear abhängig (liegen in einer Ebene) \end{itemize} \subsection{Elemente der Vektoranalysis\index{Vektoranalysis}} \subsubsection{Differentiation eines Vektors nach einem Skalar} \[ \frac{d\vec{a}}{dt}=\frac{da_{i}}{dt}\vec{e}_{i}\] \begin{itemize} \item wenn nach der Zeit ($t$) Abgeleitet wird, kann man dies auch so abkürzen: $\frac{d\vec{a}}{dt}=\dot{\vec{a}}$ \item Produktregel\\ $\vec{c}\left(t\right)=a\left(t\right)\vec{b}\left(t\right)$\\ $\dot{\vec{c}}\left(t\right)=\dot{a}\vec{b}\left(t\right)+a\left(t\right)\dot{\vec{b}}\left(t\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Vektorielle differentiation eines Skalarfeldes\index{Skalarfeld}} \paragraph{Totales Differential\index{Differential}\index{totales Differential}:} \begin{eqnarray*} \phi\left(\vec{x}\right) & = & \phi\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\\ d\phi\left(\vec{x}\right) & = & \frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}dx_{i}\\ & = & \left(\vec{\nabla}\varphi\right)d\vec{r}\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Errechnen einer Ableitung\index{Ableitung} eines Vektorfeldes: $\frac{d\vec{\phi}\left(\vec{x}\right)}{dx_{k}}=\frac{\partial\vec{\phi}\left(\vec{x}\right)}{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dx_{k}}$ \item $\frac{\partial}{\partial x}$ ist die \emph{partielle Ableitung\index{partielle Ableitung}} nach $x$, wobei alle anderen Variablen als Konstanten betrachtet werden. \item Satz von Schwarz\\ Wenn die gemischten partiellen Ableitungen (bis zur zweiten) von einer Funktion stetig sind in einem Bereich $G$. Dann gilt das die Reihenfolge der Ableitungen im Innern vertauscht werden kann. Wenn dieses gilt, existiert das totale Differential. \item Flächen für die $\phi\left(\vec{x}\right)=c$ sind werden \emph{Äquipotentialflächen\index{Äquipotentialflächen}} bezeichnet. \end{itemize} \paragraph{Das \emph{Nabla}-Symbol\index{Nabla}} \begin{eqnarray*} \vec{\nabla} & = & \frac{\partial}{\partial x_{i}}\vec{e}_{i}\\ d\vec{r} & = & dx_{i}\vec{e}_{i}\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Hiermit lässt sich das totale differential auch als Skalarprodukt schreiben, indem man die zu differenzierende Funktion vorher mit $\vec{\nabla}$ und anschließenden mit $d\vec{r}$ Multipliziert. \item $\left|\vec{\nabla}\phi\right|=\sqrt{\sum_{i}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}\right)^{2}}$ \end{itemize} \paragraph{Gradient} Der \emph{Gradient\index{Gradient}} von $\phi$ lässt sich wie folgt berechnen \[ \textrm{grad}\left(\phi\right)=\vec{\nabla}\phi\] \begin{itemize} \item Einheitsvektor in Richtung des Gradienten $\vec{e}_{\vec{\nabla}\phi}=\frac{\vec{\nabla}\phi}{\left|\vec{\nabla}\phi\right|}$ \item Der Gradient steht Senkrecht auf den \emph{Äquipotentialflächen\index{Äquipotentialflächen}} von $\phi$. $\vec{e}_{\nabla\phi}\perp\vec{e}_{dr}$ \begin{itemize} \item Äquipotentialflächen: Menge aller Punkte für die $\phi\left(\vec{r}\right)=const=c$ \item Eine Linie die senkrecht durch alle Äquipotentialflächen geht nennt sich \emph{Strömungslinie\index{Strömungslinie}} \end{itemize} \item Der Gradient macht aus einem Skalar- eine Vektorfeld \item $\vec{\nabla}f\left(r\right)=\frac{\partial f\left(r\right)}{\partial r}\frac{\vec{r}}{r}$ \item $\vec{\nabla}\vec{r}=3$ (bei 3-dim Raum)\\ entsprich der Anzahl der \emph{Freiheitsgerade}\index{Freiheitsgerad} von $\vec{r}$ \end{itemize} \paragraph{Richtungsableitung} Die \emph{Richtungsableitung\index{Richtungsableitung}} gibt die Steigung an, die man im Punkt $\vec{r}$ enthält, wenn man ich Richtung des Einheitsvektors $\vec{e}$ laufen würde.\[ \frac{d\phi}{d\vec{e}}=\left(\vec{\nabla}\phi\right)\vec{e}\] \paragraph{Laplace - Operator} Der \emph{Laplaceoperator\index{Laplaceoperator}} ist ein skalaerer Differentialoperator (er ordnet einem Vektor einen Vektor, und einem Skalar einen Skalar zu). Er ist wie folgt definiert:\[ \triangle=\vec{\nabla}\vec{\nabla}=\sum_{i}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}\] \begin{itemize} \item $\triangle$ ist invariant (verändet sich nicht) unter Koordinatenspigelung (= Paritätsinvariant\index{Paritätsinvariant}) \item $\triangle\vec{A}=\vec{\nabla}*\left(\vec{\nabla}*\vec{A}\right)-\vec{\nabla}\times\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)$ \item $\triangle f\left(r\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}\left(r\cdot f\left(r\right)\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Differentiation von Vektorfeldern} \paragraph{Divergenz\index{Divergenz}} Die \emph{Divergenz} eines Vektorfeldes $\vec{v}\left(\vec{r}\right)=\left(v_{x}\left(\vec{r}\right),v_{y}\left(\vec{r}\right),v_{z}\left(\vec{r}\right)\right)$ ist wie folgt definiert ($*$= Skalarprodukt):\[ \textrm{div}\left(\vec{v}\right)=\vec{\nabla}*\vec{v}\left(\vec{r}\right)=\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}}\] \begin{itemize} \item Auf Reihenfolge der Schreibweise achten. \item Felder mit $\textrm{div}\left(\vec{v}\right)=0$ nennen sich: \begin{itemize} \item Divergenzfrei\index{Divergenzfrei} \item Quellenfrei\index{Quellenfrei} \item Konvervative Kraftfelder\index{konservative Kraftfelder} (mit Energieerhaltung / Unabhängigkeit des Weges) \end{itemize} \end{itemize} \paragraph{Rotation\index{Rotation}} Die \emph{Rotation} eines Vektorfeldes $\vec{v}\left(\vec{r}\right)=\left(v_{x}\left(\vec{r}\right),v_{y}\left(\vec{r}\right),v_{z}\left(\vec{r}\right)\right)$ ist wie folgt definiert:\begin{eqnarray*} \textrm{rot}\left(\vec{v}\right) & = & \vec{\nabla}\times\vec{v}\left(\vec{r}\right)\\ & = & \varepsilon_{ijk}\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}}\vec{e}_{k}\\ & = & \left(\begin{array}{c} \frac{\partial v_{z}}{\partial y}-\frac{\partial v_{y}}{\partial z}\\ \frac{\partial v_{x}}{\partial z}-\frac{\partial v_{z}}{\partial x}\\ \frac{\partial v_{y}}{\partial x}-\frac{\partial v_{x}}{\partial y}\end{array}\right)\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Auf Reihenfolge der Schreibweise achten. \item Felder mit $\textrm{rot}\left(\vec{v}\right)=0$ nennen sich: \begin{itemize} \item Rotationsfrei\index{Rotationsfrei} \item Wirbelfrei\index{Wirbelfrei} \item konservative Felder\index{konservative Felder} \end{itemize} \end{itemize} \paragraph{Rechenregeln} \[ \textrm{div}\left(\textrm{grad}\left(\phi\right)\right)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\phi\right)=\triangle\phi=\left(\vec{\nabla}\vec{\nabla}\right)\phi\] \[ \textrm{rot}\left(\textrm{grad}\left(\phi\right)\right)=\vec{\nabla}\times\left(\vec{\nabla}\phi\right)=\vec{0}\] \[ \textrm{div}\left(\textrm{rot}\left(\vec{A}\right)\right)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\vec{A}\right)=0\] \[ \textrm{rot}\left(\textrm{rot}\left(\vec{A}\right)\right)=\vec{\nabla}\times\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\vec{A}\right)-\triangle\vec{A}\] \[ \vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\phi=\vec{0}\] \[ \vec{\nabla}*\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)=0\] \[ \vec{\nabla}\times\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)=\vec{\nabla}*\left(\vec{\nabla}*\vec{A}\right)-\triangle\vec{A}\] \[ \vec{\nabla}\left(\phi\psi\right)=\psi\vec{\nabla}\phi+\phi\vec{\nabla}\psi\] \[ \vec{\nabla}\left(\phi\vec{\nabla}\psi\right)=\left(\vec{\nabla}\phi\right)\left(\vec{\nabla}\psi\right)+\phi\triangle\psi\] \[ \vec{\nabla}\times\left(\phi\vec{A}\right)=\left(\vec{\nabla}\phi\right)\times\vec{A}+\phi\vec{\nabla}\times\vec{A}\] \[ \vec{\nabla}\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)=\vec{B}\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)-\vec{A}\left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)\] \begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\times\left(\vec{A}\times\vec{B}\right) & = & \vec{A}\left(\vec{\nabla}\vec{B}\right)-\left(\vec{A}\vec{\nabla}\right)\vec{B}+\\ & & \vec{B}\left(\vec{\nabla}\vec{A}\right)-\left(\vec{B}\vec{\nabla}\right)\vec{A}\end{eqnarray*} \subsection{Krummlinige\index{Krummlinige Koordinatensysteme} Koordinatensysteme\index{Koordinatensysteme}} \subsubsection{Allgemeine Koordinatensysteme} Jeder Punkt im $\mathbb{R}^{3}$ ist durch Angabe von $3$ Zahlen $u_{1},u_{2},u_{3}$ festgelegt. Insbesondere durch die \emph{karthesischen Koordinaten}\index{kartesische Koordinaten} $x,y,z$. Es gibt also eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung.\[ \left(x,y,z\right)\leftrightarrow\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\] \begin{eqnarray*} u_{1} & = & u_{1}\left(x,y,z\right)\\ u_{2} & = & u_{2}\left(x,y,z\right)\\ u_{3} & = & u_{3}\left(x,y,z\right)\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x & = & x\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\ y & = & y\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\ z & = & z\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\end{eqnarray*} \paragraph{Ortsvektor} Der Ortsvektor hat nun folgende Gestalt:\begin{eqnarray*} \vec{r}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right) & = & x\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{x}+\\ & & y\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{y}+\\ & & z\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{z}\end{eqnarray*} \paragraph{Koordinatenlinien} Unter \emph{Koordinatenlinien}\index{Koordinatenlinien} versteht man Linien, durch den Raum, bei denen jeweis alle Variablen bis auf $u_{i}$ bestgehalten werden. Bei \emph{krummlinigen Koordinaten} ist mindestens eine solche Linie keine Gerade. Diese schneiden sich im Punkt $P\left(c_{1},c_{2},c_{3}\right)$:\begin{eqnarray*} L_{1} & \rightarrow & \vec{r}\left(u_{1},u_{2}=c_{2},u_{3}=c_{3}\right)\\ L_{2} & \rightarrow & \vec{r}\left(u_{1}=c_{1},u_{2},u_{3}=c_{3}\right)\\ L_{3} & \rightarrow & \vec{r}\left(u_{1}=c_{1},u_{2}=c_{2},u_{3}\right)\end{eqnarray*} \paragraph{Koordinatenflächen} Genauso lassen sich \emph{Koordinatenflächene\index{Koordinatenflächene}} definieren. Auch diese schneiden sich im Punkt $P\left(c_{1},c_{2},c_{3}\right)$: \begin{eqnarray*} F_{1} & \rightarrow & \vec{r}\left(u_{1}=c_{1},u_{2},u_{3}\right)\\ F_{2} & \rightarrow & \vec{r}\left(u_{1},u_{2}=c_{2},u_{3}\right)\\ F_{3} & \rightarrow & \vec{r}\left(u_{1},u_{2},u_{3}=c_{3}\right)\end{eqnarray*} \subsubsection{Festlegung der Einheitsvektoren} Für das neue Koordinatensystem lassen sich Einheitsvektoren errechen. Diese sind aber im Allgemeinen nicht im Raum konstant, sondern verändern sich je nach Lage im Raum. Sie werden daher als \emph{mitgeführtes Dreibein\index{mitgeführtes Dreibein}} bezeichnen. Sie lassen sich wie folgt berechnen:\begin{eqnarray*} \vec{e}_{u_{i}} & = & \frac{\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}}{\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}\right|}=h_{i}^{-1}\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}\\ h_{i} & = & \sqrt{\sum_{i}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial u_{i}}\right)^{2}}\end{eqnarray*} $h_{i}$ wird als \emph{\label{Massfaktor}Maßfaktor\index{Maßfaktor}} bezeichnet. \begin{itemize} \item Dieses Konstruktionsverfahren liefert immer eine Orthonormalbasis\index{Orthonormalbasis} (Alle Vektoren haben die Länge $1$ und sie stehen paarweise aufeinander senkrecht) \item Es gilt generell: $\dot{\vec{e}}_{i}\perp\vec{e}_{i}$ \end{itemize} \subsubsection{Zylinderkoordinaten\index{Zylinderkoordinaten}} Hier werden die Punkte im Raum über die $3$ Variablen $\varrho,\varphi,z$. $\varphi$ ist dabei der Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und der Projektion von $\vec{r}$ auf die $x,y$ Ebene und $\varrho$ die Länge vom dieses Projezierten Vektors. $z$ ist identisch mit dem $z$ aus den Karthesischen Koordinaten. $L_{1},L_{3}$ sind Geraden und $L_{2}$ ist ein Kreis. $F_{1}$ ist ein Kreiszylinder und $F_{2},F_{3}$ sind Ebenen. Diese Variablen sind in Ihrem \emph{Wertebereich\index{Wertebereich}} auf $\varrho\geq0$, $0\le\varphi<2\pi$ und $-\infty\leq z\le\infty$ beschränkt. Der Ursprung ($\vec{0}$) ist in diesen Koordinaten nicht eindeutig bestimmt. \paragraph{Umrechnungsvorschriften} \begin{eqnarray*} x & = & \varrho\cos\varphi\\ y & = & \varrho\sin\varphi\\ z & = & z\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \varrho & = & \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \varphi & = & \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\\ z & = & z\end{eqnarray*} \paragraph{Einheitsvektoren} \begin{eqnarray*} \vec{e}_{\varrho} & = & \cos\varphi\vec{e}_{x}+\sin\varphi\vec{e}_{y}\\ \vec{e}_{\varphi} & = & -\sin\varphi\vec{e}_{x}+\cos\varphi\vec{e}_{y}\\ \vec{e}_{z} & = & \vec{e}_{z}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \vec{e}_{x} & = & \cos\varphi\vec{e}_{\varrho}-\sin\varphi\vec{e}_{\varphi}\\ \vec{e}_{y} & = & \sin\varphi\vec{e}_{\varrho}+\cos\varphi\vec{e}_{\varphi}\\ \vec{e}_{z} & = & \vec{e}_{z}\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item bilden Orthonormalbasis \end{itemize} \paragraph{Ortsvektor} \[ \vec{r}=\varrho\vec{e}_{\varrho}+z\vec{e}_{z}\] \paragraph{Maßfaktor} \begin{eqnarray*} h_{\varrho} & = & 1\\ h_{\varphi} & = & \varrho\\ h_{z} & = & 1\end{eqnarray*} \paragraph{Ableitungen der Einheistvektoren} \begin{eqnarray*} \dot{\vec{e}}_{\varrho} & = & \dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}\\ \dot{\vec{e}}_{\varphi} & = & -\dot{\varphi}\vec{e}_{\varrho}\\ \dot{\vec{e}}_{z} & = & 0\end{eqnarray*} \paragraph{Differentiation} \begin{eqnarray*} ds_{\varrho} & = & d\varrho\\ ds_{\varphi} & = & \varrho d_{\varphi}\\ ds_{z} & = & dz\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ds^{2} & = & d\varrho^{2}+\varrho^{2}d_{\varphi}^{2}+dz^{2}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} d\vec{\sigma}_{\varphi z} & = & -d\vec{\sigma}_{z\varphi}=\varrho\, d\varphi\, dz\,\vec{e}_{\varrho}\\ d\vec{\sigma}_{z\varrho} & = & -d\vec{\sigma}_{\varrho z}=dz\, d\varrho\,\vec{e}_{\varphi}\\ d\vec{\sigma}_{\varrho\varphi} & = & -d\vec{\sigma}_{\varphi\varrho}=\varrho\, d\varrho\, d\varphi\,\vec{e}_{z}\end{eqnarray*} \[ dV=\varrho\, d\varrho\, d\varphi\, dz\] \subsubsection{Kugelkoordinaten} Hier werden die Punkte im Raum über die $3$ Variablen $r,\varphi,\theta$. $\varphi$ ist dabei der Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und der Projektion von $\vec{r}$ auf die $x,y$ Ebene. $\theta$ ist der Winkel zwischen $\vec{r}$ und der positiven $z$-Achse. $r$ ist die Länge des Vektros $\vec{r}$. $L_{1}$ ist eine Gerade und $L_{2}.L_{3}$ sind (halb) Kreise. $F_{1}$ ist ein Kugeloberfläche, $F_{2}$ ist eine Halbebenen und $F_{3}$ ein Trichter. Diese Variablen sind in Ihrem \emph{Wertebereich\index{Wertebereich}} auf $0\le\theta\le\pi$, $0\le\varphi<2\pi$ und $0\leq r\le\infty$ beschränkt. Die gesamte $z$-Achse ist in Ihren Koordinaten nicht eindeutig bestimmst. \paragraph{Umrechnungsvorschriften} \begin{eqnarray*} x & = & r\sin\theta\cos\varphi\\ y & = & r\sin\theta\sin\varphi\\ z & = & r\cos\theta\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} r & = & \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\ \theta & = & \arctan\left(\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}\right)\\ \varphi & = & \arctan\left(\frac{y}{z}\right)\end{eqnarray*} \paragraph{Einheitsvektoren} \begin{eqnarray*} \vec{e}_{r} & = & \sin\theta\cos\varphi\vec{e}_{x}+\sin\theta\sin\varphi\vec{e}_{y}+\cos\theta\vec{e}_{z}\\ \vec{e}_{\theta} & = & \cos\theta\cos\varphi\vec{e}_{x}+\cos\theta\sin\varphi\vec{e}_{y}-\sin\theta\vec{e}_{z}\\ \vec{e}_{\varphi} & = & -\sin\varphi\vec{e}_{x}+\cos\varphi\vec{e}_{y}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \vec{e}_{x} & = & \cos\varphi\cos\theta\vec{e}_{r}+\cos\varphi\sin\theta\vec{e}_{\theta}-\sin\varphi\vec{e}_{\varphi}\\ \vec{e}_{y} & = & \sin\varphi\cos\theta\vec{e}_{r}+\sin\varphi\sin\theta\vec{e}_{\theta}+\cos\varphi\vec{e}_{\varphi}\\ \vec{e}_{z} & = & \cos\theta\vec{e}_{r}-\sin\theta\vec{e}_{\theta}\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item bilden Orthonormalbasis \end{itemize} \paragraph{Ortsvektor} \[ \vec{r}=r\vec{e}_{r}\] \paragraph{Maßfaktor} \begin{eqnarray*} h_{r} & = & 1\\ h_{\varphi} & = & r\sin\theta\\ h_{\theta} & = & r\end{eqnarray*} \paragraph{Ableitung der Einheitsvektoren} \begin{eqnarray*} \dot{\vec{e}}_{r} & = & \dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\varphi}\sin\theta\vec{e}_{\varphi}\\ \dot{\vec{e}}_{\theta} & = & -\dot{\theta}\vec{e}_{r}+\dot{\varphi}\cos\theta\vec{e}_{\varphi}\\ \dot{\vec{e}}_{\varphi} & = & -\dot{\varphi}\left(\sin\theta\vec{e}_{r}+\cos\theta\vec{e}_{\theta}\right)\end{eqnarray*} \paragraph{Differentiation} \begin{eqnarray*} ds_{r} & = & dr\\ ds_{\theta} & = & rd_{\theta}\\ ds_{\varphi} & = & r\sin\theta d_{\varphi}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} ds^{2} & = & dr^{2}+r^{2}d_{\theta}^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta d\varphi^{2}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} d\vec{\sigma}_{\varphi\theta} & = & -d\vec{\sigma}_{\theta\varphi}=r^{2}\sin\theta\, d\theta\, d\varphi\,\vec{e}_{r}\\ d\vec{\sigma}_{r\varphi} & = & -d\vec{\sigma}_{\varphi r}=r\,\sin\theta\, dr\, d\varphi\,\vec{e}_{\theta}\\ d\vec{\sigma}_{\theta r} & = & -d\vec{\sigma}_{r\theta}=r\, dr\, d\theta\,\vec{e}_{\varphi}\end{eqnarray*} \[ dV=r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi\] \begin{eqnarray*} \triangle & = & \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\\ & & \frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\\ & & \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\end{eqnarray*} \subsubsection{Parabolische Koordinaten} Diese Koordinaten haben den Vorteil, das die Koordinaten linien für $\xi$ und $\eta$ Parabeln beschreiben, deren Brennpunkt im Ursprung des Systems liegt. Die Koordinatenlinen für $\varphi$ sind Kreise. \paragraph{Umrechnungsvorschriften} \begin{eqnarray*} x & = & \xi\eta\cos\varphi\\ y & = & \xi\eta\sin\varphi\\ z & = & \frac{1}{2}\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right)\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \rho & = & \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \xi & = & \sqrt{r+z}\\ \eta & = & \sqrt{r-z}\\ \varphi & = & \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\end{eqnarray*} \paragraph{Einheitsvektoren} \begin{eqnarray*} \vec{e}_{\xi} & = & \frac{1}{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}\left(\eta\cos\varphi\vec{e}_{x}+\eta\sin\varphi\vec{e}_{y}+\xi\vec{e}_{z}\right)\\ \vec{e}_{\eta} & = & \frac{1}{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}\left(\xi\cos\varphi\vec{e}_{x}+\xi\sin\varphi\vec{e}_{y}-\eta\vec{e}_{z}\right)\\ \vec{e}_{\varphi} & = & -\sin\varphi\vec{e}_{x}+\cos\varphi\vec{e}_{y}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \vec{k} & = & \frac{1}{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}\left(\eta\vec{e}_{\xi}+\xi\vec{e}_{\eta}\right)\\ \vec{e}_{x} & = & \cos\varphi\vec{k}-\sin\varphi\vec{e}_{\varphi}\\ \vec{e}_{y} & = & \sin\varphi\vec{k}+\cos\varphi\vec{e}_{\varphi}\\ \vec{e}_{z} & = & \frac{1}{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}\left(\xi\vec{e}_{\xi}-\eta\vec{e}_{\eta}\right)\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item bilden Orthonormalbasis \end{itemize} \paragraph{Ortsvektor} \begin{eqnarray*} \vec{r} & = & \frac{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}{2}\left(\xi\vec{e}_{\xi}+\eta\vec{e}_{\eta}\right)\end{eqnarray*} \paragraph{Maßfaktor} \begin{eqnarray*} h_{\xi} & = & \sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}\\ h_{\eta} & = & \sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}\\ h_{\varphi} & = & \xi\eta\end{eqnarray*} \subsection{Differentiation in krummlinigen Koordinatensystemen} Im Folgende werden prinzipiell 3-dimensionale Koordinatensysteme der Form:\begin{eqnarray*} \vec{r}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right) & = & x\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{x}+\\ & & y\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{y}+\\ & & z\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{z}\end{eqnarray*} betrachtet. \subsubsection{totales Differential} \begin{eqnarray*} d\vec{r} & = & \frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{1}}du_{1}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{2}}du_{2}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{3}}du_{3}\\ & = & \sum_{i=1}^{3}h_{i}\vec{e}_{u_{i}}du_{i}\\ & = & \sum_{i=1}^{3}ds_{i}\vec{e}_{u_{i}}\end{eqnarray*} Dabei haben die einzelnen partiellen Ableitungen die Form:\[ \frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}=\frac{\partial x}{\partial u_{i}}\vec{e}_{x}+\frac{\partial y}{\partial u_{i}}\vec{e}_{y}+\frac{\partial z}{\partial u_{i}}\vec{e}_{z}=h_{i}\left(\vec{r}\right)\vec{e}_{u_{i}}\] \paragraph{Maßfaktor} Dies lässt sich vereinfachen durch die Einbeziehung des Maßfaktors $h_{i}$. Dieser fällt für gewöhnlich bei der Herleitung (siehe \vref{Massfaktor}) der Einheitsvektoren ab.\[ h_{i}\left(\vec{r}\right)=\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}\right|\] \paragraph{Infinitesimales Bogenmaß\index{Bogenmaß!Infinitesimales}\index{Infinitesimales Bogenmaß}} \[ ds_{i}=h_{i}\left(\vec{r}\right)du_{i}\] \subsubsection{Raumkurve\index{Raumkurve}} \paragraph{Metrischer Tensor\index{Metrischer Tensor}} \[ g_{ij}=h_{i}h_{j}\vec{e}_{u_{i}}\vec{e}_{u_{j}}\] \begin{itemize} \item Wird vorallem gebraucht, wenn $\vec{e}_{u_{i}}\vec{e}_{u_{j}}\neq\delta_{ij}$ ist, d.h. man sich nicht in einem Orthonormalsystem befindet. \item Im \emph{Orthonormalsystem\index{Orthonormalsystem}} gilt $g_{ij}=\delta_{ij}h_{i}h_{j}$ \item Dies ist eine $3\times3$ Matrix \end{itemize} \paragraph{Bogenelement\index{Bogenelement}} \[ ds^{2}=\sum_{i,j=1}^{3}h_{i}h_{j}\vec{e}_{u_{i}}\vec{e}_{u_{j}}du_{i}du_{j}=\sum_{i,j=1}^{3}g_{ij}du_{j}du_{j}\] \paragraph{Flächenelement\index{Flächenelement}} \[ d\vec{\sigma}_{ij}=d\vec{r}_{i}\times d\vec{r}_{j}=\left(\vec{e}_{u_{i}}\times\vec{e}_{u_{j}}\right)ds_{i}ds_{j}\] \paragraph{Volumentelement\index{Volumentelement}} \begin{eqnarray*} dV & = & d\vec{r}_{1}\left(d\vec{r}_{2}\times d\vec{r}_{3}\right)\\ & = & ds_{1}ds_{2}ds_{3}\vec{e}_{u_{1}}\left(\vec{e}_{u_{2}}\times\vec{e}_{u_{3}}\right)\end{eqnarray*} \paragraph{Orthogonal krummlinige Koordinaten\index{Orthogonal Krummlinige Koordinaten} (OKK\index{OKK})} \begin{itemize} \item Bogenelement $ds^{2}=\sum_{i=1}^{3}ds_{i}^{2}$ \item Flächenelement $d\vec{\sigma_{ij}}=ds_{i}ds_{j}\sum_{k}\varepsilon_{ijk}\vec{e}_{u_{k}}$ \item Volumenelement $dV=ds_{1}ds_{2}ds_{3}$ \end{itemize} \subsubsection{Gradient \& Co. für OKK} Folgende Formeln gelten NUR für OKK's!!! Sei $\phi\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$ ein Skalarfeld, und $\vec{V}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)=\sum_{i=1}^{3}V_{i}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{u_{i}}$ ein Vektorfeld. \paragraph{Gradient\index{Gradient}} \[ \vec{\nabla}\phi=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\phi}{\partial s_{i}}\vec{e_{u_{i}}}=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\phi}{\partial u_{i}}\vec{e_{u_{i}}}\] \paragraph{Rotation\index{Rotation}} \[ \vec{\nabla}\times\vec{V}=\sum_{i,j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\frac{1}{h_{i}h_{j}}\frac{\partial\left(h_{i}V_{j}\right)}{\partial u_{i}}\vec{e}_{k}\] \begin{itemize} \item $\vec{\nabla}\times\left(\frac{\vec{e}_{u_{i}}}{h_{i}}\right)=0$ \item Sei $\vec{V}$ ein Vektorfeld, und $u,v$ belibige krummlinige Koordinaten\\ $\left(\vec{e}_{u}\frac{\partial}{\partial v}\right)\times\vec{V}=\vec{e}_{u}\times\frac{\partial\vec{V}}{\partial v}$ \end{itemize} \paragraph{Divergenz\index{Divergenz}} \[ \vec{\nabla}\vec{V}=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial\left(p_{i}v_{i}\right)}{\partial s_{i}}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\left(p_{i}v_{i}\right)}{\partial u_{i}}\] \begin{itemize} \item $p_{i}=\frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}}$ \item $\vec{\nabla}\times\left(u_{m}\vec{\nabla}u_{n}\right)=\sum_{k}\varepsilon_{mnk}\frac{\vec{e}_{u_{k}}}{h_{m}h_{n}}$ \end{itemize} \paragraph{Laplace Operator\index{Laplace Operator}} \begin{eqnarray*} \triangle\phi & = & \sum_{i=1}^{3}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial}{\partial s_{i}}\left(p_{i}\frac{\partial\phi}{\partial s_{i}}\right)\\ & = & \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial u_{i}}\left(\frac{p_{i}}{h_{i}}\frac{\partial\phi}{\partial u_{i}}\right)\end{eqnarray*} \subsection{Kurven-, Oberflächen- und Raumintegrale} \subsubsection{Vektorielle Kurvenintegrale} \begin{eqnarray*} \int_{C}d\vec{r}\,\phi\left(x,y,z\right) & = & \vec{e}_{x}\int_{C}dx\,\phi\left(x,y,z\right)+\\ & & \vec{e}_{y}\int_{C}dy\,\phi\left(x,y,z\right)+\\ & & \vec{e}_{z}\int_{C}dz\,\phi\left(x,y,z\right)\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} W_{C} & = & \int_{C}d\vec{r}\,\vec{V}\left(\vec{r}\right)\\ & & \int_{C}dx\, V_{x}+\int_{C}dy\, V_{y}+\int_{C}dz\, V_{z}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{C}\left(d\vec{r}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)\right) & = & \vec{e}_{x}\int_{C}\left(dyV_{z}-dzV_{y}\right)+\\ & & \vec{e}_{y}\int_{C}\left(dzV_{x}-dxV_{z}\right)+\\ & & \vec{e}_{z}\int_{C}\left(dxV_{y}-dyV_{x}\right)\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Der Indize $C$ bedeutet, dass entlang der Kurve $C$ Integiert wird. \item Hierbei sind $x,y,z$ durch Funktionen aneinander gebunden, damit die Integrale vollständig definiert sind. Dies wird z.B. mit einer Parameterisierung erreicht. \item Die Integrale sind im Allgemeinen abhängig vom Integrationsweg \item $W_{C}$ ist die \emph{Arbeit\index{Arbeit}} die entlang des Weges $C$ verrichtet werden muss. \begin{itemize} \item Ist \emph{wegunabhängig} für $\vec{V}\left(\vec{r}\right)=-\vec{\nabla}\phi$.\\ $W_{C}=\int_{C}d\vec{r}\,\vec{V}\left(\vec{r}\right)=-\int_{C}d\phi=\phi\left(\vec{r}_{1}\right)-\phi\left(\vec{r}_{2}\right)$ \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Parameterisierung\index{Parameterisierung} der Bahnkurve} Menge aller Punkte zwischen $\alpha_{1}$ und $\alpha_{2}$ gibt die \emph{Bahnkurve\index{Bahnkurve}} $\vec{r}\left(\alpha\right)=\left(x\left(\alpha\right),y\left(\alpha\right),z\left(\alpha\right)\right)$. Hierbei ist $\alpha$ der \emph{Bahnparameter}\index{Bahnparameter} der die Bahnkurve parameterisiert. Spezielle Bahnparameter sind $s$ die \emph{Bogenlänge}\index{Bogenlänge}, und $t$ die Zeit. \[ \int d\vec{r}\,\vec{V}\left(\vec{r}\right)=\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}}d\alpha\left(V_{x}\frac{dx}{d\alpha}+V_{y}\frac{dy}{d\alpha}+V_{z}\frac{dz}{d\alpha}\right)\] \begin{itemize} \item Der Wert des Integrals hängt nich von der Parameterisierung ab, solange sie den \emph{gleichen} Weg beschreiben \end{itemize} \subsubsection{Weglänge\index{Weglänge} einer Bahnkurve} Sei $\vec{r}\left(\alpha\right)$ eine Parameterisierung des zu messenden Weges. Die Weglänge ergibt sich dann für $\alpha_{1}<\alpha_{2}$\[ L=\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}}d\alpha\left|\frac{d\vec{r}}{d\alpha}\right|\] \subsubsection{Flächenintegrale\index{Flächenintegrale}} Hierzu benötigt man eine Funktion $s\left(x,y,z\right)=0$ die eine Fläche beschreibt. Wenn sich diese nach $z=z_{s}\left(x,y\right)$ umstellen lässt $z$, kann man das Flächenintegral über der Funktion $\phi\left(x,y,z\right)$ wie folgt schreiben\begin{eqnarray*} I_{S} & = & \int dy\int dx\,\phi\left(x,y,z_{S}\left(x,y\right)\right)\\ & = & \int_{S}dydx\frac{\vec{n}\vec{V}}{\vec{n}\vec{e}_{z}}\\ & = & \ldots\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Diese Integral Wird auch der \emph{Fluss\index{Fluss}} von $\vec{V}$durch $s$ genannt \item Bei Integration in anderen Koordinatensystemen nach $ds_{u}$ integrieren \item Berechet die {}``Summe'' aller Werte auf einer Fläche \item Der Wert des Integrals hängt ab von der Wahl der Fläche ab \item Das oben aufgeführte ist ein Spezialfall einer allgemeinen Parameterisierung: $\vec{r}=\vec{r}\left(\alpha,\beta\right)$ \item Reduzierung auf Integral über z.B. $x,y$ mit: \begin{enumerate} \item $S\left(x,y,z\right)=k$ Funktion die die Fläche / Ebene beschreibt. \item $S\left(x,y,z\right)=k$ auflösen nach $z\left(x,y\right)$ und $\vec{V}=\left(x,y,z\left(x,y\right)\right)$ \item $\vec{n}=\frac{\vec{\nabla}S}{\left|\vec{\nabla}S\right|}=\ldots$ \item $\vec{n}\vec{V}=\ldots$ \item $\vec{n}\vec{e}_{z}=\ldots$ \item Integral \\ $I_{S}=\left.\int_{S}dydx\frac{\vec{n}\vec{V}}{\vec{n}\vec{e}_{z}}\right|_{z=z\left(x,y\right)}=\ldots$ \\ berechnen \end{enumerate} \end{itemize} \subsubsection{Vektorelle Flächenintegrale\index{Flächenintegrale!vektorielle}\index{Flächenintegrale}} Hierzu benötigt man eine Konvention, die der orientierten Flächen: Der Vektor $d\vec{\sigma}=d\sigma\vec{n}$ steht senkrecht auf der Oberfläche und zeigt immer nach Außen. Je nachem ob wo mam sich auf der Koordinatenachse befindet gilt: \begin{eqnarray*} d\sigma_{x} & = & \pm dy\, dz\\ d\sigma_{y} & = & \pm dx\, dz\\ d\sigma_{z} & = & \pm dx\, dy\end{eqnarray*} Sei $\varphi\left(\vec{r}\right)$ ein Skalar- und $\vec{V}\left(\vec{r}\right)=\vec{e}_{x}V_{x}+\vec{e}_{y}V_{y}+\vec{e}_{z}V_{z}$ ein Vektorfeld. Es lassen sich nun folgende Integrale definieren:\begin{eqnarray*} \int_{S}d\vec{\sigma}\phi\left(\vec{r}\right) & = & \vec{e}_{x}\int d\sigma_{x}\phi+\vec{e}_{y}\int d\sigma_{y}\phi\\ & & +\vec{e}_{z}\int d\sigma_{z}\phi\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{S}d\vec{\sigma}\vec{V}\left(\vec{r}\right) & = & \int_{S}d\sigma_{x}V_{x}+\int_{S}d\sigma_{y}V_{y}\\ & & +\int_{S}d\sigma_{z}V_{z}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{S}\left(d\vec{\sigma}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)\right) & = & \vec{e}_{k}\int_{S}\left(\varepsilon_{ijk}d\sigma_{i}V_{j}\right)\vec{e}_{x}\\ & = & \int_{S}\left(d\sigma_{y}V_{z}-d\sigma_{z}V_{y}\right)+\ldots\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Es gilt $d\vec{\sigma}=\left|d\vec{\sigma}\right|\vec{e}_{n}$. Falls eine Komponente von $d\vec{\sigma}$ und auch $\vec{e}_{n}$ bekannt ist lässt sichhieraus der Betrag und damit das geamte $d\vec{\sigma}$ rekonstruieren. Z.B. $d\sigma_{z}=dx\, dy$ und $\vec{e}_{n}=\ldots$. \end{itemize} \subsubsection{Oberflächenberechnung\index{Oberflächenberechnung}} Die Oberläche $F$ einer Funktion $S$ lässt sich mit Hilfe von vektoriellen Flächenintegralen sehr leicht bestimmen. Hierzu muss ein $d\vec{\sigma}_{F}$ gefunden werden, welches auf der gesamten Fläche rechtwiklig steht und dessen länge der größe der Flächenelemente entspricht. Dieses $d\vec{\sigma}_{F}$ lässt sich auf verschiedene Arten gewinnen. Entweder man nutzt ein bereits bekanntes Koordinatensystem, falls die gewünschte Fläche dort einer Koordinatenfläche (bzw. einem Teil davon) entspricht. Oder man definiert sich entsprechend ein neues. Die Fläche ist hiermit nun\[ A_{F}=\int_{S}\left|d\vec{\sigma}_{F}\right|\] \begin{itemize} \item Es lässt sich auch ein neues $d\vec{\sigma}_{F}$ wie folgt definieren. Die Fläche $F$ lasse sich in der Form\[ F:u_{1},u_{2}\mapsto\vec{r}_{F}\left(u_{1},u_{2}\right)=\vec{r}\left(u_{1},u_{2},u_{3}=c_{3}\right)\] mit $c_{3}=$ konstant schreiben. Dann gilt:\[ d\vec{\sigma}_{F}\pm\frac{\partial\vec{r}_{F}}{\partial u_{1}}\times\frac{\partial\vec{r}_{F}}{\partial u_{2}}du_{1}du_{2}\] Wobei das Vorzeichen so gewählt werden muss, das es auf geschlossenen Flächen nach außen zeigt. \end{itemize} \subsubsection{Volumenintegrale\index{Volumenintegrale}} Hierbei wird ein Dreifachintegral über alle drei Raumkoordinaten bestimmt. Die Grenzen können dabei im allgemeinen voneinander abhängen. \begin{eqnarray*} \int_{V}dV\,\varrho & = & \iiint_{V}dxdydz\,\varrho\left(x,y,z\right)\end{eqnarray*} \[ {\scriptstyle \int_{V}dv\,\vec{V}\left(\vec{r}\right)=\vec{e}_{x}\int_{V}dV\, V_{x}+\vec{e}_{y}\int_{V}dV\, V_{y}+\vec{e}_{z}\int_{V}dV\, V_{z}}\] \begin{itemize} \item Die abhängigen Grenzen können z.B. so behandelt werden: \end{itemize} \[ \iiint_{V}\ldots=\int_{x=a}^{b}dx\int_{y=g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}dy\int_{z=f_{1}\left(x,y\right)}^{f_{2}\left(x,y\right)}\ldots\] \begin{itemize} \item Für belibige Koordinatensysteme gilt außer den vorher genannten Beziehungen:\\ \[ dV=\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{1}}\cdot\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{2}}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{3}}\right)\right|du_{1}du_{2}du_{3}\] \end{itemize} \subsubsection{Integralsätze\index{Integralsätze}} \begin{itemize} \item All diese Sätze gelten nur, wenn es auf beiden Seiten möglich ist, divergenten Punkten auszuweichen. Wenn z.B. eine Fläche immer durch einen Punkt läuft, der divergiert egal wie man sie legt, dann gelten all diese Sätze nicht. \item Die Keise um die Integrale bedeuten, dass über geschlossene Flächen / Linien integriert werden muss. \item Bei Kruvenumläufen wird gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt. Es gilt (\emph{Orientierung}\index{Orientierung} der \emph{Zirkulatuion}\index{Zirkulatuion}):\\ $\oint_{C}=-\oint_{-C}$ \end{itemize} \begin{description} \item [Gauß'scher~Satz\index{Gauß'scher Satz}]$\oint_{\partial\mathcal{V}}d\vec{\sigma}\vec{j}=\int_{\mathcal{V}}dV\vec{\nabla}\vec{j}$ \end{description} \begin{itemize} \item Integral der Quelldichte ist gleich dem Fluss durch die Randflächen \end{itemize} \begin{description} \item [Kontinuitätsgleichung\index{Kontinuitätsgleichung}]$\frac{\partial\varrho}{\partial t}+\vec{\nabla}\left(\varrho\vec{V}\right)=0$ \end{description} \begin{itemize} \item $\varrho$ ist die Dichte des Mediums \item $\vec{V}$ ist die Strömungsgeschdingkeit \item Gilt nur für quellenfreie Felder. Bedeutet, dass die Summe aus Abnahme von z.B. Masse in einer Region und der Fluss durch dessen Begrenzung $0$ ergibt. \end{itemize} \begin{description} \item [Green'scher~Integralsatz\index{Green'scher Integralsatz}]$\oint_{\partial\mathcal{V}}d\vec{\sigma}=\int_{\mathcal{V}}dv\vec{\nabla}$ \end{description} \begin{itemize} \item Dies sind Differentialoperatoren. Sie wirken auf die hinter ihnen stehende Gleichung genau gleich \item z.B. $\oint_{\partial\mathcal{V}}d\vec{\sigma}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)=\int_{\mathcal{V}}dv\vec{\nabla}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Green'scher~Satz\index{Green'scher Satz}]$\oint_{\partial\mathcal{V}}d\vec{\sigma}\left(u\vec{\nabla}v-v\vec{\nabla}u\right)=\int_{\mathcal{V}}dV\left(u\triangle v-v\triangle u\right)$ \item [Satz~von~Stokes\index{Satz von Stokes}\index{Stokes!Satz von}]$\oint_{\partial\mathcal{S}}d\vec{r}\vec{V}=\int_{\mathcal{S}}d\vec{\sigma}\left(\vec{\nabla}\times\vec{V}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $\oint_{\partial\mathcal{S}}d\vec{r}\phi\left(\vec{r}\right)=\int_{\mathcal{S}}\left(d\vec{\sigma}\times\vec{\nabla}\right)\phi\left(\vec{r}\right)$ \item $\oint_{\partial\mathcal{S}}d\vec{r}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)=\int_{\mathcal{S}}\left(d\vec{\sigma}\times\vec{\nabla}\right)\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Potentialfeld\index{Potentialfeld}]$\vec{\nabla}\times\vec{F}=0\Leftrightarrow\vec{F}=-\vec{\nabla}\phi$ \end{description} \begin{itemize} \item auch konservatives Feld genannt. \end{itemize} \begin{description} \item [Oberfläche\index{Oberfläche}]$\mathcal{S}$ ist Symbol für geschlossene Fläche \item [Volumen\index{Volumen}]$\mathcal{V}$ ist Symbol für zusammenhängendes Volumen \item [Begrenzung\index{Begrenzung}]$\partial\mathcal{S}$ $\partial\mathcal{V}$ Begrenzungskurve / Fläche einer Oberfläche / Volumen \end{description} \section{Differentialgleichungen\index{Differentialgleichungen}} \subsection{Typen von Differentialgleichungen (DGL\index{DGL})} \begin{description} \item [Ziel]Gleichung für $y\left(x\right)$ finden. Also ist die Lösung keine Zahl oder Vektor, sondern eine Gleichung. \item [gewöhnliche\index{gewöhnliche DGL}~DGL]Funktionen mit einer Variablen \end{description} \begin{itemize} \item \emph{ODE\index{ODE}} im Englischen (Ordonary Differential Equilitation) \end{itemize} \begin{description} \item [partielle\index{partielle DGL}~DGL]Funktionen mehrerer Variablen \end{description} \begin{itemize} \item \emph{PODE}\index{PODE}im Englischen (Partial Ordonary Differential Equilitation) \end{itemize} \paragraph{DGL~$n$-ter~Ordnung\index{DGL n-ter Ordnung}} \paragraph{\[ F\left(x,y,y',\ldots,y^{\left(n\right)}\right)=0\] } \begin{itemize} \item dies ist die implizite Form. Falls es sich explizit auflösen lässt $y=G\left(x,y',\ldots,y^{\left(n\right)}\right)$. \end{itemize} \begin{description} \item [allgemeine~Lösung]bis auf (Integrations-) Konstanten bestimmt \item [spezielle~Lösung]vollständig bestimmt \end{description} \begin{itemize} \item Dafür mussen bei einer Gleichung $n$-ter Ordnung $n$ Randbedingungen festgelegt werden. Dafür bestimme zu einem gewählten $x_{0}$ passend:\\ $y_{0}=y\left(x_{0}\right),y_{0}'=y'\left(x_{0}\right),\ldots,y_{0}^{\left(n-1\right)}=y^{\left(n-1\right)}\left(x_{0}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [Lineare~DGL\index{lineare DGL}~(LDGL)]${\scriptstyle y^{\left(n\right)}\left(x\right)+f_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}\left(x\right)+\ldots+f_{1}\left(x\right)y\left(x\right)=g\left(x\right)}$ \end{description} \begin{itemize} \item es tauchen die Ableitungen von $y^{\left(k\right)}$ und $y$ selber nur in ihrere ersten Potzen auf, und es gibt keine Mischterme wie z.B. $y^{\left(k\right)}\cdot y^{\left(l\right)}$ \begin{description} \item [homogene\index{homogen}~LDGL]$g\left(x\right)=0$ \item [inhomogene\index{inhomogen}~LDGL]$g\left(x\right)\neq0$ \end{description} \end{itemize} \subsection{Lösungsverfahren für LGDL 1. Ordnung} Trennung\index{Trennung der Variablen} der Variablen Lösungsweg für einige einfache Typen von Differentialgleichungen $1.$ Ordnung \begin{itemize} \item schreibe $y'$ in der Form $\frac{dy}{dx}$ \item fasse $x$ und $y$ als {}``unabhängige Variablen'' auf \item $y$ und $dy$ auf eine Seite, $x$ und $dx$ auf die andere \item Integriere auf beiden Seiten \item Löse nach $y$ auf \end{itemize} \subsubsection{Lösen von inhomogenen Gleichungen} Die Lösung einer LDGL 1. Ordnung setzt sich zusammen aus einer allg. Lösung der homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. \begin{enumerate} \item Allg. Lösung der homogenen LDGL\\ $y'+f\left(x\right)y=0$\\ $y_{H}\left(x\right)=y_{0}e^{-\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}f\left(\tilde{x}\right)}$ \item Ansatz\\ $y_{I}\left(x\right)=\alpha\left(x\right)e^{-\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}f\left(\tilde{x}\right)}$\\ Randbedingung $\alpha\left(x_{0}\right)=y_{0}$\\ $A=\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}f\left(\tilde{x}\right)$\\ $y_{I}=\alpha\left(x\right)e^{-A\left(x\right)}$ \item Bestimmung von $\alpha\left(x\right)$\\ $y_{I}'\left(x\right)=\alpha'\left(x\right)e^{-A\left(x\right)}-\alpha\left(x\right)f\left(x\right)e^{-A\left(x\right)}$\\ $\alpha'\left(x\right)=g\left(x\right)e^{A\left(x\right)}$\\ $\alpha\left(x\right)=\alpha\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}g\left(\tilde{x}\right)e^{A\left(x\right)}$\\ $y\left(x\right)=y_{0}e^{-A\left(x\right)}+\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}g\left(\tilde{x}\right)e^{A\left(\tilde{x}\right)-A\left(x\right)}$ \end{enumerate} \subsubsection{Vereinfachen durch Substitution} Durch geschicktes wählen von $u=f\left(y\right)$ lassen sich inhomogene Differentialgleichungen oder komplizierte homogene DGL manchmal auf eine einfache Form zurückführen. \subsection{Lösungsverfahren für LDGL 2. Ordnung} \subsubsection{Eigenschaften der Lösungen} Wir betrachten die Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung $n$-ter Ordung der Form:\[ y^{\left(n\right)}+c_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\ldots+c_{1}\left(x\right)y'+c_{0}\left(x\right)y=0\] \begin{itemize} \item Ist $y\left(x\right)$ Lösung, dann auch $\lambda\cdot y\left(x\right)$ \item Sind $y_{1}\left(x\right)$ und $y_{2}\left(x\right)$ Lösungen, dann auch $y\left(x\right)=\lambda_{1}y_{1}\left(x\right)+\lambda_{2}y_{2}\left(x\right)$ \item Wenn $u\left(x\right)$ und $v\left(x\right)$ Lösungen sind, dann auch $y\left(x\right)=u\left(x\right)+iv\left(x\right)$ \item Die Menge der Lösungen bilden einen Untervektorraum der Komplexwertigen Funktionen \item Die Lösungsraum einer LDGL $n$-ter Ordnung ist $n$-Dimensional \end{itemize} \subsubsection{Unabhängigkeit der Lösung} $n$ Lösungen $y_{1},\ldots,y_{n}$ einer LDGL $n$-ter Ordnung bilden genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Dazu muss ihre \emph{Wronski-Determinante\index{Wronski-Determinante}} von $0$ verschieden sein\[ W\left(x\right)=\left|\begin{array}{cccc} y_{1} & y_{2} & \ldots & y_{n}\\ y_{1}' & y_{2}' & & y_{n}'\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ y_{1}^{\left(n-1\right)} & y_{2}^{\left(n-1\right)} & \ldots & y_{n}^{\left(n-1\right)}\end{array}\right|\neq0\] \begin{itemize} \item bei $y''+py'+qy=0$ gilt \\ $W'+pW=0$\\ $W\left(x\right)=W\left(x_{0}\right)e^{-\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}p\left(\tilde{x}\right)}$ \end{itemize} \subsubsection{Lösungsansatz} Der Allgemeine Lösungsansatz lautet\[ y=Ce^{\lambda x}\] was bei \[ y^{\left(n\right)}+c_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\ldots+c_{1}\left(x\right)y'+c_{0}\left(x\right)y=0\] zu dem \emph{Charakteristischen Polynom}\index{Charakteristischen Polynom}\[ \lambda^{n}+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+c_{0}=0\] fürt, was gelöst werden muss. Das heißt in folgende Form gebracht:\[ a\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right)\ldots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)=0\] \subsubsection{Lösen mit Hilfe von differential Operatoren} \[ \mathcal{D}=\frac{d}{dx}\quad\mathcal{D}y=\frac{dy}{dx}\] Hiermit lässt sich eine LDGN $n$-ter Ordnung auch wie folgt notieren:\[ \left(\mathcal{D}^{n}+c_{n-1}D^{n-1}+\ldots+c_{0}\right)y=0\] Auch diese Polynom lässt sich Faktorisieren\[ \left(\mathcal{D}-\alpha_{1}\right)\left(\mathcal{D}-\alpha_{2}\right)\ldots\left(\mathcal{D}-\alpha_{n}\right)y=0\] Die $n$ Lösungen sind dann damit: $\left(i\in\left\{ 1,\ldots,n\right\} \right)$ (falls $\alpha_{i}\neq\alpha_{j}$ für $i\neq j$)\[ y_{i}=e^{\alpha_{i}x}\] \subsubsection{Bestimmung der Zweiten Lösung aus der Wronskideterminante und der ersten Lösung} \[ w\left(x\right)=\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}\frac{W\left(\tilde{x}\right)}{y_{1}^{2}\left(\tilde{x}\right)}=W\left(x_{0}\right)\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}\frac{e^{-\int_{x_{0}}^{\tilde{x}}d\tilde{\tilde{x}}p\left(\tilde{\tilde{x}}\right)}}{y_{1}^{2}\left(\tilde{x}\right)}\] \[ y_{2}=y_{1}\left(x\right)w\left(x\right)+cy_{1}\left(x\right)\] \subsubsection{Lösen einer inhomogenen DGL 2. Ordnung} Die Lösung der inhomogenen Gleichung\[ y''+p\left(x\right)y'+q\left(x\right)y=g\left(x\right)\] besteht aus der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung (also mit $g\left(x\right)=0$) plus einer speziellen Lösung.\[ y\left(x\right)=c_{1}y_{1}\left(x\right)+c_{2}y_{2}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)\] Dieses $y_{p}\left(x\right)$ kann in folgender Form dargestellt werden:\[ y_{p}\left(x\right)=v_{1}\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+v_{2}\left(x\right)y_{2}\left(x\right)\] $v_{1}$ und $v_{2}$ müssen folgenden Gleichungen (Bestimmungsgleichungen) gehorchen:\[ v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}=0\] \[ v_{1}'y_{1}'+v_{2}'y_{2}'=g\left(x\right)\] Daraus ergibt sich \begin{eqnarray*} v_{1}\left(x\right) & = & -\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}\frac{y_{2}\left(\tilde{x}\right)g\left(\tilde{x}\right)}{W\left(\tilde{x}\right)}\\ v_{2}\left(x\right) & = & \int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}\frac{y_{1}\left(\tilde{x}\right)g\left(\tilde{x}\right)}{W\left(\tilde{x}\right)}\end{eqnarray*} mit den Randbedingungen $v_{1}\left(x_{0}\right)=v_{2}\left(x_{0}\right)=0$. \subsection{Lösungen} \subsubsection{Allgemeine Lösungen einfacher Gleichungen} \begin{itemize} \item $y'+ay=0$\\ $y\left(x\right)=Ce^{-ax}$ bzw. $y\left(x\right)=y_{0}e^{-a\left(x-x_{0}\right)}$ \item $y'+f\left(x\right)y=0$\\ $y\left(x\right)=y_{0}e^{-\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}f\left(\tilde{x}\right)}$ \item $y'+ay=b$\\ $y\left(x\right)=\left(y_{0}-\frac{b}{a}\right)e^{-ax}+\frac{b}{a}$ bzw. wenn $y\left(x_{0}\right)=y_{0}=0$ dann $y\left(x\right)=\frac{b}{a}\left(1-e^{-ax}\right)$ \item $y'+f\left(x\right)y=g\left(x\right)$\\ $A=\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}f\left(\tilde{x}\right)$\\ $y\left(x\right)=y_{0}e^{-A\left(x\right)}+\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}g\left(\tilde{x}\right)e^{A\left(\tilde{x}\right)-A\left(x\right)}$ \item $y''+ay'+by=0$\\ $\lambda_{1/2}=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}$ \begin{itemize} \item $\frac{a^{2}}{4}>b$ (Kriechfall)\\ $y\left(x\right)=C_{1}e^{\lambda_{1}}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}$ \item $\frac{a^{2}}{4}=b$ (aperiodische Grenzfall)\\ $y\left(x\right)=\left(C_{1}+C_{2}x\right)e^{\lambda}$ \item $\frac{a^{2}}{4}