Typen von Differentialgleichungen (DGL)

Ziel

Gleichung für $y\left(x\right)$ finden. Also ist die Lösung keine Zahl oder Vektor, sondern eine Gleichung.

gewöhnliche DGL

Funktionen mit einer Variablen

• ODE im Englischen (Ordonary Differential Equilitation)

partielle DGL

Funktionen mehrerer Variablen

• PODEim Englischen (Partial Ordonary Differential Equilitation)

DGL $n$-ter Ordnung

$$F\left(x,y,y',\ldots,y^{\left(n\right)}\right)=0$$

• dies ist die implizite Form. Falls es sich explizit auflösen lässt $y=G\left(x,y',\ldots,y^{\left(n\right)}\right)$.

allgemeine Lösung

bis auf (Integrations-) Konstanten bestimmt

spezielle Lösung

vollständig bestimmt

• Dafür mussen bei einer Gleichung $n$-ter Ordnung $n$ Randbedingungen festgelegt werden. Dafür bestimme zu einem gewählten $x_{0}$ passend:
  $y_{0}=y\left(x_{0}\right),y_{0}'=y'\left(x_{0}\right),\ldots,y_{0}^{\left(n-1\right)}=y^{\left(n-1\right)}\left(x_{0}\right)$

Lineare DGL (LDGL)

${\scriptstyle y^{\left(n\right)}\left(x\right)+f_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n... ...ight)}\left(x\right)+\ldots+f_{1}\left(x\right)y\left(x\right)=g\left(x\right)}$

• es tauchen die Ableitungen von $y^{\left(k\right)}$ und $y$ selber nur in ihrere ersten Potzen auf, und es gibt keine Mischterme wie z.B. $y^{\left(k\right)}\cdot y^{\left(l\right)}$

  homogene LDGL

  $g\left(x\right)=0$

  inhomogene LDGL

  $g\left(x\right)\neq0$