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Wir betrachten die Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung
-ter Ordung der Form:
- Ist
Lösung, dann auch
- Sind
und
Lösungen, dann
auch
- Wenn
und
Lösungen sind, dann
auch
- Die Menge der Lösungen bilden einen Untervektorraum der Komplexwertigen
Funktionen
- Die Lösungsraum einer LDGL -ter Ordnung ist -Dimensional
Lösungen
einer LDGL -ter Ordnung bilden
genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Dazu muss
ihre Wronski-Determinante von
0 verschieden sein
Der Allgemeine Lösungsansatz lautet
was bei
zu dem Charakteristischen Polynom
fürt, was gelöst werden muss. Das heißt in folgende Form gebracht:
Hiermit lässt sich eine LDGN -ter Ordnung auch wie folgt notieren:
Auch diese Polynom lässt sich Faktorisieren
Die Lösungen sind dann damit:
(falls
für )
Die Lösung der inhomogenen Gleichung
besteht aus der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung (also
mit
) plus einer speziellen Lösung.
Dieses
kann in folgender Form dargestellt werden:
und müssen folgenden Gleichungen (Bestimmungsgleichungen)
gehorchen:
Daraus ergibt sich
mit den Randbedingungen
.
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Marco Möller 20:36:18 26.01.2006