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Lösungsverfahren für LDGL 2. Ordnung

Eigenschaften der Lösungen

Wir betrachten die Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung $ n$-ter Ordung der Form:

$\displaystyle y^{\left(n\right)}+c_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\ldots+c_{1}\left(x\right)y'+c_{0}\left(x\right)y=0$

Unabhängigkeit der Lösung

$ n$ Lösungen $ y_{1},\ldots,y_{n}$ einer LDGL $ n$-ter Ordnung bilden genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Dazu muss ihre Wronski-Determinante von 0 verschieden sein

$\displaystyle W\left(x\right)=\left\vert\begin{array}{cccc}
y_{1} & y_{2} & \ld...
...left(n-1\right)} & \ldots & y_{n}^{\left(n-1\right)}\end{array}\right\vert\neq0$

Lösungsansatz

Der Allgemeine Lösungsansatz lautet

$\displaystyle y=Ce^{\lambda x}$

was bei

$\displaystyle y^{\left(n\right)}+c_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\ldots+c_{1}\left(x\right)y'+c_{0}\left(x\right)y=0$

zu dem Charakteristischen Polynom

$\displaystyle \lambda^{n}+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+c_{0}=0$

fürt, was gelöst werden muss. Das heißt in folgende Form gebracht:

$\displaystyle a\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right)\ldots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)=0$

Lösen mit Hilfe von differential Operatoren

$\displaystyle \mathcal{D}=\frac{d}{dx}\quad\mathcal{D}y=\frac{dy}{dx}$

Hiermit lässt sich eine LDGN $ n$-ter Ordnung auch wie folgt notieren:

$\displaystyle \left(\mathcal{D}^{n}+c_{n-1}D^{n-1}+\ldots+c_{0}\right)y=0$

Auch diese Polynom lässt sich Faktorisieren

$\displaystyle \left(\mathcal{D}-\alpha_{1}\right)\left(\mathcal{D}-\alpha_{2}\right)\ldots\left(\mathcal{D}-\alpha_{n}\right)y=0$

Die $ n$ Lösungen sind dann damit: $ \left(i\in\left\{ 1,\ldots,n\right\} \right)$ (falls $ \alpha_{i}\neq\alpha_{j}$ für $ i\neq j$)

$\displaystyle y_{i}=e^{\alpha_{i}x}$

Bestimmung der Zweiten Lösung aus der Wronskideterminante und der ersten Lösung

$\displaystyle w\left(x\right)=\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}\frac{W\left(\tilde{x}\...
...de{\tilde{x}}p\left(\tilde{\tilde{x}}\right)}}{y_{1}^{2}\left(\tilde{x}\right)}$

$\displaystyle y_{2}=y_{1}\left(x\right)w\left(x\right)+cy_{1}\left(x\right)$

Lösen einer inhomogenen DGL 2. Ordnung

Die Lösung der inhomogenen Gleichung

$\displaystyle y''+p\left(x\right)y'+q\left(x\right)y=g\left(x\right)$

besteht aus der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung (also mit $ g\left(x\right)=0$) plus einer speziellen Lösung.

$\displaystyle y\left(x\right)=c_{1}y_{1}\left(x\right)+c_{2}y_{2}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)$

Dieses $ y_{p}\left(x\right)$ kann in folgender Form dargestellt werden:

$\displaystyle y_{p}\left(x\right)=v_{1}\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+v_{2}\left(x\right)y_{2}\left(x\right)$

$ v_{1}$ und $ v_{2}$ müssen folgenden Gleichungen (Bestimmungsgleichungen) gehorchen:

$\displaystyle v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}=0$

$\displaystyle v_{1}'y_{1}'+v_{2}'y_{2}'=g\left(x\right)$

Daraus ergibt sich

$\displaystyle v_{1}\left(x\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}\frac{y_{2}\left(\tilde{x}\right)g\left(\tilde{x}\right)}{W\left(\tilde{x}\right)}$  
$\displaystyle v_{2}\left(x\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}\frac{y_{1}\left(\tilde{x}\right)g\left(\tilde{x}\right)}{W\left(\tilde{x}\right)}$  

mit den Randbedingungen $ v_{1}\left(x_{0}\right)=v_{2}\left(x_{0}\right)=0$.


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Marco Möller 20:36:18 26.01.2006