Lösungen

Allgemeine Lösungen einfacher Gleichungen

• $y'+ay=0$
  $y\left(x\right)=Ce^{-ax}$ bzw. $y\left(x\right)=y_{0}e^{-a\left(x-x_{0}\right)}$
• $y'+f\left(x\right)y=0$
  $y\left(x\right)=y_{0}e^{-\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}f\left(\tilde{x}\right)}$
• $y'+ay=b$
  $y\left(x\right)=\left(y_{0}-\frac{b}{a}\right)e^{-ax}+\frac{b}{a}$ bzw. wenn $y\left(x_{0}\right)=y_{0}=0$ dann $y\left(x\right)=\frac{b}{a}\left(1-e^{-ax}\right)$
• $y'+f\left(x\right)y=g\left(x\right)$
  $A=\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}f\left(\tilde{x}\right)$
  $y\left(x\right)=y_{0}e^{-A\left(x\right)}+\int_{x_{0}}^{x}d\tilde{x}g\left(\tilde{x}\right)e^{A\left(\tilde{x}\right)-A\left(x\right)}$
• $y''+ay'+by=0$
  $\lambda_{1/2}=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}$
  • $\frac{a^{2}}{4}>b$ (Kriechfall)
    $y\left(x\right)=C_{1}e^{\lambda_{1}}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}$
  • $\frac{a^{2}}{4}=b$ (aperiodische Grenzfall)
    $y\left(x\right)=\left(C_{1}+C_{2}x\right)e^{\lambda}$
  • $\frac{a^{2}}{4}<b$ (Schwingfall)
    $\lambda_{1/2}=\alpha\pm i\beta$
    $y\left(x\right)=\left(C_{1}\cos\left(\beta x\right)+C_{2}\sin\left(x\right)\right)e^{\alpha x}$
    • $y\left(x\right)=A\sin\left(\beta x+\phi\right)e^{\alpha x}$
      $A=\sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}$
      $\phi=\arctan\left(\frac{C_{1}}{C_{2}}\right)$
• $y''+ay'+by=g\left(x\right)$
  Eine der folgenden $y_{p}$ auswählen und zusammen mit der Lösung des entsprechenden homogenen Systems ($y_{h}$ - siehe oben) einsetzen und Konstanten bestimmen:
  $y\left(x\right)=y_{h}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)$
  
  • $g\left(x\right)$ Polynom in x $\left(P_{n}\left(x\right)\right)$
    $$y_{p}\left(x\right)=\begin{cases} Q_{n}\left(x\right) & b\neq0\\ xQ_{n}\left(x\right) & a\neq0,b=0\\ x^{2}Q_{n}\left(x\right) & a=b=0\end{cases}$$

  • $g\left(x\right)$ Exponentialfunktion $g\left(x\right)=e^{\lambda x}$
    $$y_{p}\left(x\right)=\begin{cases} Ce^{\lambda x} & \lambda\neq\la... ...\lambda_{2}\\ Cx^{2}e^{\lambda x} & \lambda=\lambda_{1}=\lambda_{2}\end{cases}$$

  • $g\left(x\right)=a_{1}\sin\left(\beta x\right)+a_{2}\cos\left(\beta x\right)$
    $$y_{p}\left(x\right)=\begin{cases} c_{1}\sin\left(\beta x\right)+c... ...t(\beta x\right)+c_{2}\cos\left(\beta x\right)\right) & \beta=\omega\end{cases}$$