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Vektoren im Raum

Einen Punkt im Raum kann man definieren durch den zu ihm vom Koordinaten Ursprung zeigenden Vektor $ \vec{r}$. Dieser ist definiert über seine Komponenten $ \vec{r}=\left(\begin{array}{c}
r_{x}\\
r_{y}\\
r_{z}\end{array}\right)$. Er lässt sich allerdings auch zerlegen in seine Länge $ \left\vert\vec{r}\right\vert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}}$ und in seine Richtung $ \vec{e}_{r}=\frac{1}{\left\vert\vec{r}\right\vert}\vec{r}$ (Ein Vektor der Ränge $ 1$ der in die gleiche Richtung zeigt). Er lässt sich auch bezüglich der Einheitsvektoren angeben: $ \vec{r}=r_{i}\vec{e}_{i}=r_{x}\vec{e}_{x}+r_{z}\vec{e}_{z}+r_{z}\vec{e}_{z}$


Skalarmultiplikation

$\displaystyle \vec{a}\vec{b}=a_{i}b_{i}$


Vektorprodukt

Auch Kreuzprodukt genannt.

$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}=a_{i}b_{j}\varepsilon_{ijk}\vec{e}_{...
...-b_{2}a_{3}\\
a_{3}b_{1}-b_{3}a_{1}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{array}\right)$


Spatprodukt


$\displaystyle \left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{a}\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{c}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\vec{a}\right\vert\left\vert\vec{b}\right\vert\left\ver...
...a\left(\vec{b},\vec{c}\right)\cos\beta\left(\vec{a},\vec{b}\times\vec{c}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \varepsilon_{ijk}a_{k}b_{i}c_{j}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}$  
    $\displaystyle -a_{3}b_{2}c_{1}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}$  


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Marco Möller 20:36:18 26.01.2006