Elemente der Vektoranalysis

Differentiation eines Vektors nach einem Skalar

$$\frac{d\vec{a}}{dt}=\frac{da_{i}}{dt}\vec{e}_{i}$$

• wenn nach der Zeit ($t$) Abgeleitet wird, kann man dies auch so abkürzen: $\frac{d\vec{a}}{dt}=\dot{\vec{a}}$
• Produktregel
  $\vec{c}\left(t\right)=a\left(t\right)\vec{b}\left(t\right)$
  $\dot{\vec{c}}\left(t\right)=\dot{a}\vec{b}\left(t\right)+a\left(t\right)\dot{\vec{b}}\left(t\right)$

Vektorielle differentiation eines Skalarfeldes

Totales Differential:

$$\phi\left(\vec{x}\right) = \phi\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$$

$$d\phi\left(\vec{x}\right) = \frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}dx_{i}$$

$$= \left(\vec{\nabla}\varphi\right)d\vec{r}$$

• Errechnen einer Ableitung eines Vektorfeldes: $\frac{d\vec{\phi}\left(\vec{x}\right)}{dx_{k}}=\frac{\partial\vec{\phi}\left(\vec{x}\right)}{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dx_{k}}$
• $\frac{\partial}{\partial x}$ ist die partielle Ableitung nach $x$, wobei alle anderen Variablen als Konstanten betrachtet werden.
• Satz von Schwarz
  Wenn die gemischten partiellen Ableitungen (bis zur zweiten) von einer Funktion stetig sind in einem Bereich $G$. Dann gilt das die Reihenfolge der Ableitungen im Innern vertauscht werden kann. Wenn dieses gilt, existiert das totale Differential.
• Flächen für die $\phi\left(\vec{x}\right)=c$ sind werden Äquipotentialflächen bezeichnet.

Das Nabla-Symbol

$$\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x_{i}}\vec{e}_{i}$$

$$d\vec{r} = dx_{i}\vec{e}_{i}$$

• Hiermit lässt sich das totale differential auch als Skalarprodukt schreiben, indem man die zu differenzierende Funktion vorher mit $\vec{\nabla}$ und anschließenden mit $d\vec{r}$ Multipliziert.
• $\left\vert\vec{\nabla}\phi\right\vert=\sqrt{\sum_{i}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}\right)^{2}}$

Gradient

Der Gradient von $\phi$ lässt sich wie folgt berechnen

$$\textrm{grad}\left(\phi\right)=\vec{\nabla}\phi$$

• Einheitsvektor in Richtung des Gradienten $\vec{e}_{\vec{\nabla}\phi}=\frac{\vec{\nabla}\phi}{\left\vert\vec{\nabla}\phi\right\vert}$
• Der Gradient steht Senkrecht auf den Äquipotentialflächen von $\phi$. $\vec{e}_{\nabla\phi}\perp\vec{e}_{dr}$
  • Äquipotentialflächen: Menge aller Punkte für die $\phi\left(\vec{r}\right)=const=c$
  • Eine Linie die senkrecht durch alle Äquipotentialflächen geht nennt sich Strömungslinie
• Der Gradient macht aus einem Skalar- eine Vektorfeld
• $\vec{\nabla}f\left(r\right)=\frac{\partial f\left(r\right)}{\partial r}\frac{\vec{r}}{r}$
• $\vec{\nabla}\vec{r}=3$ (bei 3-dim Raum)
  entsprich der Anzahl der Freiheitsgerade von $\vec{r}$

Richtungsableitung

Die Richtungsableitung gibt die Steigung an, die man im Punkt $\vec{r}$ enthält, wenn man ich Richtung des Einheitsvektors $\vec{e}$ laufen würde.

$$\frac{d\phi}{d\vec{e}}=\left(\vec{\nabla}\phi\right)\vec{e}$$

Laplace - Operator

Der Laplaceoperator ist ein skalaerer Differentialoperator (er ordnet einem Vektor einen Vektor, und einem Skalar einen Skalar zu). Er ist wie folgt definiert:

$$\triangle=\vec{\nabla}\vec{\nabla}=\sum_{i}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}$$

• $\triangle$ ist invariant (verändet sich nicht) unter Koordinatenspigelung (= Paritätsinvariant)
• $\triangle\vec{A}=\vec{\nabla}*\left(\vec{\nabla}*\vec{A}\right)-\vec{\nabla}\times\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)$
• $\triangle f\left(r\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}\left(r\cdot f\left(r\right)\right)$

Differentiation von Vektorfeldern

Divergenz

Die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec{v}\left(\vec{r}\right)=\left(v_{x}\left(\vec{r}\right),v_{y}\left(\vec{r}\right),v_{z}\left(\vec{r}\right)\right)$ ist wie folgt definiert ($*$= Skalarprodukt):

$$\textrm{div}\left(\vec{v}\right)=\vec{\nabla}*\vec{v}\left(\vec{r}\right)=\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}}$$

• Auf Reihenfolge der Schreibweise achten.
• Felder mit $\textrm{div}\left(\vec{v}\right)=0$ nennen sich:
  • Divergenzfrei
  • Quellenfrei
  • Konvervative Kraftfelder (mit Energieerhaltung / Unabhängigkeit des Weges)

Rotation

Die Rotation eines Vektorfeldes $\vec{v}\left(\vec{r}\right)=\left(v_{x}\left(\vec{r}\right),v_{y}\left(\vec{r}\right),v_{z}\left(\vec{r}\right)\right)$ ist wie folgt definiert:

$$\textrm{rot}\left(\vec{v}\right) = \vec{\nabla}\times\vec{v}\left(\vec{r}\right)$$

$$= \varepsilon_{ijk}\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}}\vec{e}_{k}$$

$$= \left(\begin{array}{c} \frac{\partial v_{z}}{\partial y}-\frac{\p... ...\partial v_{y}}{\partial x}-\frac{\partial v_{x}}{\partial y}\end{array}\right)$$

• Auf Reihenfolge der Schreibweise achten.
• Felder mit $\textrm{rot}\left(\vec{v}\right)=0$ nennen sich:
  • Rotationsfrei
  • Wirbelfrei
  • konservative Felder

Rechenregeln

$$\textrm{div}\left(\textrm{grad}\left(\phi\right)\right)=\vec{\nab... ...\vec{\nabla}\phi\right)=\triangle\phi=\left(\vec{\nabla}\vec{\nabla}\right)\phi$$

$$\textrm{rot}\left(\textrm{grad}\left(\phi\right)\right)=\vec{\nabla}\times\left(\vec{\nabla}\phi\right)=\vec{0}$$

$$\textrm{div}\left(\textrm{rot}\left(\vec{A}\right)\right)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\vec{A}\right)=0$$

$$\textrm{rot}\left(\textrm{rot}\left(\vec{A}\right)\right)=\vec{\n... ...mes\vec{A}\right)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\vec{A}\right)-\triangle\vec{A}$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\phi=\vec{0}$$

$$\vec{\nabla}*\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)=0$$

$$\vec{\nabla}\times\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)=\vec{\nabla}*\left(\vec{\nabla}*\vec{A}\right)-\triangle\vec{A}$$

$$\vec{\nabla}\left(\phi\psi\right)=\psi\vec{\nabla}\phi+\phi\vec{\nabla}\psi$$

$$\vec{\nabla}\left(\phi\vec{\nabla}\psi\right)=\left(\vec{\nabla}\phi\right)\left(\vec{\nabla}\psi\right)+\phi\triangle\psi$$

$$\vec{\nabla}\times\left(\phi\vec{A}\right)=\left(\vec{\nabla}\phi\right)\times\vec{A}+\phi\vec{\nabla}\times\vec{A}$$

$$\vec{\nabla}\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)=\vec{B}\left(\vec{\nabla}\times\vec{A}\right)-\vec{A}\left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)$$

$$\vec{\nabla}\times\left(\vec{A}\times\vec{B}\right) = \vec{A}\left(\vec{\nabla}\vec{B}\right)-\left(\vec{A}\vec{\nabla}\right)\vec{B}+$$

$$\vec{B}\left(\vec{\nabla}\vec{A}\right)-\left(\vec{B}\vec{\nabla}\right)\vec{A}$$