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Subsections


Krummlinige Koordinatensysteme

Allgemeine Koordinatensysteme

Jeder Punkt im $ \mathbb{R}^{3}$ ist durch Angabe von $ 3$ Zahlen $ u_{1},u_{2},u_{3}$ festgelegt. Insbesondere durch die karthesischen Koordinaten $ x,y,z$. Es gibt also eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung.

$\displaystyle \left(x,y,z\right)\leftrightarrow\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$


$\displaystyle u_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_{1}\left(x,y,z\right)$  
$\displaystyle u_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_{2}\left(x,y,z\right)$  
$\displaystyle u_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_{3}\left(x,y,z\right)$  


$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$  
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle z\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$  

Ortsvektor

Der Ortsvektor hat nun folgende Gestalt:

$\displaystyle \vec{r}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{x}+$  
    $\displaystyle y\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{y}+$  
    $\displaystyle z\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{z}$  

Koordinatenlinien

Unter Koordinatenlinien versteht man Linien, durch den Raum, bei denen jeweis alle Variablen bis auf $ u_{i}$ bestgehalten werden. Bei krummlinigen Koordinaten ist mindestens eine solche Linie keine Gerade. Diese schneiden sich im Punkt $ P\left(c_{1},c_{2},c_{3}\right)$:

$\displaystyle L_{1}$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \vec{r}\left(u_{1},u_{2}=c_{2},u_{3}=c_{3}\right)$  
$\displaystyle L_{2}$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \vec{r}\left(u_{1}=c_{1},u_{2},u_{3}=c_{3}\right)$  
$\displaystyle L_{3}$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \vec{r}\left(u_{1}=c_{1},u_{2}=c_{2},u_{3}\right)$  

Koordinatenflächen

Genauso lassen sich Koordinatenflächene definieren. Auch diese schneiden sich im Punkt $ P\left(c_{1},c_{2},c_{3}\right)$:

$\displaystyle F_{1}$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \vec{r}\left(u_{1}=c_{1},u_{2},u_{3}\right)$  
$\displaystyle F_{2}$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \vec{r}\left(u_{1},u_{2}=c_{2},u_{3}\right)$  
$\displaystyle F_{3}$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \vec{r}\left(u_{1},u_{2},u_{3}=c_{3}\right)$  

Festlegung der Einheitsvektoren

Für das neue Koordinatensystem lassen sich Einheitsvektoren errechen. Diese sind aber im Allgemeinen nicht im Raum konstant, sondern verändern sich je nach Lage im Raum. Sie werden daher als mitgeführtes Dreibein bezeichnen. Sie lassen sich wie folgt berechnen:

$\displaystyle \vec{e}_{u_{i}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}}{\left\vert\frac{\pa... ...}}{\partial u_{i}}\right\vert}=h_{i}^{-1}\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}$  
$\displaystyle h_{i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\sum_{i}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial u_{i}}\right)^{2}}$  

$ h_{i}$ wird als Maßfaktor bezeichnet.


Zylinderkoordinaten

Hier werden die Punkte im Raum über die $ 3$ Variablen $ \varrho,\varphi,z$. $ \varphi$ ist dabei der Winkel zwischen der positiven $ x$-Achse und der Projektion von $ \vec{r}$ auf die $ x,y$ Ebene und $ \varrho$ die Länge vom dieses Projezierten Vektors. $ z$ ist identisch mit dem $ z$ aus den Karthesischen Koordinaten. $ L_{1},L_{3}$ sind Geraden und $ L_{2}$ ist ein Kreis. $ F_{1}$ ist ein Kreiszylinder und $ F_{2},F_{3}$ sind Ebenen. Diese Variablen sind in Ihrem Wertebereich auf $ \varrho\geq0$, $ 0\le\varphi<2\pi$ und $ -\infty\leq z\le\infty$ beschränkt. Der Ursprung ($ \vec{0}$) ist in diesen Koordinaten nicht eindeutig bestimmt.

Umrechnungsvorschriften


$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \varrho\cos\varphi$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \varrho\sin\varphi$  
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle z$  


$\displaystyle \varrho$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}}$  
$\displaystyle \varphi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$  
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle z$  

Einheitsvektoren


$\displaystyle \vec{e}_{\varrho}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\varphi\vec{e}_{x}+\sin\varphi\vec{e}_{y}$  
$\displaystyle \vec{e}_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\varphi\vec{e}_{x}+\cos\varphi\vec{e}_{y}$  
$\displaystyle \vec{e}_{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{e}_{z}$  


$\displaystyle \vec{e}_{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\varphi\vec{e}_{\varrho}-\sin\varphi\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \vec{e}_{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\varphi\vec{e}_{\varrho}+\cos\varphi\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \vec{e}_{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{e}_{z}$  

Ortsvektor

$\displaystyle \vec{r}=\varrho\vec{e}_{\varrho}+z\vec{e}_{z}$

Maßfaktor


$\displaystyle h_{\varrho}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle h_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \varrho$  
$\displaystyle h_{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  

Ableitungen der Einheistvektoren


$\displaystyle \dot{\vec{e}}_{\varrho}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \dot{\vec{e}}_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\dot{\varphi}\vec{e}_{\varrho}$  
$\displaystyle \dot{\vec{e}}_{z}$ $\displaystyle =$ 0  

Differentiation


$\displaystyle ds_{\varrho}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle d\varrho$  
$\displaystyle ds_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \varrho d_{\varphi}$  
$\displaystyle ds_{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle dz$  


$\displaystyle ds^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle d\varrho^{2}+\varrho^{2}d_{\varphi}^{2}+dz^{2}$  


$\displaystyle d\vec{\sigma}_{\varphi z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -d\vec{\sigma}_{z\varphi}=\varrho d\varphi dz \vec{e}_{\varrho}$  
$\displaystyle d\vec{\sigma}_{z\varrho}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -d\vec{\sigma}_{\varrho z}=dz d\varrho \vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle d\vec{\sigma}_{\varrho\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -d\vec{\sigma}_{\varphi\varrho}=\varrho d\varrho d\varphi \vec{e}_{z}$  

$\displaystyle dV=\varrho d\varrho d\varphi dz$

Kugelkoordinaten

Hier werden die Punkte im Raum über die $ 3$ Variablen $ r,\varphi,\theta$. $ \varphi$ ist dabei der Winkel zwischen der positiven $ x$-Achse und der Projektion von $ \vec{r}$ auf die $ x,y$ Ebene. $ \theta$ ist der Winkel zwischen $ \vec{r}$ und der positiven $ z$-Achse. $ r$ ist die Länge des Vektros $ \vec{r}$. $ L_{1}$ ist eine Gerade und $ L_{2}.L_{3}$ sind (halb) Kreise. $ F_{1}$ ist ein Kugeloberfläche, $ F_{2}$ ist eine Halbebenen und $ F_{3}$ ein Trichter. Diese Variablen sind in Ihrem Wertebereich auf $ 0\le\theta\le\pi$, $ 0\le\varphi<2\pi$ und $ 0\leq r\le\infty$ beschränkt. Die gesamte $ z$-Achse ist in Ihren Koordinaten nicht eindeutig bestimmst.

Umrechnungsvorschriften


$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\sin\theta\cos\varphi$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\sin\theta\sin\varphi$  
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\cos\theta$  


$\displaystyle r$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$  
$\displaystyle \theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \arctan\left(\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}\right)$  
$\displaystyle \varphi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \arctan\left(\frac{y}{z}\right)$  

Einheitsvektoren


$\displaystyle \vec{e}_{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\theta\cos\varphi\vec{e}_{x}+\sin\theta\sin\varphi\vec{e}_{y}+\cos\theta\vec{e}_{z}$  
$\displaystyle \vec{e}_{\theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\theta\cos\varphi\vec{e}_{x}+\cos\theta\sin\varphi\vec{e}_{y}-\sin\theta\vec{e}_{z}$  
$\displaystyle \vec{e}_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\varphi\vec{e}_{x}+\cos\varphi\vec{e}_{y}$  


$\displaystyle \vec{e}_{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\varphi\cos\theta\vec{e}_{r}+\cos\varphi\sin\theta\vec{e}_{\theta}-\sin\varphi\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \vec{e}_{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\varphi\cos\theta\vec{e}_{r}+\sin\varphi\sin\theta\vec{e}_{\theta}+\cos\varphi\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \vec{e}_{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\theta\vec{e}_{r}-\sin\theta\vec{e}_{\theta}$  

Ortsvektor

$\displaystyle \vec{r}=r\vec{e}_{r}$

Maßfaktor


$\displaystyle h_{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle h_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\sin\theta$  
$\displaystyle h_{\theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r$  

Ableitung der Einheitsvektoren


$\displaystyle \dot{\vec{e}}_{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\varphi}\sin\theta\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \dot{\vec{e}}_{\theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\dot{\theta}\vec{e}_{r}+\dot{\varphi}\cos\theta\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \dot{\vec{e}}_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\dot{\varphi}\left(\sin\theta\vec{e}_{r}+\cos\theta\vec{e}_{\theta}\right)$  

Differentiation


$\displaystyle ds_{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle dr$  
$\displaystyle ds_{\theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle rd_{\theta}$  
$\displaystyle ds_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\sin\theta d_{\varphi}$  


$\displaystyle ds^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle dr^{2}+r^{2}d_{\theta}^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta d\varphi^{2}$  


$\displaystyle d\vec{\sigma}_{\varphi\theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -d\vec{\sigma}_{\theta\varphi}=r^{2}\sin\theta d\theta d\varphi \vec{e}_{r}$  
$\displaystyle d\vec{\sigma}_{r\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -d\vec{\sigma}_{\varphi r}=r \sin\theta dr d\varphi \vec{e}_{\theta}$  
$\displaystyle d\vec{\sigma}_{\theta r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -d\vec{\sigma}_{r\theta}=r dr d\theta \vec{e}_{\varphi}$  

$\displaystyle dV=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\varphi$


$\displaystyle \triangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\right)+$  
    $\displaystyle \frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+$  
    $\displaystyle \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}$  

Parabolische Koordinaten

Diese Koordinaten haben den Vorteil, das die Koordinaten linien für $ \xi$ und $ \eta$ Parabeln beschreiben, deren Brennpunkt im Ursprung des Systems liegt. Die Koordinatenlinen für $ \varphi$ sind Kreise.

Umrechnungsvorschriften


$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \xi\eta\cos\varphi$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \xi\eta\sin\varphi$  
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right)$  


$\displaystyle \rho$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}}$  
$\displaystyle \xi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{r+z}$  
$\displaystyle \eta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{r-z}$  
$\displaystyle \varphi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$  

Einheitsvektoren


$\displaystyle \vec{e}_{\xi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}\left(\eta\cos\varphi\vec{e}_{x}+\eta\sin\varphi\vec{e}_{y}+\xi\vec{e}_{z}\right)$  
$\displaystyle \vec{e}_{\eta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}\left(\xi\cos\varphi\vec{e}_{x}+\xi\sin\varphi\vec{e}_{y}-\eta\vec{e}_{z}\right)$  
$\displaystyle \vec{e}_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\varphi\vec{e}_{x}+\cos\varphi\vec{e}_{y}$  


$\displaystyle \vec{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}\left(\eta\vec{e}_{\xi}+\xi\vec{e}_{\eta}\right)$  
$\displaystyle \vec{e}_{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\varphi\vec{k}-\sin\varphi\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \vec{e}_{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\varphi\vec{k}+\cos\varphi\vec{e}_{\varphi}$  
$\displaystyle \vec{e}_{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}\left(\xi\vec{e}_{\xi}-\eta\vec{e}_{\eta}\right)$  

Ortsvektor


$\displaystyle \vec{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}}{2}\left(\xi\vec{e}_{\xi}+\eta\vec{e}_{\eta}\right)$  

Maßfaktor


$\displaystyle h_{\xi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}$  
$\displaystyle h_{\eta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\eta^{2}+\xi^{2}}$  
$\displaystyle h_{\varphi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \xi\eta$  

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Marco Möller 20:36:18 26.01.2006