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Subsections

Differentiation in krummlinigen Koordinatensystemen

Im Folgende werden prinzipiell 3-dimensionale Koordinatensysteme der Form:

$\displaystyle \vec{r}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{x}+$  
    $\displaystyle y\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{y}+$  
    $\displaystyle z\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{z}$  

betrachtet.

totales Differential


$\displaystyle d\vec{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{1}}du_{1}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{2}}du_{2}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{3}}du_{3}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{3}h_{i}\vec{e}_{u_{i}}du_{i}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{3}ds_{i}\vec{e}_{u_{i}}$  

Dabei haben die einzelnen partiellen Ableitungen die Form:

$\displaystyle \frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}=\frac{\partial x}{\partial...
...\partial z}{\partial u_{i}}\vec{e}_{z}=h_{i}\left(\vec{r}\right)\vec{e}_{u_{i}}$

Maßfaktor

Dies lässt sich vereinfachen durch die Einbeziehung des Maßfaktors $ h_{i}$. Dieser fällt für gewöhnlich bei der Herleitung (siehe Massfaktor) der Einheitsvektoren ab.

$\displaystyle h_{i}\left(\vec{r}\right)=\left\vert\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}\right\vert$


Infinitesimales Bogenmaß

$\displaystyle ds_{i}=h_{i}\left(\vec{r}\right)du_{i}$


Raumkurve


Metrischer Tensor

$\displaystyle g_{ij}=h_{i}h_{j}\vec{e}_{u_{i}}\vec{e}_{u_{j}}$


Bogenelement

$\displaystyle ds^{2}=\sum_{i,j=1}^{3}h_{i}h_{j}\vec{e}_{u_{i}}\vec{e}_{u_{j}}du_{i}du_{j}=\sum_{i,j=1}^{3}g_{ij}du_{j}du_{j}$


Flächenelement

$\displaystyle d\vec{\sigma}_{ij}=d\vec{r}_{i}\times d\vec{r}_{j}=\left(\vec{e}_{u_{i}}\times\vec{e}_{u_{j}}\right)ds_{i}ds_{j}$


Volumentelement


$\displaystyle dV$ $\displaystyle =$ $\displaystyle d\vec{r}_{1}\left(d\vec{r}_{2}\times d\vec{r}_{3}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle ds_{1}ds_{2}ds_{3}\vec{e}_{u_{1}}\left(\vec{e}_{u_{2}}\times\vec{e}_{u_{3}}\right)$  


Orthogonal krummlinige Koordinaten (OKK)

Gradient & Co. für OKK

Folgende Formeln gelten NUR für OKK's!!!

Sei $ \phi\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$ ein Skalarfeld, und $ \vec{V}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)=\sum_{i=1}^{3}V_{i}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\vec{e}_{u_{i}}$ ein Vektorfeld.


Gradient

$\displaystyle \vec{\nabla}\phi=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\phi}{\partial s_{i}...
...\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\phi}{\partial u_{i}}\vec{e_{u_{i}}}$


Rotation

$\displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{V}=\sum_{i,j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\frac{1}{h_{i}h_{j}}\frac{\partial\left(h_{i}V_{j}\right)}{\partial u_{i}}\vec{e}_{k}$


Divergenz

$\displaystyle \vec{\nabla}\vec{V}=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial\l...
...h_{2}h_{3}}\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\left(p_{i}v_{i}\right)}{\partial u_{i}}$


Laplace Operator


$\displaystyle \triangle\phi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{3}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial}{\partial s_{i}}\left(p_{i}\frac{\partial\phi}{\partial s_{i}}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial u_{i}}\left(\frac{p_{i}}{h_{i}}\frac{\partial\phi}{\partial u_{i}}\right)$  


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Marco Möller 20:36:18 26.01.2006